(整理)函数的概念与基本初等函数

2．函数的概念与基本初等函数 2．1 函数的概念与表示法

【知识网络】

1．函数的概念；2．函数的表示法：解析法、列表法、图象法；3．分段函数；4．函数值．

【典型例题】

例1．（1）下列函数中哪个与函数y x =(0)x ≥是同一个函数（ A ）

A ．y=(x )2

B ．y=x

x 2

C ．y=33x

D ．y=2x

提示：当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B 中的函数． (2) 函数|

|)(x x

x f =

的图象是（ C ）

提示：所给函数可化为：1(0)()1(0)x f x x >⎧=⎨-<⎩

，故答案为C ．也可以根据函数的的定义域为{|0}x x ≠而作

出判断．

（3）已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过（ ） A ．（－3，1） B ．（5，1） C ．（1，－3）

D ．（1，5）

提示：法一：由)(x f 的图象恒过（1，1）知(1)1f =，即(54)1f -=，故函数)4(-x f 的图像过点（5，1）．法二：)4(-x f 的图象可由)(x f 的图象向右平移4个单位而得到，（1，1）向右平移4个单位后变为（5，1）,答案为B ．

（4）已知2()1f x x x =++，则[f f =

提示：213f =+=，2[(3(3115f f =++=+ （5）函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过 ③ 得到.

①先向右平移1个单位，再向下平移2个单位；②先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；③先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；④先向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 提示：由“左加右减”，“上加下减”的方法可得．

例2．（1）已知1)f x +=+()f x 及2

()f x ；

（2）已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .

解：（1）令1t =，则1t ≥1t =-，2(1)x t =-，22

()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-

∴ 2()1(1)f x x x =-≥，2224()()11(1)f x x x x =-=-≥． （2）12)(3)(+=-+x x f x f ………………①

把①中的x 换成x -得：()3()21f x f x x -+=-+………………② 由①②解得：1()4

f x x =-+

． 例3．画出下列函数的图象．

（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜；（4）3232232x y x

x x ⎧⎪

⎨⎪⎩

≤≥＜－，＝－－＜－．

． 解：四个函数的图象如下

例4．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f(2

5

)的值． 解：当P 在AB 上运动时， (01)y x x =≤≤； 当P 在BC 上运动时，y=2)1(1-+x (12)x <≤ 当P 在CD 上运动时，y=2)3(1x -+(23)x <≤ 当P 在DA 上运动时，y=4－x (34)x <≤

∴

y= (01)2)

3)4 (34)x x x x x x ≤≤⎧<≤<≤-<≤⎩ ∴f (

25)=2

5 【课内练习】 1．与曲线1

1

-=x y 关于原点对称的曲线为 （ A ）

A ．x y +=

11 B ．x y +-=11 C ．x

y -=

11

D ．x

y --

=11 提示：用,x y --代替方程1

1-=

x y 中的,x y 得：1

1y x -=--,即x y +=11．答案为A ．

2．已知函数)(x f y =,[,]x a b ∈,那么集合}2|),{(]},[),(|),{(=∈=x y x b a x x f y y x 中所含元素的个数是 A ．0个 B ．1个 C ． 0或1个 D ．0或1或无数个 提示：垂直于x 轴的直线与函数的图象最多只有一个交点．答案为C ． 3．下列说法中，正确的有（ ）个

①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x =0对称； ②函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称； ③函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对；

④如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()f a x +=()f a x -，那么)(x f y =的图象关于直线a x =对

称．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

提示：①把函数)(x f y =中的x 换成x -，y 保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于y 轴对称；②把函数)(x f y =中的y 换成y -，x 保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x 轴对称；③把函数)(x f y =中的x 换成x -，y 换成y -，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点轴对称；④若对于一切,R x ∈都有()f a x +=()f a x -，则()f x 的图象关于直线()()

2

a x a x x ++-=

对称．答案为D ．

4．设函数1

0221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪

=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是 （ D ） A ．（－1，1）

B ．（－1，+∞）