高考中常见数学模型归类分析

靠 近 ·故要汽 车保有 量不超 过 ６０万辆则 须
ｌｉｂ
＝
一
一 １，所 以
６０，即 ３．６．综上 ，每年新 增 汽车不 应超过 ３．６
万辆 ． Ｙ ＝２５６几＋（ｎ＋１）（２＋ ） ＝２５６（一ｍ 一１）＋
３、不 等式 （组 ）模 型
ｍ（２＋√ ） ：２—５６—ｍ ＋，ｎ√ ＋２ｍ 一
＞ １·８时 ， ｂ
ห้องสมุดไป่ตู้
［ ＋（３０一 ）×０·
Ｈ— ∞
ｎ—＋∞ 、，． ～几 ，
Ｉ，． ～八 Ｊ
（２）当 ｍ ＝６４０米 时 ，需 新 建 多少 个 桥墩 才能 使 Ｙ最 小 ？
解 ：（１）设 需要 新建 ｎ个 桥墩 ，（ｎ＋１） ＝ｍ，即
９４ ］
，并且 数 列 ｛ｂ ｝逐项 增 加 ，可 以任 意
兀 ．
例 ２ （２００７年 高考试 题 ·广 东卷 ）下表提 供 了 某厂 节能 降耗 技术 改 造后 生产 甲产 品过 程 中记 录 的 产量 （吨 ）与相应 的 生产 能耗 Ｙ（吨标 准煤 ）的几组 对 照数 据．
（１）略 （２）请 根 据 上 表 提 供 的数 据 ，用 最 小 二
函数 、对数 函数 、幂 函数 等．函数 模 型 经 常 涉及 到成 本 投 入 、利 润 产 出及 关 于 效 益 、价 格 、流 量 、面积 、体 积等 实 际问题 ．解答 这 类 问题一 般要 利用 数量关 系 ， 列 出 目标 函数 式 ，然后 用 函数 有 关 知 识 和 方法 加 以 解 决．大量 的 实际 问题 隐含着 量 与量之 问 的关 系 ，建 立 量 与量 的 函数关 系 ，就成 为解题 的关 键 ，一旦 函数 关 系建 立 即可 用 函数 知 识使 问题 获得 解决 ．
６４０）内为增 函数．所 以厂（ＰＣ）在 ＝６４处取得 最小 方 案获得 相应金 额 的奖券 ：
消费金额（元）的范围 ｌ Ｅ２ｏｏ，４００） ｌ ［４００，５００） Ｉ ［５ｏｏ，７００） ［７００，９００）
获得奖券的金额（元） ｌ ３０ ｌ ６０ １ １００
１３０
例 ４ （２００２年高考 试题 ·全 国理科 卷 ）某城市 ２００１年末 汽 车保 有量 为 ３０万辆 ，预计 此后 每年报废 上一年末汽车保有 量 的 ６％ ，并且 每年 新增 汽车数 量
—
—
—
—
４
—
—
—
—
相 同．为保护城市 环境 ，要求 该城 市 汽车保 有 量不 超
一 ４ｘ·ｙ）／（∑ 一４ 。）＝０．７，０＝Ｙ—ｂｘ＝０．３５， 过 ６０万辆 ，那么每年新增汽 车数量 不应超过多少辆 ？
２５６．
Ｐ Ｃ
不等 式 （组 ）模 型经常 涉及到 统筹安 排 、最佳 决 策 、最优 化 、水土 流失 、安全 责 任 等一 些 有 关 不等 量
（２）由（１）知 ，
厂（ ）：一２丁５６ｍ ＋ ｍ 一士 ：
（ ÷ 一
５１２）．
或 最值 的实际 问题．解答 这 类 问题一 般 是 先 列 出不 等 式 （组 ），然 后解 之 即可 ，关 键 是 找 出 各 变量 的关 系．
分析 ：每年 的汽车保 有量构 成数 列 ６ ，保 有量 不 超 过 ６Ｏ万 ，说 明数 列 ｂ 的极 限是 ６０．设汽 车保有 量 ２００１年末 为 ｂ 万辆 ，以后 各 年末 依 次 为 ｂ 万 辆 ，ｂ， 万 辆 ，… ，每年新 增汽 车 万辆 ，则 ｂ。：３０，ｂ ＝ｂ × ０．９４＋ ，对于 ｎ＞１，有 ｂ ＝０．９４ｂ ＋ ，所 以 ｂ，ｆ＋ｌ
数 学 应 用 题 的 教 学 重 点 在 新 课 程 中规 定 的 应 用 ：
１、初 步 掌握建 立 函数模 型 解决 问题 的过 程和 方 法 ；
２、能运 用三 角 函数 知识 分 析处 理实 际 问题 ，掌 握 利用 正弦 定理 、余 弦定理 解决 实 际应用 ；
３、会 从 实际情 境 中抽象 出一些 简单 的二元 线 性 规 划 问题 并 加 以解 决 ；
一 座桥 ，两端 的桥墩已建好 ，这两墩相距 ｍ米 ，余下 ＝ ０·９４“ｂｌ＋ （１＋０·９４＋．．。＋０·９４ ）
＋
工程 只需要 建两 端桥 墩之 间的桥 面和桥 墩 ，经 预测 ，
一 个 桥墩 的工程 费用 为 ２５６万元 ，距 离为 米 的相邻 （３０一 ）×０·９４ ，当 ３０一
２０１１年 第 ４期
中学 数 学 研 究
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高 考 中常 见数 学模 型 归 类 分 析
广东省佛 山市南海 中学分校 （５２８２０８） 李思根 华南师 范大学数 学科 学学院 （广 州 ，５１０６３１） 洪鹏花
一 、 新 课 标 的 要 求
新 数学 课程 目标 的一 个 重点 是让学 生 全面 了解 数学 背景 、意义 和价 值 ，尤 其 是 它 的应 用 性 与 方 法． 数 学建 模是 达 到此 目标 的一 个 极 好 途 径．在 近 几 年 的高考 中 ，这方 面题 目的数量 和分 值逐 渐增 加 ，应 用 题 材更 贴近 实 际生活 ，灵 活性 也 大 大 提 高．因此 ，在 高 中阶段渗 透建 模思 想是 非 常必要 的．
所求 回归方 程为 ＝０．７ｘ＋０．３５． （３）当 ＝ １００时 ，Ｙ ＝ ０．７ ×１００ ＋０．３５ ＝
７０．３５，所 以预测生产 １００吨 甲产 品 的生产能 耗 比技 术改 造前 降低 ９０—７０．３５ ＝１９．６５吨标 准煤 ．
例 ３ （２００９年 高考试题 ·湖南理科 卷 ）某 地建
不 等式 组 ① 无解 ，不等 式组 ② 的解 为 ６２５ ７５０．因此 ，当顾 客 购 买 标 价 在 ［６２５，７５０］元 内 的
８００，消 费额 ：４００ ０．８ｘ≤ ６４０．
，，／ ，
７
＼
６”）＇
如 果一 个 单 位 的午 餐 、晚餐 的费 用分 别 是 ２．５ 元和 ４元 ，那么 要满 足上 述 的 营养要 求 ，并 且花 费 最 少 ，应 当为 该儿 童 分 别 预定 多 少个 单 位 的午 餐 和 晚
（１）当每辆 车 的月 租金 定 为 ３６００元 时 ，能租 出 多 少辆 车 ？
（２）当每 辆车 的 月 租金 定 为 多少 元 时 ，租 赁 公 司 的月 收益 最 大？最 大 月收益 是 多少 ？
解 ：（１）（略 ）（２）分 析 ：月 租金 是 自变 量 ，月 收 益 是 因变量 ，要是 月 收益最 大 ，通过 改变 自变 量去试 不太 可行 ，而且不 严 谨 ，最好 是 可 以建 立 一 个 函数 ， 通 过分 析 函数得 到 ，则既严 谨 又方便 ．设 每辆 车 的月 租金 定 为 元 ，则 租赁 公 司的月 收益 为 ．厂（ ） ＝一（ 一 ４０５０） ／５０＋３０７０５０．所 以 ，当 ＝４０５０时 ，ｆ ｌ ）取 到最 大值 ４０５０） ＝３０７０５０．即 当每 辆 车 的 月 租金 定为 ４０５０元 时 ，租赁 公 司 的月 收 益 最大 ，为 ３０７０５０
０，即 ·８
两墩 之 间的桥 面工程 费用 为 （２＋ ） 万元．假 设桥 墩等 距离分 布 ，所 有桥 墩都视 为点 ，且不 考虑其 他 因 时 ，ｂ ＋１ ｂ … ｂ１＝３０·当 ３０一
＜０，即
素 ，记余下 工程 的费用 为 Ｙ万 元． （１）试 写 出 Ｙ关 于 的 函数关 系式 ；
＞ ／
／ ，
，
得 的优 惠额 ／商 品 的标价．试 问 ： （１）略 （２）对 于标价 在 ［５００，８００］（元 ）内 的商
品 ，顾 客 购 买标 价 为 多 少 元 的商 品 ，可得 到 不 小 于
１／３的优 惠率 ？ 解 ：（２）设 商 品 的 标 价 为 元 ，则 ５００ ≤
例 １ （２００３北京 春 ，理 、文 ２１）某 租 赁公 司拥 有 汽 车 １００辆．当每辆 车 的月 租金 为 ３０００元时 ，可全 部 租 出．当每辆 车 的月 租金 每增 加 ５０元 时 ，未 租 出 的车将 会增 加一 辆．租 出 的车 每 辆 每 月需 要 维 护 费 １５０元 ，未 租 出的 车每辆 每 月需要 维 护费 ５０元．
作 者 系 华 南 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 本 科 生
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乘法 求 出 Ｙ关 于 的线性 回归方程 ＝ｂｘ＋。； （３）已知该 厂技 改前 吨 甲产 品 的生 产能 耗 为 吨
标准 煤．试根 据 （２）求 出的线 性 回归方程 ，预 测 生产 吨 甲产 品的生产 能耗 比技改前 降低 多少 吨标准 煤 ？
解：（１）略（２）根据数据计算可得：６＝（∑ｘｉＹ
值 ，此 时 ， ： 一１： 一１：９．故 需新建 ９个桥
墩才 能使 Ｙ最 小． ２、数 列模型 这类 实 际问题 的数学 模 型 的建 立 ，关键 是 通过
观察 、分析 、归纳 出 问题成 等 差 或 等 比数 列 ，然 后再 利用 数列 知识加 以解决 ，常见 问题 有利 率 、产 量 、降 价 、繁殖 、增 长率 等．
分析 ：要 刻 画现实 生活 中的量 与量 的相关关 系 ， 先做 出数据 的散 点 图 ，再 根 据 散 点 图呈 现 的规 律 性 进行 数据拟 合．回归分 析 中最 重要 的是线 性 回归 ，即 求两 个变量 的近似 函数 关系 ，得 到 回归 方程 ＝ ｂｘ ＋口后 ，可 以用 它来 预报 和控制．
由 已 知 得 ①
０ ’？ ３或 ６
餐 ？
８
解 ：设 预 订 的午餐 和 晚餐 分别 为 个单 位 和 Ｙ个
ｆ（０．２ｘ ＋１００）／ｘ １／３ — １５ｏｏ ｓ ０．８ｘ ６４０
单 位 ，所花 的费用 为 ｚ元 ，依题 意 可得
１２ｘ ＋ ８ｙ ６４
ｆ３ｘ ＋２ｙ １６
４、能用 抽样 方法 解 决简 单 的实 际 问题 ，会 用 样 本估 计总 体 的思想 解决 一些 简单 的实 际 问题 ；
５、能 把一些 实 际 问题 抽 象成 两点 分布 或超 几何 分 布的模 型加 以解 决 ；
６、能 应用 导数 解决 一些 简单 的实 际 问题． 会将 这些 应用 问题 会 拓 展 到 不等 式 （一元 二 次 不等 式 ）、数 列 、解 析几 何 、统计 与概 率 （总体特 征 数 的估计 、古 典概 型 ）中． 二 、高 考 应 用 题 分 类 解 析 本 文从 数 学 建模 的角 度 ，对 高考 应 用题 中 常见 类 型进 行 归类分 析． 根 据数 学模 型 的性质 和建 立数 学模 型方 法 的不 同 ，可 以对数 学模 型 有各种 不 同 的分类 方法 ，本 文按 建 立数学 模 型所 使 用 的数 学 工 具 将 数 学 模 型 分 为 ： 函数模 型 、数列 模 型 、不 等式 （组 ）模 型 、三 角模 型 、 立体 与平 面解 析几 何模 型 、统计 概率 模 型等． １、函数模 型 高 中常见 的函 数有 ：一 次 函数 、二 次 函数 、指 数
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根据 上述 促销 方法 ，顾 客在 该 商 场 购物 可 以获 得 双重 优 惠．例 如 ，购买 标 价 为 ４００元 的商 品 ，则 消 费 金额 为 ３２０元 ，获得 的优惠 额为 ：４００ Ｘ０．２＋３０ ＝ １１０（元 ）．设购 买商 品 得 到 的优 惠 率 ＝ 购买 商 品获
令 ．厂（ ）＝０，得 Ｘ：５－＝５１２，所 以 ＝６４．当 ０ ＜
例 ５ （２００２年高 考试题 ·上海卷 ）某 商场 在促
＜６４时 ，－尸（ＰＣ）＜０ ）在 区 间（０，６４）内为减 函 销 期问规 定 ：商 场 内所 有 商 品按 标 价 的 ８０％ 出售 ；
数 ；当 ６４ ＜ ＜６４０时 （ ）＞０ ）在 区间 （６４， 同时 ，当顾 客在该 商场 内消 费满一 定金额 后 ，按 如下