小学的奥数之容斥原理

容斥原理（一）

【例题分析】

例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？

分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：

（平方厘米）

方法一：（平方厘米）

方法二：（平方厘米）

方法三：（平方厘米）

答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？

分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

也可以这样解：（人）

或（人）

答：两组都参加的有5人。

例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？

分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

（人）

（人）

答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？

分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

（人）

答：这个年级参加课外小组的有60人。

例5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。

分析与解：根据题意画出如下图

要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。

（人）

（人）

答：全班有42人。

例6. 分母是105的最简真分数有多少个？

分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与105要互质。因为，所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。

能被3整除的数：（个）

能被5整除的数：（个）

能被7整除的数：（个）

能同时被3和5整除的数：

能同时被3和7整除的数：

能同时被5和7整除的数：

（个）

（个）

答：分母是105的最简真分数有48个。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？

2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？

3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人？

4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？

5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？

容斥原理（二）

【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？

分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

（人）

答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？

分析与解：根据题意画图。

方法一：（人）

方法二：（人）

答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？

分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

（人）

答：只参加跑和投掷两项的有3人。

例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

分析与解：根据已知条件画出图。

三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：

整理后得：

由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？

分析与解：根据题意画图。