结构动力学-1、单自由度建立方程分析
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L
P(t)
1. 惯性力， 2. 刚架的弹性恢复力，
L
3. 动荷载。
刚度法建立方程的依据： 质点在任意时刻受力平衡 1. 惯性力
(t ) 负号表示方向向左 2m y
2. 刚架的弹性恢复力ky 侧移刚度K: 质点单位侧移需施加的力
A 1 K
y B D
y
1
变形图
C
K
VBA VDC
要求K, 就要取水平力的平衡 要确定2个柱的剪力，就要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
振动方程的建立：
P(t)
y(t)
考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为
EI，质点的质量为m, 时刻 t 质点的位移y(t) 1. 阻尼力
EI
(t ) 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反 FD Cy
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括:
①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力）
(t ) m( j d ) y y y 惯性力：I (t ) m
其中 或
j d ) k ( y j yd ) W ……………(a) m( y y j 0 上式可以简化为 y kyj=W 及 d kyd 0 m y ky 0 m y .......... .......... .......... ......(b)
B
m
EI
m y(t)
EA
M B 0
2L m y
2L
EA y xy L m dx x 0 0 L 2 2L
练习题2
Psinθt
EI
m
EI1=∞
建立振动方程，阻尼
C
EI
L
器的阻尼系数为C
L
Psinθt
EI
m EI1=∞ EI
84 EI K 5 L3
1
柔度法求 K 位移/力—柔度 力/位移—刚度
求刚架在P=1下产生的位移，再取倒数
1/2
3L/14
P=1
4L/14
用力法作出弯矩图
L
5 L3 84EI
1 5L3 K 84EI
3. 振动方程
y B
y
FI Ky (t ) P(t )
D
P(t)
FE
FI
③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力
④通过基础散失的能量
阻尼器简介
线圈
P
P
普通油压阻尼器
位移感应
电来自百度文库（电压）变化
液体粘性变化 磁流变阻尼器
应用实例
构造说明
2. 弹性恢复力
FE= - K y(t) ，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反 3．惯性力 (t ) ，为质点运动加速度，惯性力与运 y FI= m 动方向相反 4．动力荷载 P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同 5．振动方程的建立
为yt 是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移 静平衡位置
注意：振动方程中的 yt 仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认
力学模型
m 重力： W
. y . .y
k
S(t)
m m
j d
.y
d
质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
恒与位移反向
W
I(t)
+
S (t ) ky(t ) k ( y j yd ) 弹性力：
例题2
试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , EI=常数
m m L
L
yt
t m y
Ky t
原理：任意时刻受力平衡
K 1
K
t Kyt 0 m y
K
6i/L
K
6i/L
24 EI L3
练习题1
m
EI
m
EA
L
L
L
解:振动模态
解:振动模态 x dx
A
C
(t ) 2m y
m FD FE FI P(t)
P(t)
y(t)
EI
FD+ FE+ FI+ P(t) = 0
例题1:
K2
EI=∞ C
D
E
F G K1
m
A K1
已知，阻尼系数为C
12 EI K1 3 a K2 4 EI a
试建立体系的运动微分方程
K2
EI=∞ C
DD
E
FF
m
A
y(t)
K1
G
K1
解：1）动力自由度为1， 设E处的竖向位移是y(t)
R
由∑MA=0 得
(t ) /3 Cy
2K1y(t)/3
(t ) 2 y(t ) Cy y(t ) 3L y(t ) R 3L K1 2L L K2 m dx( x) x 0 0 3 3 3L 3L
由以上两式消去R后整理得
3 (t ) 79EIy(t ) 0 15L my(t ) CL y 4
K2
EI=∞ C
D
E
F
G K2 x G
m
A K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F m dx
由∑MG=0 得：
R
K2y(t)/2
y (t ) R 2L K 2 L 2
2L
0
xy (t ) m dx ( ) x 0 2L
3）考虑ABDE部分的受力
A
x
m dx
D
E y(t)
单自由度体系 建立振动方程
重 点：建立方程 难 点：达朗贝原理建立方程 柔度系数、刚度系数
单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。频率、周期、振型 等
C
振动模态
y(t)
Psinθt
EI
m
EI1=∞
EI
C
振动模态
1
K K
6i L
6i L
K
24 EI L3
6i L
P sin t
m y
Ky cy
cy Ky P sin t m y
例题3----刚度法建立方程 试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m , EI=常数 质点受力：
K
Δ=1
k/2 取半结构
1
问题
1
支座水平移动单位位移下
引起的柱间剪力 = K/2
等价问题
即，“支座移动”结构内力的计算问
题
1
1
6i/L
R
4i
6i
r
等价问题
6i/L
2i
3 位移法方程：r11θ+ R = 0 ，解得 B 5L
1
6i/L
R
4i 6i
r
6i/L
1
2i
K/2
18i/5L
VBA M图 24i/5L
P(t)
1. 惯性力， 2. 刚架的弹性恢复力，
L
3. 动荷载。
刚度法建立方程的依据： 质点在任意时刻受力平衡 1. 惯性力
(t ) 负号表示方向向左 2m y
2. 刚架的弹性恢复力ky 侧移刚度K: 质点单位侧移需施加的力
A 1 K
y B D
y
1
变形图
C
K
VBA VDC
要求K, 就要取水平力的平衡 要确定2个柱的剪力，就要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
振动方程的建立：
P(t)
y(t)
考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为
EI，质点的质量为m, 时刻 t 质点的位移y(t) 1. 阻尼力
EI
(t ) 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反 FD Cy
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括:
①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力）
(t ) m( j d ) y y y 惯性力：I (t ) m
其中 或
j d ) k ( y j yd ) W ……………(a) m( y y j 0 上式可以简化为 y kyj=W 及 d kyd 0 m y ky 0 m y .......... .......... .......... ......(b)
B
m
EI
m y(t)
EA
M B 0
2L m y
2L
EA y xy L m dx x 0 0 L 2 2L
练习题2
Psinθt
EI
m
EI1=∞
建立振动方程，阻尼
C
EI
L
器的阻尼系数为C
L
Psinθt
EI
m EI1=∞ EI
84 EI K 5 L3
1
柔度法求 K 位移/力—柔度 力/位移—刚度
求刚架在P=1下产生的位移，再取倒数
1/2
3L/14
P=1
4L/14
用力法作出弯矩图
L
5 L3 84EI
1 5L3 K 84EI
3. 振动方程
y B
y
FI Ky (t ) P(t )
D
P(t)
FE
FI
③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力
④通过基础散失的能量
阻尼器简介
线圈
P
P
普通油压阻尼器
位移感应
电来自百度文库（电压）变化
液体粘性变化 磁流变阻尼器
应用实例
构造说明
2. 弹性恢复力
FE= - K y(t) ，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反 3．惯性力 (t ) ，为质点运动加速度，惯性力与运 y FI= m 动方向相反 4．动力荷载 P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同 5．振动方程的建立
为yt 是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移 静平衡位置
注意：振动方程中的 yt 仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认
力学模型
m 重力： W
. y . .y
k
S(t)
m m
j d
.y
d
质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
恒与位移反向
W
I(t)
+
S (t ) ky(t ) k ( y j yd ) 弹性力：
例题2
试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , EI=常数
m m L
L
yt
t m y
Ky t
原理：任意时刻受力平衡
K 1
K
t Kyt 0 m y
K
6i/L
K
6i/L
24 EI L3
练习题1
m
EI
m
EA
L
L
L
解:振动模态
解:振动模态 x dx
A
C
(t ) 2m y
m FD FE FI P(t)
P(t)
y(t)
EI
FD+ FE+ FI+ P(t) = 0
例题1:
K2
EI=∞ C
D
E
F G K1
m
A K1
已知，阻尼系数为C
12 EI K1 3 a K2 4 EI a
试建立体系的运动微分方程
K2
EI=∞ C
DD
E
FF
m
A
y(t)
K1
G
K1
解：1）动力自由度为1， 设E处的竖向位移是y(t)
R
由∑MA=0 得
(t ) /3 Cy
2K1y(t)/3
(t ) 2 y(t ) Cy y(t ) 3L y(t ) R 3L K1 2L L K2 m dx( x) x 0 0 3 3 3L 3L
由以上两式消去R后整理得
3 (t ) 79EIy(t ) 0 15L my(t ) CL y 4
K2
EI=∞ C
D
E
F
G K2 x G
m
A K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F m dx
由∑MG=0 得：
R
K2y(t)/2
y (t ) R 2L K 2 L 2
2L
0
xy (t ) m dx ( ) x 0 2L
3）考虑ABDE部分的受力
A
x
m dx
D
E y(t)
单自由度体系 建立振动方程
重 点：建立方程 难 点：达朗贝原理建立方程 柔度系数、刚度系数
单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。频率、周期、振型 等
C
振动模态
y(t)
Psinθt
EI
m
EI1=∞
EI
C
振动模态
1
K K
6i L
6i L
K
24 EI L3
6i L
P sin t
m y
Ky cy
cy Ky P sin t m y
例题3----刚度法建立方程 试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m , EI=常数 质点受力：
K
Δ=1
k/2 取半结构
1
问题
1
支座水平移动单位位移下
引起的柱间剪力 = K/2
等价问题
即，“支座移动”结构内力的计算问
题
1
1
6i/L
R
4i
6i
r
等价问题
6i/L
2i
3 位移法方程：r11θ+ R = 0 ，解得 B 5L
1
6i/L
R
4i 6i
r
6i/L
1
2i
K/2
18i/5L
VBA M图 24i/5L