简单复合函数的求导法则(最经典)——王彦文()

y ' 2x2 1 x2
y ' 1 1 cos x 2
y ' x cos x x sin x 2x
y ' cos x sin2 x
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二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu , ux ,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
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复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 yx yu ux，或 yx f (u) (x)
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分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
解1：yx (sin 2x) (2sin xcos x)
2(cosxcosxsin xsin x) 2cos 2x
解2： y sin 2x 可由y=sinu,u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 注意则： )
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例1：求 y sin 2x 的导数
练习2 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
x .
1 x2
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
例1 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 x
【解析】
(2) y sin3 x sin x3
例1 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 x
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y 1 x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u) 1 2u 2
1 (1 x2 )
也在心中运算
.
这样可以直接写出下式
yx 2
1 (1 x2 )
(1 x2 )x
(2) y sin3 x sin x3
解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′
=(sin3x)′+(sinx3)′
=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′
=3sin2xcosx+3x2cosx3.
例2 求曲线y 3 (3x2 1)在点（1，3 4）处的切线方程。
【解析】
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练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
例2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
简单复合函数的 求导法则
青铜峡一中 王彦文
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知识回顾
1、导数公式表
函数
y c(c是常数） y x (为实数）
y ax (a 0, a 1)
y ex
y log ax (a 0, a 1)
y ln x
y sin x y cosx
Title
y tan x
导函数
y 0
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
u(x)
v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'(x)
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课前练习：
1.y
x(x2
1 x
1 x2
),求y '；
2.y x sin x cos x ,求y '； 22
3.y x cos(x), 求y '；
4.y 1 ,求y '； sin x
y um, u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
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问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 1一个复合函数，
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.