2018年高考数学(理)二轮重点强化复习课件第9讲 空间中的平行与垂直关系
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第9讲
空间中的平行与垂直关系
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题型 1 题型 2 三年真题
空间位置关系的判断与证明 平面图形的翻折问题 验收复习效果
专题限时集训
题型 1空间位置关系的判断与
证明
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
[类题通法]
平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将 线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图92所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面 2 ABCD，且PA＝PD＝ 2 AD＝ 2.
2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
ห้องสมุดไป่ตู้
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥ 平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l )
题型 2平面图形的翻折问题
■核心知识储备………………………………………………………………………· 翻折问题的注意事项 (1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图． (2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关 系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准 确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础． (3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为 空间几何体的数字特征，这是进行准确计算的基础．
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2016· 全国Ⅱ卷)如图93，菱形ABCD的对角线AC与BD 交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF 5 ＝4，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝ 10.
[解析] 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
[答案] D
【典题2】 (考查空间位置关系的证明)如图91，在三棱锥PABC中， PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线 段PC上一点．
图91 (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．
图92
(1)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (2)求三棱锥 DPBC 的体积.
[解] (1)法一：(几何法)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD ＝AD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA. 2 π 因为PA＝PD＝ 2 AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝ 2 ，即 PA⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
法二：(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q，连接 OP，OQ，易知OQ⊥AD. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD， 所以PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系． 2 由PA＝PD＝ 2 AD＝ 2，知OP＝1. 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，Q(0,2,0)，C(－1,2,0)，D(－1,0,0)， P(0,0,1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， → ＝(0,2,0)，DP → ＝(1,0,1)， 又DC
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，且PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因为D为AC的中点， 1 所以DE＝2PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 1 1 所以三棱锥EBCD的体积V＝6BD· DC· DE＝3.
→ ＝0， n· DC 则 → ＝0， n · DP
2y＝0， 即 x＋z＝0，
令x＝1，则n＝(1,0，－1)． 同理，可求得平面PAB的一个法向量为m＝(－1,0，－1)， 又n· m＝－1×1＋0×0＋(－1)×(－1)＝0， 故平面PAB⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O，连接OP，如图． 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD. 即PO为三棱锥PBCD的高， 2 由PA＝PD＝ 2 AD＝ 2，知OP＝1. 1 因为底面ABCD是正方形，所以S△BCD＝2×2×2＝2. 1 1 2 所以V三棱锥DPBC＝V三棱锥PBCD＝ PO· 3 S△BCD＝3×1×2＝3.
[思路分析] (1)通过证明PA⊥平面ABC得PA⊥BD； (2)通过证明BD⊥平面PAC得面面垂直； (3)由PA∥平面BDE，D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系，从而求出 三棱锥的体积．
[解] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝ B，所以PA⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.
空间中的平行与垂直关系
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题型 1 题型 2 三年真题
空间位置关系的判断与证明 平面图形的翻折问题 验收复习效果
专题限时集训
题型 1空间位置关系的判断与
证明
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
[类题通法]
平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将 线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图92所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面 2 ABCD，且PA＝PD＝ 2 AD＝ 2.
2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
ห้องสมุดไป่ตู้
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥ 平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l )
题型 2平面图形的翻折问题
■核心知识储备………………………………………………………………………· 翻折问题的注意事项 (1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图． (2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关 系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准 确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础． (3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为 空间几何体的数字特征，这是进行准确计算的基础．
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2016· 全国Ⅱ卷)如图93，菱形ABCD的对角线AC与BD 交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF 5 ＝4，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝ 10.
[解析] 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
[答案] D
【典题2】 (考查空间位置关系的证明)如图91，在三棱锥PABC中， PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线 段PC上一点．
图91 (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．
图92
(1)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (2)求三棱锥 DPBC 的体积.
[解] (1)法一：(几何法)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD ＝AD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA. 2 π 因为PA＝PD＝ 2 AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝ 2 ，即 PA⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
法二：(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q，连接 OP，OQ，易知OQ⊥AD. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD， 所以PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系． 2 由PA＝PD＝ 2 AD＝ 2，知OP＝1. 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，Q(0,2,0)，C(－1,2,0)，D(－1,0,0)， P(0,0,1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， → ＝(0,2,0)，DP → ＝(1,0,1)， 又DC
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，且PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因为D为AC的中点， 1 所以DE＝2PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 1 1 所以三棱锥EBCD的体积V＝6BD· DC· DE＝3.
→ ＝0， n· DC 则 → ＝0， n · DP
2y＝0， 即 x＋z＝0，
令x＝1，则n＝(1,0，－1)． 同理，可求得平面PAB的一个法向量为m＝(－1,0，－1)， 又n· m＝－1×1＋0×0＋(－1)×(－1)＝0， 故平面PAB⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O，连接OP，如图． 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD. 即PO为三棱锥PBCD的高， 2 由PA＝PD＝ 2 AD＝ 2，知OP＝1. 1 因为底面ABCD是正方形，所以S△BCD＝2×2×2＝2. 1 1 2 所以V三棱锥DPBC＝V三棱锥PBCD＝ PO· 3 S△BCD＝3×1×2＝3.
[思路分析] (1)通过证明PA⊥平面ABC得PA⊥BD； (2)通过证明BD⊥平面PAC得面面垂直； (3)由PA∥平面BDE，D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系，从而求出 三棱锥的体积．
[解] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝ B，所以PA⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.