机器人避障问题

D题机器人避障问题

摘要

本文针对机器人的避障问题，建立了两个相应的数学模型。

模型一：针对机器人避障最短路径的问题。研究了机器人从出发点到目标点，以及从出发点经过若干目标点最终回到出发点的两种情况。

首先，证明了具有圆形限定区域的最短路径是由限定区域的部分边界（部分圆弧）以及与之相切的直线段组成；

其次，依据证明结果，最短路径一定是由线和圆弧组成，以线圆结构建立了最短路径与时间的通用优化模型，解决了无论路径多么复杂都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解的问题；

再次，对于途中经过若干目标点最终再回到出发点的问题，采用在拐点和节点都用最小转弯半径的的方案进行计算；

最后，对机器人所走最短路径可能性较大的几条路径进行分割，再用通用优化模型进行求解，得到机器人行走的最短路径如下：

路径总距离（单位）总时间（秒）

→ 471.0372 96.0176

O A

→853.7001 179.5340

O B

→1095.1 224.7865

O C

→→→→2762.5 581.4193 O A B C O

模型二：针对机器人避障最短时间路径的问题。研究了行走总时间（即机器人走直线和圆弧所用的时间之和）会随转弯圆弧的圆心和半径的变动而改变的情况。

首先，分析在半径一定、圆心在直线OE上运动的情况，得到半径一定时的最短时间路径的最优方案；

然后，以转弯圆弧过E点为条件，通过调整半径的大小，得出最短时间路径的最优方案；

最后，以以上两种方案为依据，得到O A

→的最短时间路径为：圆心为(82,208)，T=(秒)。

12.828

r=（单位），94.2284

本文还对模型做了进一步的推广，对于智能设备的研究有较高的参考价值。

关键词：最短路径最短时间路径线圆结构最优化模型

1问题重述

1.1 背景资料

（1）图1（见附录B ）在原点O(0,0)处有一个机器人，它只能在一个800×800的平面场景范围内活动。而图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，其障碍物的数学描述如表（见附录A ）。

（2）在图1（见附录B ）的平面场景中：

a.在障碍物外选一点作为机器人将到的目标点（目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。

b.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧（机器人的转弯路径），而机器人不能折线转弯，转弯路径由直线路径相切的一段圆弧组成，也可以是两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。

c.为了不与障碍物发生碰撞，要求满足机器人行走路线与障碍物的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若发生碰撞，那么机器人将无法完成行走。 （3）机器人直线行走的最大速度为05v =个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度

为2

100.1()1e

v v

v ρ

ρ-==

+，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人

将发生侧翻，无法完成行走。

1.2 问题提出

问题一 建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)中，计算机器人从O(0, 0)出发，O →A 、O →B 、O →C 和O →A →B →C →O 的最短路径。

问题二 ：机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

2 模型假设与符号说明

2.1模型假设

1.假设机器人为一个质点。

2.假设障碍物的数学描述准确无误。

3.假设机器人的速度不受其他外部因素影响。

2.2 符号说明

L ：路径的总长度

i d ：第i 条路径的总长度（1,2,3i = ） j l ：第j 段圆弧的长度（1,2,3j = ）

r ：转弯圆弧所在圆的半径

k ：障碍物上的任意点与行走路径之间的最短距离 T ：机器人走完路径所用的时间

3 问题分析

3.1问题一的分析：

问题一中要求求机器人从定点O (0,0)按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短路径。

首先，平面上两点间的最短距离是两点间所连直线段，当其所连直线段与障碍物相交时，必须要有折线路径，因此我们要猜想并证明当走折线时两点的最短路径。

其次，画出机器人行走的危险区域，则其拐点处为半径为10个单位的四分之一圆弧。

再次，列出机器人经过拐点处的所有可能的情况，并分别分析出机器人经过不同种拐点时的，最短路径的计算方法，这里可采用拉绳子的方法（比如求R和A之间的最短路径，那么R和A点之间的距离就可以用一段绳子连接来表示，以拐角处的圆弧为支撑拉紧，即这段绳子的长度便是R到A的一条可能的最短路径）。

最后，列出机器人从定点O到各目标点可能性较大的最短路径，然后比较其大小，从而得到其最短路径。

3.2问题二的分析

问题二中要求求机器人从定点O(0,0)出发，按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短时间路径。

首先，我们把机器人行走的危险区域用包络线画出，那么在拐角的四分之一的圆弧是半径为10个单位的圆。

然后，由题知最短行走时间与半径和圆心的变化相联系。所以先确定半径，分析当圆心符合什么关系时的行走时间最短。再分析半径的变化范围，求在什么条件下时间符合最短。

其次，将半径和圆心的关系联合起来进行综合分析，建立最短时间模型。

最后，根据最短时间路径模型，利用MATABL编程求解机器人从O(0,0)出发到A的最短时间路径。

4 模型建立与求解

4.1猜想证明

首先证明一个猜想，一个圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界（即圆的部分弧长），这两部分是相切的。

证明：如图4-1，假设在平面中有(,0)

A a

B a两点，中间有一个半圆形的障

和(,0)

碍物，证明从A到B的最短路径为

A EF B。

图4-1 猜想示意图