(完整版)特征函数在极限理论中的应用

1. 集合列的特征函数
1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作
E X =⎩
⎨⎧∉∈E x E x ,0,1
称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。

由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。

借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。

1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有
①n A n X ∞
→lim =n
n A X →∞lim
， ②n A n X ∞
→lim
=n n A X
→∞
lim ，
③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}
n A X 收敛，且
n A n X ∞
→lim =n
n A X →∞lim
定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。

集列{}n A 收敛性与数列{}
n A X 收敛性等价。

证明：由特征函数的定义，n A n X ∞
→lim =1或0，
x ∀，设n A n X ∞
→lim =1⇔有无限个k n ，使得
k
n
A X =1，
⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞
→∈lim ，
⇔n A n X
∞
→lim =1 （*1）
x ∀，设n A n X ∞
→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0
⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞
→∉lim ，
⇔
n
n A X →∞lim =0 （*2）
由（1）（2）式，得证。

2迭代数列收敛性与特征函数
2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：
1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）
若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。

引理：设f （x ）是在区间I 上有定义的单调函数，0x 是I 的内点。

若()x f x x 0
lim →存在，则f
（x ）在0x 处连续。

证明： 不妨设()x f x x 0
lim →=A ，f （x ）在区间I 上单调增加。

故当x<0x 时，()x f <()0x f ，则A=()x f x x 0
lim →≤()0x f ，
当x >0x 时，()x f >()0x f ,则A=()x f x x 0
lim →≥()0x f 。

因此()x f x x 0
lim →=A=()0x f ，
故()x f 在0x 处连续。

定理1：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I 上连续的特征函数，且()x F 在I 上单调增加。

则
①若I =[a,b>且F （a ）=0，则n x x ∞
→lim 存在且等于a ，
②若I =<a,b]且F （b ）=0，则n n x ∞
→lim 存在且等于b 。

注：约定区间[a,b> , <a,b]或<a,b>中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-∞或+∞；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。

证明：（i ）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n ， 迭代数列（*3）恒有∈n x I =[a,b>, 则{}n x 有下界。

再用反证法证明{}n x 在I 上单调减少： 若存在自然数0n 使得0n x <10+n x 即0n x <()0n x f ,
则()
0n x F =0n x -()
0n x f <0. 因为()a F =0，所以()0n x F <()a F 。

这与()x F 在I 上的单调增加矛盾。

故数列{}n x 在I 上单调减少有下界，即n n x ∞
→lim 存在。

在迭代数列（*3）中令∞→n ，可得x=()x f 。

由题设可得()x F =x-()x f =0在I 上有唯一实根， 于是由()a F =a-()a f =0得x=a ， 故n n x ∞
→lim =a 。

（ii ）类似地可以证明数列{}n x 在I =<a,b]上单调增加有上界，且n n x ∞
→lim =b 。

定理2：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I =<a,b>上的特征函数，()x F 和()x f 在I 上单调增加且存在I 的内点0x 使得()0x F =0，则n n x ∞
→lim 存在且等于0x
证明：不妨设对一切自然数n ，迭代数列（*3）恒有I x n ∈，
记1I =<a,0x ],2I =[0x ,b>.
由题设及引理得()x F 在1I 和2I 上均单调增加且连续。

若对I x ∈1有2x =()x f 0x ≤，则由()x f 在I 上单调增加有 3x =()2x f ()0x f ≤=0x ，
一般地由数学归纳法易证1+n x =()00x x f ≤（n=1,2，……）； 若对I x ∈1有2x =()01x x f ≥，类似地可以证明 ()01x x f x n n ≥=+（n=1,2，……）。

所以()x F 是迭代数列（*3）在1I 或2I 上的特征函数。

故由定理1，n n x ∞
→lim 存在且等于0x 。

利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用
到迭代数列的求解中，简化极限运算。

这种方法解题的一般步奏是：
（1）求出函数()x F =x-()x f 的单增区间（或()x F 和()x f 公共的单增区间）； （2）求出方程()x F =0在单增区间的根0x ；
（3）判断()x F 是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数； （4）判断极限存在并得出极限。

例1：设1x >0 ,1+n x =()n x c +1ln (n=1,2,……；0<c ≤1)，证明n n x ∞
→lim 存在且等于0。

证明：令()x F =x-()x c +1ln ， 则F ’()x =1-x
c
+1>0（x>0）且()0F =0.
当1x >0时，恒有1+n x =()n x c +1ln >0（n=1,2，……）， 故()x F 为迭代数列在单增区间[0,+∞)上连续的特征函数。

于是由定理1可得n n x ∞
→lim 存在且等于0.
例2：设数列{}n x 满足迭代关系1+n x =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+n n x a x 21（n=1,2，……；a>0），证明n n x ∞→lim 存在并求此极限。

证明：由数学归纳法和均值定理可知，
当01>x 时有),[+∞∈a x n （n=2,3，……）； 当01<x 时有],(a x n --∞∈（n=2,3，……）。

所以()x a
x x a x x x F 22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=是{}n x 分别在区间
),[+∞a 和
],(a --∞上连续的特征函数。

由F ’()x =02212>+x a
得()x F 在),[+∞a 和],(a --∞上单调增加。

又因为()0=x F 解得a x ±=。

所以由定理1得{}n x 的极限存在且当01<x 时，a x n n -=∞
→lim ；
当01>x 时，a x n n =∞
→lim 。

同理可证数列{}n x ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x n n n a x x 21231（n=1,2，……；a>0）的极限存在且3lim a x n n =∞→。

例3：设数列{}n x 满足迭代关系n n x c x sin 1=+（n=1,2，……；10≤<c ，），证明：对任意的初值1x ，n n x ∞
→lim 存在并求此极限。

证明：对任意的1x ，有11≤≤-n x （n=2,3，……），
因此F （x ）=()x c x x f x sin -=-是{}n x 在区间]1,1[-上的特征函数。

又当]1,1[-∈x 时，()0cos 1'≥-=x x F （等号仅当0,1==x c 时成立）， 故()x F 和()x f 在]1,1[-单调增加，且()00=F 。

由定理2可知{}n x 的极限存在且等于0.
同理可证明{}n n n x x x cos :1-=+（n=1,2，……；10≤<c ）的极限存在且0lim x x n n =∞
→，
其中)0,1(0-∈x 是()0cos =+=x c x x F 的根。

3.极限定理证明的特征函数法
李亚普诺夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的 发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。

3.1分布函数与特征函数对应的连续性
定理1：设{}n F 是分布函数序列：()x F F n n =，R x ∈，而{}n ϕ是相应的特征函数序列：
()()x dF t n itx
n e
⎰∞
∞
-=
ϕ，
（1）如果F F w n −→−
，其中()x F F =是某一分布函数，则()()t t n ϕϕ→，其中()t n ϕ是()x F F =的特征函数。

（2）如果对于每个R t ∈存在极限()t n n ϕ∞
→lim ，而函数()()t t n n ϕϕ∞
→=lim 在0=t 连续，则()t ϕ是某
一概率分布()x F F =的特征函数，且
F F w
n −→−
注：设21,,ηηη……是随机变量，且ηηF F w
n −→−,则称随机变量,,21ηη……依分布收敛于η，并记作ηη−→−
d
n 定理时，常认为表达式.这一记号很直观（d 是distribution 的字头），因此在
表述极限定理时，常认为表达式ηη−→−d n 比ηηF F w n −→−更好。

证明：将弱收敛的定义分别用于函数e itx Re 和e itx
Im ，立即可以证明命题（1）； 命题（2）的证明，要求事先证明几个引理。

引理1：设{}n P 是稠密概率测度族。

假设序列{}n P 的弱收敛子序列{}'n P ，都收敛于同一概
率测度P 。

则整个序列{}n P 也弱收敛于同一概率测度P
证明：假设结果相反，整个数列不收敛于P 则存在这样的有界连续函数()x f f =，使得
()()dx P x f n
R
⎰↛()()dx P x f R
⎰
由此可得，存在0>ε和无限数列{}{}n n ⊆'，使得
()()()()0'
>≥-⎰⎰εR
R
n dx P x f dx P x f （*4）
则由序列{}'n P 可以选出子序列{}''n P ，使得Q P w
n −→−
''，其中Q 是某一测度概率。

根据引理假设Q P =，所以有
()()()()dx P x f dx P x f R
n R
⎰⎰→'
'，
而这与（*4）矛盾，从而引理得证。

引理2：设{}n P 是()()R B R ,稠密概率测度族，序列{}n P 弱收敛于某种概率测度，当且仅当于每个R t ∈存在极限()t n n ϕ∞
→lim ，而函数()t n ϕ测度n P 的特征函数：
()()dx P t n
R
itx
n e ⎰
=ϕ
证明：如果概率测度族{}n P 稠密，则存在数列
{}'n P 和概率测度P ，使得P P
w
n −→−'。

假设结果相反，整个数列不收敛于P ，则根据引理1，存在子序列{}''n P 和概率测度Q ，使
得Q P w
n −→−
''，且Q P ≠。

对于每个R t ∈存在极限()t n n ϕ∞
→lim ，则
()()dx P dx P n R
itx
n n R
itx
n e
e
''''''lim
lim
⎰⎰∞→∞→=
从而
()()dx Q dx P R
itx
R
itx
e e
⎰
⎰=，R t ∈。

由于特征函数唯一决定分布，故Q P =与假设n P ↛P 矛盾。

最后，由弱收敛的定义可得引理相反的结论成立。

引理3：设()x F F =是数轴上的分布函数，而()t ϕϕ=是其特征函数，则存在常数0>K ，使得对于任何0>a 有
()()dt t a
K x dF a
a
x ⎰⎰-≤≥0
1]Re 1[ϕ， （*5）
证明：由于
()()⎰∞
∞-=x txdF t cos Re ϕ，
则
()[]()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=-∞
∞-a a x dF tx a dt t a 00cos 11Re 11ϕ ()()x dF dt tx a a ⎰⎰∞
∞-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0
cos 11
()x dF ax ax ⎰∞∞-⎪⎭⎫
⎝
⎛-=sin 1 ()⎰≥≥•⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≥11sin 1inf ax y x dF y y ()⎰
≥
=a
x x dF K
11
，
其中
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=≥y y K y sin 1inf 1
1=711sin 1≥-， 所以，当常数7=K 时（*5）式肯定成立。

定理1的命题（2）的证明：
设，()()t t n ϕϕ→，∞→n ，其中()t ϕ在0连续。

现在证明，由此可得{}n p 是稠密概率测度族，其中n P 是对应于分布函数n F 的测度。

由于（*5）和控制收敛定理，当∞→n 时有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a R P n 1,1\=()x dF a
x n ⎰≥1 ()[]dt t a K a
n ⎰-≤
0Re 1ϕ ()[]dt t a K a
n ⎰-→0
Re 1ϕ
由于根据定义()t ϕ在0连续且()10=ϕ，可得对于任何0>ε，存在0>a 使得对于一切1≥n ，有
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a R P n 1,1\ε≤。

从而测度族{}n P 稠密，而由引理2可得存在概率测度P ，使得
P P w
n −→−。

因此()()()dx P dx P t e e
itx
n itx
n ⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-→=ϕ，
即()()t t n ϕϕ→。

故()t ϕ是概率测度P 的特征函数。

3.2极限定理证明的特征函数法
定理2（辛钦大数定率）设,,21ξξ……是独立同分布随机变量序列，且∞<1ξE ，m E =1ξ，
+=1ξn S ……+n ξ，则m n S p n −→−
\，即对任何0>ε，有 0→⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-εm n S P n ，∞→n 证明：设()e
it E
t 1
ξϕ=和()e
n
S it
n S n
n E
t =\ϕ，则由随机变量的独立性有
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t n
n
S
t n
ϕϕ
()()0,1→++=t t o itm t ϕ
因此对任意R t ∈，有
∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n o m n
t i n t ,11ϕ，
从而
()e n o m n
t i itm
n
n
S
t n
→=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++11ϕ
函数()e itm
t =ϕ在0处连续且是集中在点m 的退化概率分布的特征函数。

所以
m n S d
n −→−， 即m n
S p n −→− 定理3（独立同分布随机变量的中心极限定理）设,,21ξξ……是独立同分布（非退化）随机变量序列，且∞<ξ2
1E ，+=1ξn S ……+n ξ，则当∞→n 时，有
()x x DS ES S P n n n Φ→⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-，R x ∈， （*6） 其中
()du u
x x
e
⎰∞
--=
Φ2
2
21
π
证明：设σξξ2
11,==D m E ，而
()()
e
m it E t -=1ξϕ
那么，如果记
()e
n
n
n DS ES S it
n E t -=ϕ，
则
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t n
n
t σϕϕ
但
()()
0,2
12
2
2
→+-=t o t t t
σ
ϕ.
因此，对任意固定的t 和∞→n ，有
()e
n o n t t
t n
n
2
2
1212
2
2-→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-σ
σϕ.
函数e
t
2
2
-是均值为0而方差为1的正态分布（记作()1,0N ）的特征函数，故由定
理1可得（*6）式成立。

根据定理1的注，可将该结果写成
()1,0N DS ES S d
n
n n −→−-。