完全平方公式变形公式专题.doc

完全平方公式变形公式及常见题型
cr + 屏=(a_b)2 +2ab
672
+-V = («--)2
+2
cr a
(Q + Z?)2
+(。

一人)2 = 2C F +2b 2
(Q —
b)2
= (Q +仞2 _ 4-b
-2ab-2cic-2bc
-b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2)
+ 4^/? + 66zV+W+/?4
半期复习(3)——
一.公式拓展：
拓展一：疽+屏=(a+b)' — 2ab
a 2
+-^ = (o + b -2 a
a
拓展二：(。

+ 人)~ — (。

一Z?)~
=
(Q + /?)2
=(a-b)2
+4ab
拓展三：a 2
+Z?2
+c 2
=(a+b + c) 拓展四：杨辉三角形
(a + b)'=疽 + 3a'b + 3 击 + b 3
(o+Z?)4 =a 拓展五：立方和与立方差
a 3
+/?3 =0 +》)=2 一沥+屏)
二.常见题型：
(%1) 公式倍比
例题：已知。

+人=4,求七也+由。

2
2
(2)
已矢nx(x-l)-(x 2
- y) = -2f 则 ——xy=_ 2
(%1) 公式变形
⑴设(5a+3b) 2
= (5a-3b) 2
+A,则 A= ⑵若
则 a 为 ⑶如果(x —y)2+M=(x+y)2,那么M 等于
⑷已知(a+b)2
=m, (a 一b)2
=n,则 ab 等于
(5)若(2〃-30)2 = (2。

+ 3疗+N ,则N 的代数式是
(1) x+y = 1,
则_ x 2 +xy + — y 2
=
（三）“知二求一”
1.已知x - y=l, x2+y2=25,求xy 的值.
2.若x+y=3,且(x+2) (y+2) =12.
(1)求xy的值；
(2)求x2+3xy+y2的值.
3.已知：x+y=3, xy= - 8,求:
(1)x2+y2
(2)(x2- 1) (y2- 1).
4.己知a-b=3, ab=2,求:
(1)(a+b) 2
(2)a2 - 6ab+b?的值.
（四）整体代入
例1：x2-y2=24, x+y = 6,求代数式5x+3y 的值。

例2：已知a= —x+20, b=—x+19, c= — x+21,求a2+b2+c2—ab —be-ac 的值
20 20 20
(1) 若x —3y = 7,]2—9y2=49,则工+ 3y=
(2) 若。

+ /? = 2,则 a 2 -b 2 +4/?= 若。

+ 5Z? = 6,则 a 2
+5ab+30b=
⑶己知a 2
+b 2
=6abHa>b>0,求 竺。

的值为 __________________
a-b
⑷已知1。

= 2 000200 , /? = 2005x +2006 , c = 2005x + 2008 ,贝ij 代 数 式 cr
+Z?2 +c 2
-ab-bc-ca 白勺值是.
=a —b
i &一5)‘ =&‘ —&-b 北- —8
(a 一矿=/
-4^ 一8
(2)
根据前面各式的规律，则（a+b ） 6=
(%1)
首尾互倒
1. 已知 rrf 2
- 6m - 1=0,求 Zm? - 6m+—. 2. 阅读下列解答过程：
己知：xrO,且满足x 2
- 3x=l.求：x 2+^的值.
X
解：Vx 2
- 3x=l, /. x 2
- 3x - 1=0
x - 3 - -=Q» 即 x~-=3-
X X ••- x 2
+-^= (x-1) 2+2习+2=11. x 2
x
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a",且满足(2a+l)(l-2a) - (3 - 2a) 2
+9a 2
=14a-7, 求：（1）a 2
A 的值；（2）— 的值.
/ 5" + /+5
请看杨辉三角（1），并观察下列等式
1
1 1 1
2 1 1
3 3 1
1
4
6
4
1
（五）杨辉三
ab
ab b 2
a 2
a b
a a 2
ab a
b
b ab
a A
（七）数形结合
1. 如图（1）是一个R 为2m,宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形, 然后按图（2）形状拼成一个正方形. （1） 你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？ （2） 请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积； （3） 观察图（2）,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式：（m+n ）七（m-n ） \ mn. （4） 根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7, ab=5,求（a-b ） ?的值.
2. 附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：
（2a+b ） （a+b ） =2a 2+3ab+b 2
就可以用图1或图2的面积来表示.
（1） 请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2） 试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b ） （a+3b ） =a 2
+4ab+3b 2
.
(%1) 规律探求
15.有一系列等式：
1x2x3x4+1=52= (『+3x1+1)
22X 3X 4X 5+1=112= (22+3X 2+1
) 23x4x5x6+l=192= (32
+3x3+l)
24X 5X 6X 7+1=292= (42+3X 4+1) 2...
(1) 根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8x9x10x11 +1的结果 (2) 试猜想n (n+1) (n+2) (n+3) +1是哪一个数的平方，并予以证明.
n m
m n
⑵
a b
a a b
图2 a b。