(完整版)特征函数在极限理论中的应用

1. 集合列的特征函数

1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作

E X =⎩

⎨⎧∉∈E x E x ,0,1

称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。 由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。 借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。 1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有

①n A n X ∞

→lim =n

n A X →∞lim

， ②n A n X ∞

→lim

=n n A X

→∞

lim ，

③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}

n A X 收敛，且

n A n X ∞

→lim =n

n A X →∞lim

定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列{}n A 收敛性与数列{}

n A X 收敛性等价。 证明：由特征函数的定义，n A n X ∞

→lim =1或0，

x ∀，设n A n X ∞

→lim =1⇔有无限个k n ，使得

k

n

A X =1，

⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞

→∈lim ，

⇔n A n X

∞

→lim =1 （*1）

x ∀，设n A n X ∞

→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0

⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞

→∉lim ，

⇔

n

n A X →∞lim =0 （*2）

由（1）（2）式，得证。

2迭代数列收敛性与特征函数

2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：

1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）

若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。 引理：设f （x ）是在区间I 上有定义的单调函数，0x 是I 的内点。若()x f x x 0

lim →存在，则f

（x ）在0x 处连续。

证明： 不妨设()x f x x 0

lim →=A ，f （x ）在区间I 上单调增加。

故当x<0x 时，()x f <()0x f ，则A=()x f x x 0

lim →≤()0x f ，

当x >0x 时，()x f >()0x f ,则A=()x f x x 0

lim →≥()0x f 。

因此()x f x x 0

lim →=A=()0x f ，

故()x f 在0x 处连续。

定理1：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I 上连续的特征函数，且()x F 在I 上单调增加。则

①若I =[a,b>且F （a ）=0，则n x x ∞

→lim 存在且等于a ，

②若I =

→lim 存在且等于b 。

注：约定区间[a,b> , 中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-∞或+∞；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。

证明：（i ）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n ， 迭代数列（*3）恒有∈n x I =[a,b>, 则{}n x 有下界。

再用反证法证明{}n x 在I 上单调减少： 若存在自然数0n 使得0n x <10+n x 即0n x <()0n x f ,

则()

0n x F =0n x -()

0n x f <0. 因为()a F =0，所以()0n x F <()a F 。 这与()x F 在I 上的单调增加矛盾。

故数列{}n x 在I 上单调减少有下界，即n n x ∞

→lim 存在。

在迭代数列（*3）中令∞→n ，可得x=()x f 。 由题设可得()x F =x-()x f =0在I 上有唯一实根， 于是由()a F =a-()a f =0得x=a ， 故n n x ∞

→lim =a 。

（ii ）类似地可以证明数列{}n x 在I =

→lim =b 。

定理2：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I =上的特征函数，()x F 和()x f 在I 上单调增加且存在I 的内点0x 使得()0x F =0，则n n x ∞

→lim 存在且等于0x

证明：不妨设对一切自然数n ，迭代数列（*3）恒有I x n ∈，

记1I =.

由题设及引理得()x F 在1I 和2I 上均单调增加且连续。 若对I x ∈1有2x =()x f 0x ≤，则由()x f 在I 上单调增加有 3x =()2x f ()0x f ≤=0x ，

一般地由数学归纳法易证1+n x =()00x x f ≤（n=1,2，……）； 若对I x ∈1有2x =()01x x f ≥，类似地可以证明 ()01x x f x n n ≥=+（n=1,2，……）。

所以()x F 是迭代数列（*3）在1I 或2I 上的特征函数。 故由定理1，n n x ∞

→lim 存在且等于0x 。

利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用