高考中常见数学模型归类分析
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靠 近 ·故要汽 车保有 量不超 过 60万辆则 须
lib
=
一
一 1,所 以
60,即 3.6.综上 ,每年新 增 汽车不 应超过 3.6
万辆 . Y =256几+(n+1)(2+ ) =256(一m 一1)+
3、不 等式 (组 )模 型
m(2+√ ) :2—56—m +,n√ +2m 一
> 1·8时 , b
ห้องสมุดไป่ตู้
[ +(30一 )×0·
H— ∞
n—+∞ 、,. ~几 ,
I,. ~八 J
(2)当 m =640米 时 ,需 新 建 多少 个 桥墩 才能 使 Y最 小 ?
解 :(1)设 需要 新建 n个 桥墩 ,(n+1) =m,即
94 ]
,并且 数 列 {b }逐项 增 加 ,可 以任 意
兀 .
例 2 (2007年 高考试 题 ·广 东卷 )下表提 供 了 某厂 节能 降耗 技术 改 造后 生产 甲产 品过 程 中记 录 的 产量 (吨 )与相应 的 生产 能耗 Y(吨标 准煤 )的几组 对 照数 据.
(1)略 (2)请 根 据 上 表 提 供 的数 据 ,用 最 小 二
函数 、对数 函数 、幂 函数 等.函数 模 型 经 常 涉及 到成 本 投 入 、利 润 产 出及 关 于 效 益 、价 格 、流 量 、面积 、体 积等 实 际问题 .解答 这 类 问题一 般要 利用 数量关 系 , 列 出 目标 函数 式 ,然后 用 函数 有 关 知 识 和 方法 加 以 解 决.大量 的 实际 问题 隐含着 量 与量之 问 的关 系 ,建 立 量 与量 的 函数关 系 ,就成 为解题 的关 键 ,一旦 函数 关 系建 立 即可 用 函数 知 识使 问题 获得 解决 .
640)内为增 函数.所 以厂(PC)在 =64处取得 最小 方 案获得 相应金 额 的奖券 :
消费金额(元)的范围 l E2oo,400) l [400,500) I [5oo,700) [700,900)
获得奖券的金额(元) l 30 l 60 1 100
130
例 4 (2002年高考 试题 ·全 国理科 卷 )某城市 2001年末 汽 车保 有量 为 30万辆 ,预计 此后 每年报废 上一年末汽车保有 量 的 6% ,并且 每年 新增 汽车数 量
—
—
—
—
4
—
—
—
—
相 同.为保护城市 环境 ,要求 该城 市 汽车保 有 量不 超
一 4x·y)/(∑ 一4 。)=0.7,0=Y—bx=0.35, 过 60万辆 ,那么每年新增汽 车数量 不应超过多少辆 ?
256.
P C
不等 式 (组 )模 型经常 涉及到 统筹安 排 、最佳 决 策 、最优 化 、水土 流失 、安全 责 任 等一 些 有 关 不等 量
(2)由(1)知 ,
厂( ):一2丁56m + m 一士 :
( ÷ 一
512).
或 最值 的实际 问题.解答 这 类 问题一 般 是 先 列 出不 等 式 (组 ),然 后解 之 即可 ,关 键 是 找 出 各 变量 的关 系.
分析 :每年 的汽车保 有量构 成数 列 6 ,保 有量 不 超 过 6O万 ,说 明数 列 b 的极 限是 60.设汽 车保有 量 2001年末 为 b 万辆 ,以后 各 年末 依 次 为 b 万 辆 ,b, 万 辆 ,… ,每年新 增汽 车 万辆 ,则 b。:30,b =b × 0.94+ ,对于 n>1,有 b =0.94b + ,所 以 b,f+l
数 学 应 用 题 的 教 学 重 点 在 新 课 程 中规 定 的 应 用 :
1、初 步 掌握建 立 函数模 型 解决 问题 的过 程和 方 法 ;
2、能运 用三 角 函数 知识 分 析处 理实 际 问题 ,掌 握 利用 正弦 定理 、余 弦定理 解决 实 际应用 ;
3、会 从 实际情 境 中抽象 出一些 简单 的二元 线 性 规 划 问题 并 加 以解 决 ;
一 座桥 ,两端 的桥墩已建好 ,这两墩相距 m米 ,余下 = 0·94“bl+ (1+0·94+..。+0·94 )
+
工程 只需要 建两 端桥 墩之 间的桥 面和桥 墩 ,经 预测 ,
一 个 桥墩 的工程 费用 为 256万元 ,距 离为 米 的相邻 (30一 )×0·94 ,当 30一
2011年 第 4期
中学 数 学 研 究
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高 考 中常 见数 学模 型 归 类 分 析
广东省佛 山市南海 中学分校 (528208) 李思根 华南师 范大学数 学科 学学院 (广 州 ,510631) 洪鹏花
一 、 新 课 标 的 要 求
新 数学 课程 目标 的一 个 重点 是让学 生 全面 了解 数学 背景 、意义 和价 值 ,尤 其 是 它 的应 用 性 与 方 法. 数 学建 模是 达 到此 目标 的一 个 极 好 途 径.在 近 几 年 的高考 中 ,这方 面题 目的数量 和分 值逐 渐增 加 ,应 用 题 材更 贴近 实 际生活 ,灵 活性 也 大 大 提 高.因此 ,在 高 中阶段渗 透建 模思 想是 非 常必要 的.
所求 回归方 程为 =0.7x+0.35. (3)当 = 100时 ,Y = 0.7 ×100 +0.35 =
70.35,所 以预测生产 100吨 甲产 品 的生产能 耗 比技 术改 造前 降低 90—70.35 =19.65吨标 准煤 .
例 3 (2009年 高考试题 ·湖南理科 卷 )某 地建
不 等式 组 ① 无解 ,不等 式组 ② 的解 为 625 750.因此 ,当顾 客 购 买 标 价 在 [625,750]元 内 的
800,消 费额 :400 0.8x≤ 640.
,,/ ,
7
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6”)'
如 果一 个 单 位 的午 餐 、晚餐 的费 用分 别 是 2.5 元和 4元 ,那么 要满 足上 述 的 营养要 求 ,并 且花 费 最 少 ,应 当为 该儿 童 分 别 预定 多 少个 单 位 的午 餐 和 晚
(1)当每辆 车 的月 租金 定 为 3600元 时 ,能租 出 多 少辆 车 ?
(2)当每 辆车 的 月 租金 定 为 多少 元 时 ,租 赁 公 司 的月 收益 最 大?最 大 月收益 是 多少 ?
解 :(1)(略 )(2)分 析 :月 租金 是 自变 量 ,月 收 益 是 因变量 ,要是 月 收益最 大 ,通过 改变 自变 量去试 不太 可行 ,而且不 严 谨 ,最好 是 可 以建 立 一 个 函数 , 通 过分 析 函数得 到 ,则既严 谨 又方便 .设 每辆 车 的月 租金 定 为 元 ,则 租赁 公 司的月 收益 为 .厂( ) =一( 一 4050) /50+307050.所 以 ,当 =4050时 ,f l )取 到最 大值 4050) =307050.即 当每 辆 车 的 月 租金 定为 4050元 时 ,租赁 公 司 的月 收 益 最大 ,为 307050
0,即 ·8
两墩 之 间的桥 面工程 费用 为 (2+ ) 万元.假 设桥 墩等 距离分 布 ,所 有桥 墩都视 为点 ,且不 考虑其 他 因 时 ,b +1 b … b1=30·当 30一
<0,即
素 ,记余下 工程 的费用 为 Y万 元. (1)试 写 出 Y关 于 的 函数关 系式 ;
> /
/ ,
,
得 的优 惠额 /商 品 的标价.试 问 : (1)略 (2)对 于标价 在 [500,800](元 )内 的商
品 ,顾 客 购 买标 价 为 多 少 元 的商 品 ,可得 到 不 小 于
1/3的优 惠率 ? 解 :(2)设 商 品 的 标 价 为 元 ,则 500 ≤
例 1 (2003北京 春 ,理 、文 21)某 租 赁公 司拥 有 汽 车 100辆.当每辆 车 的月 租金 为 3000元时 ,可全 部 租 出.当每辆 车 的月 租金 每增 加 50元 时 ,未 租 出 的车将 会增 加一 辆.租 出 的车 每 辆 每 月需 要 维 护 费 150元 ,未 租 出的 车每辆 每 月需要 维 护费 50元.
作 者 系 华 南 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 本 科 生
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乘法 求 出 Y关 于 的线性 回归方程 =bx+。; (3)已知该 厂技 改前 吨 甲产 品 的生 产能 耗 为 吨
标准 煤.试根 据 (2)求 出的线 性 回归方程 ,预 测 生产 吨 甲产 品的生产 能耗 比技改前 降低 多少 吨标准 煤 ?
解:(1)略(2)根据数据计算可得:6=(∑xiY
值 ,此 时 , : 一1: 一1:9.故 需新建 9个桥
墩才 能使 Y最 小. 2、数 列模型 这类 实 际问题 的数学 模 型 的建 立 ,关键 是 通过
观察 、分析 、归纳 出 问题成 等 差 或 等 比数 列 ,然 后再 利用 数列 知识加 以解决 ,常见 问题 有利 率 、产 量 、降 价 、繁殖 、增 长率 等.
分析 :要 刻 画现实 生活 中的量 与量 的相关关 系 , 先做 出数据 的散 点 图 ,再 根 据 散 点 图呈 现 的规 律 性 进行 数据拟 合.回归分 析 中最 重要 的是线 性 回归 ,即 求两 个变量 的近似 函数 关系 ,得 到 回归 方程 = bx +口后 ,可 以用 它来 预报 和控制.
由 已 知 得 ①
0 ’? 3或 6
餐 ?
8
解 :设 预 订 的午餐 和 晚餐 分别 为 个单 位 和 Y个
f(0.2x +100)/x 1/3 — 15oo s 0.8x 640
单 位 ,所花 的费用 为 z元 ,依题 意 可得
12x + 8y 64
f3x +2y 16
4、能用 抽样 方法 解 决简 单 的实 际 问题 ,会 用 样 本估 计总 体 的思想 解决 一些 简单 的实 际 问题 ;
5、能 把一些 实 际 问题 抽 象成 两点 分布 或超 几何 分 布的模 型加 以解 决 ;
6、能 应用 导数 解决 一些 简单 的实 际 问题. 会将 这些 应用 问题 会 拓 展 到 不等 式 (一元 二 次 不等 式 )、数 列 、解 析几 何 、统计 与概 率 (总体特 征 数 的估计 、古 典概 型 )中. 二 、高 考 应 用 题 分 类 解 析 本 文从 数 学 建模 的角 度 ,对 高考 应 用题 中 常见 类 型进 行 归类分 析. 根 据数 学模 型 的性质 和建 立数 学模 型方 法 的不 同 ,可 以对数 学模 型 有各种 不 同 的分类 方法 ,本 文按 建 立数学 模 型所 使 用 的数 学 工 具 将 数 学 模 型 分 为 : 函数模 型 、数列 模 型 、不 等式 (组 )模 型 、三 角模 型 、 立体 与平 面解 析几 何模 型 、统计 概率 模 型等. 1、函数模 型 高 中常见 的函 数有 :一 次 函数 、二 次 函数 、指 数
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根据 上述 促销 方法 ,顾 客在 该 商 场 购物 可 以获 得 双重 优 惠.例 如 ,购买 标 价 为 400元 的商 品 ,则 消 费 金额 为 320元 ,获得 的优惠 额为 :400 X0.2+30 = 110(元 ).设购 买商 品 得 到 的优 惠 率 = 购买 商 品获
令 .厂( )=0,得 X:5-=512,所 以 =64.当 0 <
例 5 (2002年高 考试题 ·上海卷 )某 商场 在促
<64时 ,-尸(PC)<0 )在 区 间(0,64)内为减 函 销 期问规 定 :商 场 内所 有 商 品按 标 价 的 80% 出售 ;
数 ;当 64 < <640时 ( )>0 )在 区间 (64, 同时 ,当顾 客在该 商场 内消 费满一 定金额 后 ,按 如下