四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题

四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线2
8y x =的准线方程是（ ）
A ．2x =-
B ．4x =-
C ．2y =-
D ．4y =-
2．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是
A ．中位数为62
B ．中位数为65
C ．众数为62
D ．众数为64
3．命题“0
200,2x x R x ∃∈≤”的否定是 A ．不存在0
200,2
x x R x ∈>
B ．0
2
00,2
x x R x ∃∈>
C ．2(100)(80)7644x x x --+=
D ．2
,2x x R x ∀∈>
4．容量为100的样本，其数据分布在[2]18,
，将样本数据分为4组：[2,6),[6,10),[10,14),[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是
（ ）
A ．样本数据分布在[6,10)的频率为0.32
B ．样本数据分布在[10,14)的频数为40
C ．样本数据分布在[2,10)的频数为40
D ．估计总体数据大约有10%分布在
[10,14)
5．“46k <<”是“22
164
x y k k +=--为椭圆方程”是( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知函数2()log (3)f x x =+，若在[2,5]-上随机取一个实数0x ，则0()1f x ≥的概率为（ ） A ．
37
B ．
47
C ．
57
D ．
67
7．在平面内，已知两定点,A B 间的距离为2，动点P 满足||||4PA PB +=.若
060APB ∠=，则APB ∆的面积为
A ．
2
B C ．D ．8．在2021年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格x 与销售额y 之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售额y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是
3.2ˆˆy x a =-+，则ˆa =（ ）
A ．24-
B ．35.6
C ．40
D ．40.5
9．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，右顶点为E ，过点F 且垂
直于x 轴的直线与双曲线C 相交于不同的两点,A B ，若ABE ∆为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．(2,3]
D ．[2,3)
10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围是( )
A ．56a ≤≤
B ．56a <<
C ．56a <≤
D ．56a ≤<
11．已知椭圆22
:11612
x y C +=的右焦点为F ，点(),P x y 在椭圆C 上.若点Q 满足
1QF =且0QP QF ⋅=，则PQ 的最小值为( )
A ．3
B ．
125
C
D ．1
12．设抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过点()2,0M 的直线与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，与抛物线C 的准线相交于N 点，且3BF =，记ANF 与BNF 的面
积分别为1S ，2S ，则1
2
S S =( ) A ．
710
B ．
45
C ．
47
D ．
23
二、填空题
13．若直线()0y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线，则k =____________. 14．我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 15．如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的a ，b 的值分别为7，3，则输出的n 的值为____________.
16．若经过坐标原点O 的直线l 与圆22430x y y +-+=相交于不同的两点A ，B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________.
三、解答题
17．甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球. (1)从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率； (2)从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.
18．已知命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，则－3＜m ＜－1；命题q ：若关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t ＜－2. (1)写出命题p 的否命题r ，并判断命题r 的真假； (2)判断命题“p 且q”的真假，并说明理由． 19．阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：
(Ⅰ)求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值．
(Ⅱ)根据程序框图，写出函数()()f x x R ∈的解析式，并求当关于x 的方程
()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．
20．已知以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线C ：22(0)y px p =>相交于不同的两点
,A B ，与抛物线C 的准线相交于不同的两点,D E ，且4AB DE ==.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点,M N ，且满足
OM ON ⊥.证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标.
21．一网站营销部为统计某市网友2021年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.
（1）确定,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；
（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.
22．已知动点M 到定点()
F 的距离和它到直线:3
m x =-
M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；
(2)若直线11:l y kx t =+与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，直线
()2212:l y kx t t t =+≠与曲线C 相交于不同的两点D ，E ，
且AB DE =，求以A ，B ，D ，E 为顶点的凸四边形的面积S 的最大值.
参考答案
1．A
【解析】抛物线2
8y x =,满足2
2y px =，所以4p =，则
22
p
=. 所以准线方程是22
p
x =-=-. 故选A. 2．C 【解析】
∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为53,55,62,62,64,65,71,72,73 ∴中位数为64，众数为62 故选C 3．D 【解析】 命题0
200,2x x R x ∃∈≤的否定是2
,2x x R x ∀∈>
故选D 4．D 【分析】
根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果． 【详解】
对于A ，由图可得样本数据分布在[
)6,10的频率为0.0840.32⨯=，所以A 正确． 对于B ，由图可得样本数据分布在[
)10,14的频数为()1000.1440⨯⨯=，所以B 正确． 对于C ，由图可得样本数据分布在[
)2,10的频数为()1000.020.08440⨯+⨯=，所以C 正确.
对于D ，由图可估计总体数据分布在[
)10,14的比例为0.140.440%⨯==，故D 不正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．
5．B 【解析】
若22164
x y k k +=--表示椭圆，则60,40k k ->->，且64k k -≠- ∴45k <<或者5
6k
故46k <<是22
164
x y k k +=--为椭圆方程的必要不充分条件
故选B 6．D 【解析】
令()1f x ≥得32x +≥，即1x ≥-，由几何概型性质可知概率()()
516527
P --==
-- 故选D 7．B 【解析】
在平面内，已知两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足4PA PB +=， 所以动点P 在以A,B 为焦点的椭圆上，其中24,22,2,1a c a c ==∴== 由余弦定理可得：
222
22()3AB PA PB PA
PB cos APB PA PB PA
PB =+-∠=+-，
整理得:
4163PA PB =-，解得：4PA
PB =.
则APB 的面积为1
142
2PA
PB
sin APB ∠=
⨯=故选B. 8．C 【解析】 由题可知89.51010.512
105
x ++++=
=
121086485
y ++++==
∵ 3.2ˆy x a
=-+ ∴ 3.2 3.2ˆ10840a
x y =+=⨯+= 故选C
点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入
求出ˆa
的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明. 9．A 【解析】
双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右顶点为E ，左焦点为F ，EF a c =+，过点F 作垂直于
x 轴的直线与双曲线相交于,A B 两点，则2
12b AB a
= ∵若EAB ∆为锐角三角形，只要FEA ∠为锐角，即
1
2
AB EF < ∴2b a c a
<+，即222c a a ac -<+即220e e --< ∴()1,2e ∈ 故选A
点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．D 【解析】 执行程序：
0,1,01,2,2S i S i a ===+=≤； 3,3,3S i a ==≤； 6,44S i a ==≤，；
10,5,5S i a ==≤； 15,6,6S i a ==>，
共执行了5次循环体，结束循环，所以56a ≤<. 故选D. 11．C 【解析】
根据题意得：()2,0F ,
由0QP QF ⋅=，得QP QF ⊥，所以PQ PF ==又因为422PF ≥-=.
所以4PQ ≥-=故选C. 12．A 【解析】
抛物线2
2y x =的焦点为F (
12,0),准线方程为x =−12
, 分别过A . B 作准线的垂线，垂足分别为D .E ，连结AD 、BE 、AF .
genju
设()()1122,,A x y B x y 、、,直线AB 的方程为()2y k x =-,与2
2y x =联立消去y ，
得(
)
22
2
2
4240k x k x k -++=,所以212122
42
4k x x x x k
++==，，
∵|BF |=2,∴根据抛物线的定义,得|BF |=|BE |=2x +12=3,解得2x =52
. 由此可得1248
5x x =
=,所以|AD |=1x +12=2110
， ∵△CAD 中,BE ∥AD ,∴1221
710310
S AN AD S BN BE ====.
故选A.
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与
系数的关系整体求出,本题2
12y y p =-就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半
径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 13．1 【解析】
∵双曲线2
2
1x y -= ∴1,1a b == ∴渐近线方程为b
y x x a
=±
=± ∵直线(0)y kx k =>为双曲线22
1x y -=的一条渐近线
∴1k = 故答案为1 14．150 【解析】
试题分析：该校教师人数为2400×160150
160
-＝150(人)．
考点：分层抽样方法. 15．3 【解析】
输入7,3,1a b n ===
进入循环，21
,2622
a a a
b b =+
===，不满足a b ≤ 执行循环，63
12,,21224
a n n a a
b b =+==+===，不满足a b ≤ 执行循环，18913,,22428
a n n a a
b b =+==+===，满足a b ≤，输出3n = 故答案为3
16．()2
2
31122x y y ⎛⎫
+-=<≤
⎪⎝⎭
【解析】
设当直线l 的方程为()()1122,,y kx A x y B x y =、、， 与圆联立方程组,消去y 可得：(
)2
2
1430k x
kx +-+=，
由(
)2
2
164130k k
=-+⨯>,可得2
3k
>.
由韦达定理,可得122
41k
x x k +=
+， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为2
2
22121k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
,其中23k >， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：()2
211x y +-=,其中3
22
y <≤. 故答案为()2
2
3
11(
2)2
x y y +-=<≤. 点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．
17．(1) 从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为
1
2
;(2) 从甲，乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同的概率为512
. 【解析】
试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．
试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b .
从甲袋中任取两球，所有可能的结果有{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b 共6种.
其中两球颜色不相同的结果有{}{}{}123,,,,,a b a b a b 共3种.
记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件A ，则()31
62
P A == ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为
12
. （2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为121,,A A B 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有
{}{}{}{}{}{}121111211,,,,,;,,,,,;a A a A a B b A b A b B
{}{}{}212221,,,,,;b A b A b B {}{}{}313231,,,,,b A b A b B 共12种.
其中两球颜色相同的结果有{}{}{}{}{}12112131,,,,,,,,,a A a A b B b B b B 共5种 记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件B ，则()5
12
P B = ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为512
. 18．（1）见解析；（2）见解析 【分析】
（1）若命题p 为真命题，解得实数m 的取值范围，对其求补集.
（2）命题“p 且q”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q”为假．
【详解】
(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1.
∵关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，∴Δ≥0.
∵Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12≥0，化简，得m 2＋4m ＋3≥0. 解得m≤－3或m≥－1. ∴命题r 为真命题．
(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根， 则Δ＝(2m)2－4×
(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12＜0. 化简，得m 2＋4m ＋3＜0.解得－3＜m ＜－1. ∴命题p 为真命题．
对于命题q ：关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，有2
40
t t ⎧->⎨->⎩，解得t
＜－2.
∴命题q 为真命题． ∴命题“p 且q”为真命题． 【点睛】
本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题. 19．（1）见解析（2）(0,1). 【解析】
试题分析：（1）根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；
（2）由框图可知()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪-+>⎩
，分析分段函数的单调性，进而可得解. 试题解析：
(1)当输入的x 的值为1-时，输出的()1
12
2
f x -==
. 当输入的x 的值为2时，输出的()2
22211f x =-⨯+=.
(2)根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪-+>⎩
， 当0x <时，()2x
f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；
当0x =时，()2f x =；
当0x >时，()()2
2211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且
()0f x ≥.
结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为
()0,1.
20．（1）2
4y x =；（5.2) 直线l 过定点()4,0Q .
【解析】
试题分析：（1）由AB DE =，得,A B 两点所在的直线方程为2
p
x =，进而根据长度求得p ；
（2）设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，与抛物线联立得
2440y my n --=，由OM ON ⊥得12120x x y y +=，进而利用韦达定理求解即可.
试题解析：
（1）由已知，4AB DE ==，则,A B 两点所在的直线方程为2
p x = 则24AB p ==，故2p = ∴抛物线C 的方程为24y x =.
（2）由题意，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，
()()1122,,,M x y N x y .
联立24x my n y x
=+⎧⎨=⎩消去x ，得2
440y my n --=.
∴216160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，
∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=
又22
11224,4y x y x ==，
∴2212
1216
y y x x =
∴22212
1212124016
y y x x y y y y n n +=+=-=
解得0n =或4n =
而0n ≠，∴4n =（此时216160m n ∆=+>） ∴直线l 的方程为4x my =+， 故直线l 过x 轴上一定点()4,0Q .
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．(1)见解析（2）见解析 【解析】
试题分析：(1)由频数之和为60，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于,x y 的方程组，由此能求出,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.
试题解析：(1)由题意，得39151860
182
39153x y y x +++++=⎧⎪
+⎨=⎪+++⎩
化简，得15
23x y x y
+=⎧⎨
=⎩，
解得9,6x y == ∴0.15,0.1p q ==
补全的频率分布直方图如图所示：
（2）设这60名网友的网购金额的平均数为x ，
则0.250.050.750.15 1.250.15 1.750.25 2.250.3 2.750.1 1.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）
又∵0.050.150.150.35++=，
0.15
0.30.5
=， ∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元） ∵平均数1.72<，中位数1.82<，
∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.
22．（1）曲线C 的方程为2
214
x y +=；
（2）四边形ABDE 的面积S 的最大值为4. 【解析】
试题分析：（1）设(),M x y ，根据题意，动点M
的轨迹为集合{|
MF P M d
==
，
=
，化简求解即可；
（2）联立122
440y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得()222
11148440k x kt x t ++
+-=，利用两点距离公式及韦达定理求得AB
=，同理可得
DE =
，由AB DE =得120t t +=，设两平行线,AB DE 间的距
离为r =
S AB r =⋅代入求解即可.
试题解析：
（1）设(),M x y ，动点到直线m
：3x =-
的距离为d ， 根据题意，动点M
的轨迹为集合{|
MF P M d
==
2=
化简，得2
214x y +=
∴曲线C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设()()1122,,,A x y B x y 联立1
2
2
440
y kx t x y =+⎧
⎨
+-=⎩消去y ，得(
)2
2
211148440k
x
kt x t +++-=.
∴()
22
11122
211221641081444
14k t kt x x k t x x k ⎧∆=-+>⎪⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=
-⎪
+⎩
， ∴
AB =
=
同理可得DE =
∵AB DE =，
∴2212t t =
又12t t ≠，∴120t t +=
由题意，以,,,A B D E 为顶点的凸四边形为平行四边形 设两平行线,AB DE 间的距离为r ，则 ∵120t t +=
，∴r =
则
S AB r =⋅==
∵
()
2
22
112
4128
4
14k
t t S k -+=
≤=+（当且仅当22
1142k t +=时取等号，此时
满足2
1160t ∆=>），
∴四边形ABDE 的面积S 的最大值为4.。