空间大地坐标系平面直角坐标系转换公式

空间大地坐标系平面直角坐标系转换公式

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§2.3.1 坐标系的分类

正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。

在测量中常用的坐标系有以下几种：

一、空间直角坐标系

空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用图2-3来表示：

图2-3 空间直角坐标系

二、空间大地坐标系

空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。空间大地坐标系可用图2-4来表示：

图2-4空间大地坐标系

三、平面直角坐标系

平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。

高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。

高斯投影满足以下两个条件： 1、 它是正形投影；

2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。

将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。

图2-5 高斯投影

x 方向指北，y 方向指东。

可见，高斯投影存在长度变形，为使其在测图和用图时影响很小，应相隔一定的地区，另立中央子午线，采取分带投影的办法。我国国家测量规定采用六度带和三度带两种分带方法。六度带和三度带与中央子午线存在如下关系：

366 N L ＝中； n L 33＝中

其中，N 、n 分别为6度带和3度带的带号。

另外，为了避免y 出现负号，规定y 值认为地加上500000m ；又为了区别不同投影带，前面还要冠以带号，如第20号六度带中，y=-200.25m ，则成果表中写为y 假定＝20499799.75m 。x 值在北半球总显正值，就无需改变其观测值了。

1、空间直角坐标系与空间大地坐标系间的转换

图２－６表示了空间直角坐标系与空间大地坐标系之间的关系。

X

T

Y

Z

H

O

L

B

图2-6 地球空间直角坐标系与大地坐标系

在相同的基准下空间大地坐标系向空间直角坐标系的转换公式为：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2 (2-1) 式中，

W

a

N =

，a 为椭球的长半轴，N 为椭球的卯酉圈曲率半径 a =6378.137km

B e W 22sin 1-=

2

2

22

a b a e -=，e 为椭球的第一偏心率，b 为椭球的短半轴

b =6356.7523141km

在相同的基准下空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换公式为

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬⎫

-Φ

=⎪⎭⎫

⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=N B R H X Y arctg L W B Z ae tg arctg B cos cos sin 12 (2-2)

式中

⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡+=Φ2

2Y X Z

arctg 222Z Y X R ++=

2、空间坐标系与平面直角坐标系间的转换

空间坐标系与平面直角坐标系间的转换采用的是投影变换的方法。在我国一般采用的是高斯投影。因为高斯投影和UTM 投影都是横轴墨卡托的特例，因此，高斯投影和UTM 投影都可以套用横轴墨卡托投影的投影公式。

横轴墨卡托投影的投影的正反算公式可参见有关资料，它们的区别在于轴子午线投影到平面上后，其长度的系数，对于高斯投影，系数为1，对于UTM 投影，其系数为0.9996。

3、变动高程归化面的影响

用户在建立地方独立坐标系时，有时变动高程归化面，这将产生一个新椭球，这就必须计算新常数，新椭球常数按下列方法和步骤进行：

1) 新椭球是在国家坐标系的参考椭球上扩大形成的，它的扁率应与国家坐标系参考椭球的扁率相等，即a a ='。

2) 计算该坐标系中央地区的新椭球平均曲率半径和新椭球长半轴。 新椭球平均曲率半径为：

m m

m m m m H B e e a H W a W e a H MN H R R +--=+-=+=+=2

22

32sin 11)1(' (2.10) 式中

m H ───该地区平均大地高； m B ───该地区的平均纬度。 新椭球的长半轴按下式计算：

2

221sin 1'

'e

B e R a m

--= (2.11)