第十章～第十一章习题+解答

第十章～第十一章

1、简述定态微扰论的基本思想。

解答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果。

满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开

与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…。

2、非简并定态微扰论的适用条件是什么？

解答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大。

3、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同?

解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。

4、设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

解：由微扰公式得

得

∴能量的二级修正值为

5．设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子内禀磁矩与外磁场的作用为

设初始时刻电子自旋态为的本征态即（采用表象）

求在t时刻电子自旋态

解：体系的能量本征态，即的本征值和本征态分别为

电子自旋初态为，按，t时刻自旋态为

6．设在H0表象中，的矩阵为：

试用微扰论求能量的二级修正。（提示：先找到和微扰）

解：微扰算符的的矩阵是

（1）

根据无简并微扰论，一级能量修正量是：

从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量

又二级能量公式是：

所需的矩阵元已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：

故