第3节 唯一决定分式线性映射的条件
第6章保角变换-数学物理方法
f ( z0 ) 是经过映射Biblioteka f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
5
2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
19
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
6-2分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
分式线性映射
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
3分式线性映射资料
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
§3 分式线性映射
装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
-唯一确定分式线性映射的条件
又由保圆性可知 | z | 1 上的点比如 1 被映射成 | w | 1
映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分 式线性映射为
w a z z
其中a 为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点，特别将坐标原点 0 映射成点 w(| w | 1), 所以
1 | w || a | | | | a | | |
因此 a ei , 所以所求的分式线性映射为
C gz0
C gz0
L g w0
g w0
L
设 z1,z2 , z3 为 C上相异的三点，在分式线性映射下
他们的像为 L上的相异的三点 w1, w2 , w3 ,我们规定 C, L 正向分别为 z1 z2 z3 , w1 w2 w3 的走向， 他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下
又由于 f (i) 4 3i, 且 Re(4 3i) 4 0 所以将上
半平面映射成左半平面 Re w 0.
根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆
分式线性映射
yg i
的保角性, 将
4
原区域映射成
argw 1 o
x
3
ig
4
y
1 g
go
x
4
二 两个重要的分式线性映射
1 将上半平面 Im z 0映射成单位圆| w | 1的分式线性映射
设 (Im 0) 为上半平面上任意一定点，在所求
6-3节分式线性映射17
1 w = 也具有保圆性 : z 1 令 z = x + iy , w = = u + iv , 于是 z
x y 或 u= 2 , v= 2 x + y2 x + y2
2008-12-16
性质 2. 分式线性映射将 C + 上的圆周映射成圆周, 具有保圆性.
包含四种情形 :
圆周 → 圆周; 圆周 → 直线; 直线 → 直线; 直线 → 圆周
2008-12-16 10
3. 保对称性
性质 3. 若 z1, z 2 关于 C + 上的圆周 C 对称 , 则经分式线性 映射后 , w1 = f ( z1 ) 与 w 2 = f ( z 2 ) 关于 f (C ) = Γ 对称.
w w1 z z1 =k w w2 z z2
( k为复常数)
z z1 特别地,若 w1 = 0, w 2 = ∞ 则有w = k 2008-12-16 z z2
( k为复常数) 12
定理 设线性映射 w = f ( z ) 将圆周 C 映射为圆周 C ′ :
(1) 若 z 0 在 C 内部 , f ( z 0 ) 在 C ′ 内部 , 则 C 的内部映射 为 C ′ 的内部;
u v x= 2 , y= 2 2 u +v u + v2
9
1 因此 , w = 将圆方程 : z
a ( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
映射为 d ( u 2 + v 2 ) + bu cv + a = 0
唯一决定分式线性映射的条件课件
05
分式线性映射的习题和解答
习题
题目1
给定两个向量空间V和W，以及从V到W的分式线性映射f，如果存在一个常数k使得对于 所有v∈V，都有f(v)=kv，那么f是线性映射吗？给出证明或反例。
题目2
设f是向量空间V到W的满射分式线性映射，如果对于所有v∈V和标量a，都有f(av)=af(v) ，那么称f是可乘的。证明：如果f是可乘的，那么f是线性的。
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分式线性映射的分类
有理分式线性映射
有理分式线性映射的分母和分子都是多项式的倍数，即$varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$都是多项式。
无理分式线性映射
无理分式线性映射的分母是多项式的倍数，分子不是多项式的倍数，即 $varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$是多项式，$q(x)$不是多项式的倍数。
许分母为零。
02 03
线性映射
线性映射是保持向量间线性关系的映射，即满足$varphi(x+y) = varphi(x) + varphi(y)$和$varphi(lambda x) = lambda varphi(x)$的 映射。
分式线性映射
分式线性映射允许分母为零，即允许$varphi(0) = 0$，同时保持向量 间的线性关系。
时。
分式线性映射的展望
探索新的应用领域
随着分式线性映射的发展，可以进一 步探索其在其他领域的应用，例如机 器学习、图像处理、数据分析等。
深入研究映射性质
优化算法和实现
为了提高分式线性映射的效率和精度 ，可以进一步优化相关的算法和实现 方式，例如采用更高效的数值计算方 法、优化软件实现等。
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
分式映射
再由 w ' ( i ) > 0先求得
dw dz z+i−z+i = Re ( z + i )2
iθ iθ
z=i
z=i
1 = Re 2i
iθ
1 R i (θ − π2 ) 即 w' ( i ) = Re = e 2i 2
∴θ −
π
2
=0 θ =
π
2
e =i
iθ
z−i 故w = Ri + w0 z+i
在 w平面上也任意给定三个 相异的点 w1 , w 2 , w 3 ⇒ ∃ 唯一的分式线性映射 f ( z ) :
f f : zk ⎯ ⎯→ w k ( k = 1,2,3 )
az + b 证明 设w = (ad − bc ≠ 0), 将z k ( k = 1,2,3)依次 cz + d az k + b → w k ( k = 1,2,3), 即w k = ( k = 1,2,3) cz k + d
例5
中心分别在 z = 1与 z = − 1, 半径为 2的二 z−i 圆弧所围区域 , 在映射 w = 下映成 z+i 什么区域 ?
解
两圆弧的交点为 − i与 i , 且互相正交 , 交点 z=i→w=0 z = −i → w = ∞
∴ 映射后的区域是以原点 为顶点张角为 角形区域 .
(第三象限的点 )
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
(1) 点 z 1 , z 2 , z 3 ⎯由 ⎯ ⎯ → 点 w 1， w 2， w 3
$①
②
且 等式两边依次同时变为 0 , ∞ ,1 .
③ 式(1)左端的式子通常称为四
6-3分式线性映射
证 设 w az b (ad bc 0) 将相异点 cz d
zk (k
1,2,3)
依次映射成
wk
azk czk
b d
(k
1,2,3)
所以
w
wk
(z zk )(ad bc) , (cz d )(czk d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) , (cz3 d )(czk d )
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) w ( 0) z ( 0) z
w az b ((ad bc ( )( ) 0))
25
例 2 求实轴在映射w 2i 下的像曲线. zi
在实轴上取三点 z , 0, 1 对应像点分别为 w 0, 2, 1 i 像曲线为 w 1 1
26
w
2i
2(
1
ห้องสมุดไป่ตู้
i
)e 2
zi zi
分解映射
z1 z i,
z2
1 z1
,
z3 2z2 ,
i
w z3e 2
因此, 把z转一个角度 0 就得到 w.
(z) (w)
w
0 z
o
9
3. w rz 相似映射 设 z ei 那末 w rei ,
因此，将 z 伸长(缩短)到
z的r倍后, 就得到w.
(z) (w)
w
z o
10
4. w 1 反演映射 z
场论与复变函数(FunctionsofComplexVariables)教学大纲
场论与复变函数(Functions of Complex Variables) 教学大纲付小宁课程编号: SC1112004 学分数：3学分课内时数：46 课程性质：必修课适用专业：测控技术与仪器先修课程：数学分析开课学期：第四学期开课院系：04院自动化/电气/测控一、该课程的地位、基本要求、与其他课程的联系和分工《复变函数》课程是研究复数域上函数的一门学科，为“测控技术与仪器专业”的必修课，属于专业基础课性质。
本课程讲述复变函数及其相互关系的研究、计算复变函数的各种方法，包括复数及复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和保角映射。
通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下基础。
数域从实数域扩大到复数域后，产生了复变函数论，并且深刻地深入到代数学、微分方程、概率统计、拓朴学等数学分支。
二十世纪以来，已被广泛地应用到理论物理、天体力学等方面，发展到今天已成为一个内容非常丰富，应用极为广泛的数学分支，成为理工科大学的必修课程。
掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
二、课程内容及学时分配第一章复数与复变函数 3学时第一节复数及其代数运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节区域第五节复变函数第六节复变函数的极限和连续性。
要求：[1]. 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。
[2]. 了解区域的概念。
[3]. 熟悉简单图形或区域的复变函数表示[4]. 掌握复变函数的极限与连续性。
第二章解析函数 6学时第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第四节解析函数与调和函数的关系。
要求：[1]. 了解复变函数等价于一对实二元函数，理解有关导数及解析的概念。
6-2唯一决定分式线性映射的条件
再由w' (i ) 0先求得
dw i z i z i i 1 Re Re 2 dz z i ( z i ) zi 2i 1 R i ( 2 ) 即 w' ( i ) Re e 2i 2
i
zi i w0 2k 2k e i 故w Ri zi 2 2
' 1
数学与统计学院
例9 求把带形域 a Re z b映射成上半平面 Im( z ) 0. (z) v (w) 解 y
we
a b
i
z a ba
x
( z1 )
u
w e z2
za z1 ba
1
z2 iz1
i
( z2 )
Re(z ) 0 例10 问：w e 将半带形域： 0 Im( z ) 映射成什么区域？
4
u x
z4
( )
w
i i
i
数学与统计学院
例5求将圆弧 c1与c2所围成的交角为 的月牙域
0 arg w 0 的一映射.
y ( z)
i
c2
we
i 0
zi 2 ( ) zi
v
(w)
c1
1 -i
0
u
x
zi i( ) zi
半单位圆映射成 w 1(Im (z ) 0)
y (z) v (w)
i
u x
数学与统计学院
0 Re(z ) 例11 求将半带形域： 0 Im( z ) 映射成 v (w) 上半平面Im( z ) 0的映射。 y ez 1 2 (z) w ( z ) e 1 i
教学大纲_复变函数
《复变函数》教学大纲课程编号：121062B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时： 32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分： 2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析毕业要求:1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《复变函数》是我校金融数学专业的专业选修课程之一，是《数学分析》的后续课程，主要研究复变数之间的相互依赖关系。
复变函数论现已成为微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，同时也为众多学科提供了广泛的几何定性研究方法。
因此这门课程在专业理论研究与实际应用方面都起着非常重要的作用。
通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在科学和技术中的应用打下扎实的基础。
《复变函数》的思想方法与《数学分析》紧密相关。
但是，《复变函数论》并非对《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是更注重研究新问题，建立新理论，因此，学生在学习本课程的过程中，应重视基本概念的正确理解、基本理论的系统阐述以及基本运算能力的培养，注意本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别。
二、教学基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、共性映射理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。
具体包括：正确理解复数、复平面、复变函数等概念，熟练掌握复数与复变函数运算、性质及应用；熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件，掌握初等函数的解析性；正确理解复变函数积分的定义，熟练掌握柯西积分定理及其推广形式、柯西积分公式、高阶导数公式以及它们的各种应用；掌握解析函数的泰勒展式、罗朗展式，并能用它来解决实际问题；正确理解留数的定义及留数定理，会用留数计算实积分；理解并掌握分式线性映射概念及其的各种性质，并学会应用。
6-3
唯一性: 唯一性:
az + b 如果另一映射 w = (ad bc ≠ 0) 也将 cz + d
azk + b zk ( k = 1,2,3) 依次映射成 wk = ( k = 1,2,3) czk + d
重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 重复上述步骤 仍得到相同形式的结果 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射 [证毕 证毕] 证毕
iθ
16
例3 求将单位圆 z < 1 映射成单位圆 w < 1 的分
式线性映射 .
(z)
y
.1 a
x
v
(w )
.a
o
o
.
u
(∞ ) ∞
1 解 设 z = a → w = 0, 则 z = → w = ∞ . a
17
因此可设所求分式线性映射为: 因此可设所求分式线性映射为 za za w=k = ka 1 az 1 z a za , ( k ′ = ka ) = k′ 1 az
C ′ 的内部; 若 z0的象在 C ′ 外部, 则 C的内部就映
为 C ′ 的外部 .
6
方法2 方法 在 C上取三点 z1 , z2 , z3 , 若绕向 :
z1 → z2 → z3 , 与 C ′ 上绕向 w1 → w2 → w3 相同.
则 C的内部就映为 C ′ 的内部.
C
. z3
w3 .
C′
11
由于 z1 → z2 → z3 与 w1 → w2 → w3 绕向相同,
w 1 11 z +1 1+1 : : , = 所求分式线性映射为 w i 1 i z 0 1 0
第六章6.3分式线性映射
三、分式线性映射的几种特性
3、保对称点性
定理 设点 z1, z2关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理
的象点 w1, w2也关于象曲线 C 对称。
6.7
O z1 C
z2 Γ Γ
O w1 C
Γ w2 Γ
21
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 w az b 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
6.3 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。
自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w
1 z
令 z | z |ei ,
则有
w
到
单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论
w
1 z
是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。
zi
解
方法一 分解为四种简单映射
πi
w 2 2e 2
1
.
zi
1
πi
z zi
平移
z1
z1 倒数
z2
e 2 z2
旋转
z3
2z3 相似
z4
z4 2 平移
w
i
πi
e 2 z2
旋转
2i
zi 平移
2z3 相似 1
1 z1
倒数
z4 2 平移
2i 1
12
例 求直线 C {z : Imz 1} 在映射 w 2z 下的像曲线。 zi
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，
而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。
唯一决定分式映射存在的条件
o
λ
x
o
w0
u
再将 Im( z ) > 0 → ξ < 1 由例 2 有， ξ = e
iθ
z = i →ξ = 0
z−i − (5) z+i
(ξ )
由(4)有w = w0 + Rξ − − (6) z−i 复合(5)(6)有 w = w0 + Re − −(7) z+i
同理
w 3 − w1 w 3 − w1 (cz 2 + d ) = w 3 − w 2 w 3 − w 2 (cz1 + d )
所求分式线性映射
故
w − w 1 w 3 − w 2 z − z1 z 3 − z 2 = − − (1) w − w 2 w 3 − w 1 z − z 2 z 3 − z1
az + b ②w = , 其中a , b, c , d cz + d 为实数 , ad − bc < 0 将 Im( z ) > 0 → Im( w ) < 0
上半z平面 下半w平面
③求 Im( z ) > 0 → Im( w ) > 0 的映射 , 可在实轴上取三对
例2 求将上半 z平面 Im( z ) > 0映射成单位圆
(Ⅱ)当二圆周上有一个点映 射成 ∞ 点时 , 这二 圆周的弧所围成的区域 一圆弧与一直线所 围成的区域 ;
F ( Ⅲ )当二圆周交点中的一个 ⎯ ⎯→ ∞ 点时 , 这二 F 圆周的弧所围成区域 ⎯ ⎯→ 角形区域 .
$
分式线性映射具有保圆 性与保对称性 , 在处理 ~~~~~ ~~~~~~~~~ 边界 ,由圆周 ,圆弧 , 直线 , 直线段所组成的区域 的共形映射问题时 , 分式线性映射起着十分 重 要的作用 .
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那么z1→z2→z3与 C 依w1→w2→w3 的绕向相同。
所得求分式线性映射为
w 1 1 i = z + 1 1 0 即w = z i
wi 11 z1 1+1
iz 1
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复变函数
例２ 求将单位圆 z 1映射成单位圆 w 1的分 式线性映射.
= 1,2)
5
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复变函数
w3
wk
=
(z3 zk )(ad bc) , (k (cz3 + d )(czk + d )
=
1,2)
w w1 = (z z1)(ad bc) (cz + d )(cz2 + d ) w w2 (cz + d )(cz1 + d ) (z z2)(ad bc)
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复变函数
2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射
Ａ． 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所
围成的区域.
Ｂ． 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
一直线所围成的区域.
Ｃ． 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,
所以 w = k 1 a = 1. 1a
又因为 1 a = 1 a ，
所以 k = 1, 即 k = ei .
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复变函数
故所求分式线性映射为:
w = ei z a ( 为任意实数 )
1 az 例３ 中心分别在z = 1与z = 1,半径为 2的二圆弧
式(1)是三对点所确定的唯一的一个分式线映射。
因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。
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复变函数 二、 分式线性映射对圆的影射域
1.圆域内部被映射成什么区域?
C . .z2
.
. z1
z1, z2为C内任意两点
C
Q .w2
.
. w1
假设 : z1z2 圆弧 w1w2,且w1在C外部, w2在C内部.
复变函数
情形2 在 C上取三点 z1, z2, z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 ,与C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为C的内部. 若绕向相反, 则C
的内部就映射为C 的外部.
C
. z3
C
w3 .
. w1
z1 .
. w2
. z2
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复变函数
一、 分式线性映射存在的唯一性
虽然
w
=
az cz
+b +d
含有 a, b, c, d四个常数
, 实际只
有三个是独立的 .
所以,只需给定三个条件 ,就能决定一个分式 线性映射 , 我们有 :
3
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复变函数
定理 .
在z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3, 在w平面上也任意给定三个相异的点w1, w2, w3,则 存在唯一的分式线性映射f (z) :
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复变函数
方法２ 情形1 在 C上取三点 z1, z2, z3 , 若绕向: z1 z2 z3 ,与C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为C的内部.
C z1 .
10Leabharlann . z3. z22019/6/4
C
w3 .
.w2
. w1
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= z z1 (cz2 + d )
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z z2 (cz1 + d )
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复变函数
同理 w3 w1 = z3 z1 (cz2 + d ) w3 w2 z3 z2 (cz1 + d )
故 w w1 w3 w2 = z z1 z3 z2 (1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
解 设 z = a w = 0, 则 z = 1 w = . a
因此可设所求分式线性映射为:
w
=
k
z z
a 1
= ka z a az 1
a
= k z a , (k = ka ) 1 az
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复变函数
因为 z = 1 w = 1, w = k z a , 1 az
例 １ 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1的 分式线性映射．
Y (z)
-1
1
x
V (w)
i
-1 0
1
u
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复变函数
解：在X轴上任意取定三点：z1= -1，z2 = 0，z3 = 1，
使它们依次对应于|w|= 1 上的三点： w1 = 1，w2 = i ,w3 = -1，
第六章
复变函数
共形映射
第３节 唯一决定分式 线性映射的条件
1
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复变函数
唯一决定分式线性映射的条件
一、内容提要
1.分式线性映射存在的唯一性
2.分式线性映射对圆域的映射
３.举例分析
二、课堂练习
三、内容小结
四、课后思考
2
五、作业安排 2019/6/4
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这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
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复变函数
一般结论
分式线性映射具有保圆性与保对称性, 在 处理边界,由圆周,圆弧, 直线, 直线段所组成的 区域的共形映射问题时, 分式线性映射起着十 分重要的作用.
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复变函数 三、 举例分析
f : zk f wk (k = 1, 2,3)
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复变函数
证明
设w
=
az + b cz + d
(ad
bc
0),将zk
(k
=
1,2,3)依 次
wk (k = 1,2,3),
即wk
=
azk czk
+b +d
(k = 1,2,3)
因而有
w
wk
=
(z zk )(ad bc) , (k (cz + d )(czk + d )
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复变函数
结论:在分式线性映射下, C的内部不是映射成 C 的内部便映射成C 的外部.
判别方法:
方法１ 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C内部, 则 C的内部就映为
C的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映 为 C 的外部.