03随机过程

分布而言， aξ(t)与φξ(t)是统计独立 的 ，即有
3、自协方差函数（Covarance）
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
4、自相关函数（Correlation）
R t1,t2 E t1 t2
x1x2 f x1, x2;t1,t2 dx1dx2
3.1随机过程的基本概念
5、互协方差（Cross Covarance）
(2 )n / 21 2 ... n B 1/ 2
2 B j1 k1 jk
j
k
式中
ak
E[
(tk
)],
2 k
E[ (tk ) ak ]2
3.3 高斯随机过程
式中 |B| － 归一化协方差矩阵的
行列式，即
1 B b21
b12 b1n 1 b2n
bn1 bn2 1
|B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余 因子
f (t)
fT (t)
t
T
0பைடு நூலகம்
T
2
2
3.2 平稳随机过程
平稳随机信号的功率谱密度可以定
义为：
P
E
Ps
lim
T
E
XT
T
2
平均功率：P 1
2
P
d
P
2
f
df
2、功率谱密度的计算
3.2 平稳随机过程
★维纳-辛钦关系
平稳随机过程的自相关函数与其功
率谱密度是一对傅里叶变换。
P ()
2
1 2
1erf 2
xa 2σ
其中 erf (x) 2 x et2 dt 0
称为误差函数，可以查P473表求 出其值。
3.3 高斯随机过程
也可用互补误差函数表示其值：
F (x) 1 1 erfc x a
2 2
其中 erfc(x) 1 erf (x) 2 et2 dt x
3.3 高斯随机过程
4、高斯过程经过线性变换后生成 的过程仍是高斯过程。也可以说， 若线性系统的输入为高斯过程，则 系统输出也是高斯过程。
3.3.3 高斯随机变量
1、定义：高斯过程在任一时刻上的 取值是一个正态分布的随机变量， 也称高斯随机变量
3.3 高斯随机过程
f (x)
1
2
exp
(
x a)2
2 2
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
◆线性系统分析
i t Hht o t
线性系统指的是具有齐次性和叠加 性的系统，且假设此处系统具有时 不变性。而且物理可实现的系统应 该是因果系统（先有输入后有输出。
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
o
t
i
t
h
t
i
h
t
d
对于因果系统，有
o
t
t
i
ht
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
6、互相关（Cross Correlation）
R
t1
,
t
2
E
t1
t
2
3.1随机过程的基本概念
Example: 设一个随机相位的正弦
波为 (t) Acos(ct )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。 试求其均值、方差和自相关函数。
3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性
(1)如果 t 是平稳的、均值为0，则c t 、s t
也如此；
(2)如果 t 为高斯过程，则c t 、s t 也如此；
(3)
2＝
2 c
2；
s
(4)Pc Ps
P
c
P 0，
c
，
取低频 取其它
3.5 窄带随机过程
◆结论：一个均值为零的窄带平稳 高斯过程 ξ(t) ，它的同相分量ξc(t) 和正交分量ξs(t)同样是平稳高斯过 程，而且均值为零，方差也相同。 此外，在同一时刻上得到的ξc和ξs是 互不相关的或统计独立的。
3.1随机过程的基本概念
随机过程(t)的一维到n维分布函数
F1x1,t1 P t1 x1
Fn
x1,
x2 ,
,
xn ; t1 , t2 ,
,tn
P
t1
x1, t2
x2 ,
, tn
xn
随机过程(t)的一维到n维概率密度
函数
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
fn x1,
x2 ,
,
xn ; t1 , t2 ,
3.5 窄带随机过程
窄带随机过程表示式展开
t c t cosct s t sin ct c t a t cos t 同相分量 s t a t sin t 正交分量
若ξ(t)的统计特性已知，则aξ(t)和 φξ(t)或ξc(t)和ξs(t)的统计特性也随之 确定。
3.5 窄带随机过程
3.2 平稳随机过程
各态历经性是平稳随机过程才有的 特性。
Example 3－1：设一个随机相位的
正弦波为ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A
和ωc均为常数；θ是在(0,2π)内均 匀分布的随机变量。试讨论是否具 有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.1.3 平稳过程的自相关函数 自相关函数的性质：
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化 的过程，它不能用确切的时间函数 描述。可从两种不同角度看：
当x>2时 erfc(x) 1 ex2
x
3.3 高斯随机过程
用Q函数表示正态分布函数：
Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt 2 x
Q函数和erfc函数的关系：
Q(x) 1 erfc x 2 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
Q函数和分布函数F(x)的关系：
F(x) 1 1 erfc x a 1 Q x a
角度1：对应不同随机试验结果的时 间过程的集合。
3.1随机过程的基本概念
【例】n台示波器同时观测并记录n 台接收机的输出噪声波形 样本函数ξi(t)：一次实现。 随机过程：ξ(t) 是全部样本函数的 集合。 (t )
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的 延伸。
7、若 t 有周期量，则R 也有，且周期相同
8、若 t 是各态历经、零均值且无周期分量， 则 lim R 0
3.2 平稳随机过程
3.2.4 平稳过程的功率谱密度
1、定义：
确定功率信号f(t)的功率谱密度
Pf
(f)
lim
T
FT ( f T
)2
FT(f)是截短fT(t) 对应的频谱
d
0 i
t
h
d
频域中 Xo Xi H
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
1、输出过程的数学期望
设输入是平稳随机过程
E
o
t
E
0
i
t
h
d
H 0 E i t
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
2、输出过程的自相关函数
Ro t1,t2 E o t1 o t2
E
0
i
t1
h
d
0
i
t2
h
d
令t2 t1
Ro
以上两式说明:如果输入是广义平稳
的，输出也是。
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
3、输出过程的功率谱密度
Po F Ro Pi H H Pi H 2
3.4 平稳随机过程通 过线性系统
Example：试求功率谱密度为n0/2 的噪声通过理想低通滤波器后的功 率谱密度、自相关函数和功率。
3.2 平稳随机过程
各态历经性条件
设：x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一样
本，则其时间均值和时间相关函数
分别定义为
ax
A
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t dt
T 2
R
A
x
t
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t x t dt
T 2
如果 a a R( ) R( )
称该平稳过程具有各态历经性。
因此，可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量 ξi(t1)的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进 行精确的数学描述。
3.1随机过程的基本概念
☺通信系统中的噪声就是一种随机信 号 ☺虽然随机信号不能预测，但我们可 以通过统计学来得到它们的一般表 述。
3.1.1 随机过程的分布函数
2 2
f (x) 1
2
o
a
x
3.3 高斯随机过程
2、性质
f a x f a x
f (x)dx 1
a f (x)dx f (x)dx 1
a
2
3、正态分布函数（误差函数）
x
F(x) P( x)
1
2
exp
(z a)2
2 2
dz
3.3 高斯随机过程
F (x) 1 2 e dt (xa)/ 2 t2
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
1、狭义平稳
fn x1x2, , xn;t1,t2, ,tn fn x1x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn
任意有限维分布函数与时间起点无 关，称该随机过程是在严格意义下 的平稳随机过程，简称严平稳随机 过程。
3.2 平稳随机过程
2、广义平稳
平稳随机过程的一维分布与时间t无 关，而二维分布只与时间间隔τ有关， 数字特征为
(1)E t a
为(广2)义R 平t,t稳随 机R过 程。显然，严平
稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
3.2 平稳随机过程
3.2.2 各态历经性
提出问题：能否从一次试验而得到 的一个样本函数x(t)来决定平稳过程 的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有 非常有用的特性，称为“各态历经 性”（又称“遍历性”）。任一实 现的时间平均值来代替。
几种常用的傅立叶变换关系及傅氏 变换性质：
3.3 高斯随机过程
3.1.1 高斯（正态）过程定义
如果随机过程ξ(t)的任意n维分布均
服从正态分布，则称为正态过程或
高斯过程。
n维正态PDF为：
fn (x1, x2 ,..., xn；t1,t2 ,...,tn )
1
exp
1 n
n
B
( x j a j )( xk ak )
bjk － 为归一化协方差函数，即
bjk
E{[ (t
j
)
a j ][ (tk j k
)
ak
]}
3.3 高斯随机过程
3.3.2 重要性质
1、对于高斯过程，只需要研究它 的数字特征就可以了。
2、广义平稳的高斯过程也是严平 稳的。
3、如果高斯过程在不同时刻的取 值是不相关的，那么它们也是统计 独立的。
4、输出过程 o t的 概率分布
如果输入是高斯随机过程，输出也 是。
3.5 窄带随机过程
◆窄带的概念
若随机过程(t)的谱密度集中在中心 频率fc附近相对窄的频带范围f 内， 即满足f << fc的条件，且 fc 远离 零频率，则称该(t)为窄带随机过程。
典型的窄带过程频谱和样本函数如 下图：
3.5 窄带随机过程
1、R 0 E 2 t S 称为 t 的平均功率 2、R R － 必须是实过程才成立 3、R R 0
上界性，即当＝0时，相关性最大
4、R ＝E2 t 称为 t 的直流功率
3.2 平稳随机过程
5、R 0－R ＝ 2 方差, t 的交流功率
6、若E t ＝a 0，则R 中一定有常数a2
窄带过程可表示为： t a tcos ct t a t 0
3.5 窄带随机过程
窄带随机过程的表示式
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
式中，aξ(t) － 随机包络， φξ(t) － 随机相位
ωc － 中心角频率 显然，a ξ(t)和φξ(t)的变化相对于载 波cos ω ct的变化要缓慢得多。
R( ) e j d
R( ) 1
2
P
()
e
j
d
简记为 R( ) P ( f ) 是联系频域和时域两种分析方法的
基本关系式。
3.2 平稳随机过程
注意：此处频谱为双边谱，既有正频 谱，又有负频谱，在实际中只有正频 谱。
Example 3－2：求随机相位余弦波 ξ (t)=Acos(ωct+θ)的自相关函数和功 率谱密度。
3.5 窄带随机过程
3.5.2 a(t)和(t)的统计特性
f a ,
a
2 2
exp
a2
2
2
f a
a
2
exp
a2
2
2
a 0
f
1
2
0 2
a t
2
t
3.5 窄带随机过程
◆结论
一个均值为零，方差为σξ2的窄 带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的 一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的 一维分布是均匀分布，并且就一维
,tn
nFn x1, x2, , xn;t1,t2,
x1x2 xn
,tn
3.1随机过程的基本概念
3.1.2 随机过程的数字特征
1、数学期望（Expectation）
E t xf1 x,t dx a t
2、方差（Varance）
D
t
E
t
E
t
2
E t a t 2 2 t
3.1随机过程的基本概念