最新南昌大学概率论期末-2010第一学期36学时及答案

一、填空题(每题4分, 共20分)

1.设事件A , B 是互不相容的, P (A )=0.5, P (B )=0.3,则

)(B A P =_____

2.已知P (A )=P (B )=P (C )=2/5, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=1/6,则事件

A ,

B ,

C 至少有一个发生的概率为_____

3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=

π

1

21+arctan x ,则P {0≤X ≤3}=_____

4.设随机变量服从(1/2, 1/2)上的均匀分布,则=tan2的数

学期望为_____

5.设随机变量X 服从参数为的泊松分布,且E [(X 1)(X 2)]=1,

则D (X )=_____

二、选择题(每题3分, 共15分)

1.设A , B , C 为三事件,则A , B , C 恰有一个发生的是_____ (A)A ∪B ∪C (B)ABC (C)C B A C B A C B A (D)C B A C B A C B A

2.P {X =k }=k c )3

2( (k =1,2,3,

)是某随机变量的分布律,则

C =_____

(A)2 (B)1/2 (C)1 (D)3/2 3.设随机变量X 服从正态分布N (

,

2

),则随着 的增大,概率

P {|X |<}_____

(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定

2.设随机变量

1

,

2

,...,

10

独立,且E (

i

)=a ,

D (

i

)=b ,i =1,2,...,10,记

=∑=10

1

101i i ξ,则_____ (A) E ()=a , D ()=b (B) E ()=a , D ()=0.1b (C) E (

)=0.1a , D (

)=b (D) E (

)=0.1a ,

D ()=0.1b

5.设随机变量X 1,X 2独立同分布,均服从正态分布X ~N (1,2),下列随机变量中方差最小的是_____

(A))(2

1

21X X + (B)214

34

1X X + (C) X 2 (D) 213

13

2X X + 三、求下列概率密度

1.设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧>-其他

,00

,x e x ,试求Y =X 2的概

率密度. (12分)

2. 设随机变量X ,Y 独立同分布,且X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤>-0

,00

,x x e x ,

试求Z =

2

Y

X +的概率密度. (11分) 四、计算题

1.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧<<+其他

,02

0 ,1x kx ,求(1)k 值;

(2)P {1

2.设随机变量X 和Y 相互独立同分布, X 的概率密度为

f (x )=⎩⎨⎧≤≤其他

,01

0 ,32x x ,求P {X +Y ≤1}. (10分)

五、解答题及应用题 1.设X 的概率密度为f (x ,

)=⎩⎨⎧<≥--θθ

θx x e x

,0 ,)(,求

X 的数学期望. (11

分)

2.随机地向半圆0≤y ≤24x -内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,求该点和原点的连线与y 轴的夹角小于/3的概率. (11分)

一、1.0.3 2.13/15 3.1/3 4.0 5.1 二、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 三、1.当y ≤0时, F Y (y )=0

当y >0时, F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y }=P {0

x ⎰-0

f Y (y )=⎪

⎩⎪

⎨⎧≤>-0

,00 ,2y y y e y

2.F Z (z )=2

(Y X P +≤z )=P {X +Y ≤2z }=

dxdy y x f z

y x ⎰⎰≤+2),(

当z <0F Z (z )=0

当z ≥0

F Z (z )=dy e dx e dxdy e e x

z y z

x D

y x ⎰⎰⎰⎰-----=⋅20

20=dx e e z

x x z ⎰-+--20

2)1(

=1e

2z

2ze

2z

则 f Z (z )=⎩⎨⎧<≥-0

,00

,42z z ze z

四、

1.(1)

dx

kx ⎰+2

)1( =2k +2=1k =

2

1

-

(2)P {1

1)12

1( =4

1 2.P {X +Y ≤1}=

dxdy y x f y x ⎰⎰≤+1

),(=dy y x dx x

⎰

⎰-10

2210

9=1/20