陕西省第十一次高等数学竞赛试题

（
ｄ ｚ．Ｚ ａｄ Ｖ
（３）设，（ ）为连续函数， （ｚ） ｚ Ｊ ０， ｆ（ｔ）ｄｔ， Ａ． ＋ ｘｙ ＋ ３，厂 ．
Ｂ．ｆ ＋
＋ ｙｆ 。．
Ａ．２ｚ ｒ，（ ）ｄ外 ２ｘ２ｆ（２来自ｚ）． Ｊ ｏ ｒ２
Ｂ．２ｘ Ｉ ｆ（ｔ）ｄｔ＋ ｆ（２ｘ）．
Ｊ ｏ
Ｃ．ｆ：＋ｘｙｆｌ； ４－ｙＦ。．
Ｄ．ｆ ＋
＋ ．
（８）若级数∑ （口 ４ －６ ）发散，则（ ）．
一 １
Ａ．∑。 和∑ ｂ 都发散．
ｎ； １
ｎ＝ １
｛ 三 的所有切线中，与平面Ⅱ： ｃ４，曲线 Ｌ：
Ｂ．∑ （ｎ 一６ ）发散．
卑 １
Ｃ．∑ （ ｌ＋ ｌ ｂ １）发散．
Ｄ．∑ ｎ 与∑ ｂ 一个发散，另一个收敛．
数ｓ（ ），并求级数客 （丢） 的和ｓ．
证 明 ：存 在 ∈［ ，ｔｏｏ），使 得 ，（ ）一厂（ 一＾）．
（上 接 第 ６４页 ）
又 Ｓ 一 ｇ（ ）＋ ｇ（２＾）＋ … ＋ ｇ（ ＾）
一 ［厂（＾）－ｆ（Ｏ）￣＋［－ｆ（２ｈ）－ｆ（ｈ）￣＋… ＋ ［－厂（” ）一－厂（（ 一 １） ）］
明 、证 明过 程或 演算 步骤 ） （１５）（１２分）计算
［ｓｉｎｌｎ（ ＋芸）
（ ＋吾）］．
中 ａ恒小 于 （￡）．试建立有关 （￡）的微分方 程 ，求解 （ ），确定 其 中的积分常数 ，并解 释 ｎ的实际意义 ． （２２）（８分 ）设 函数 ｆ（ｘ）在 区间 ［１，５］上 二阶导
Ａ．ｓ＝』 （１一ｚ）（２－ ）（４一ｚ）ｄｚ．
写 成 （ ）．
Ａ．』 ｄ－ｙ ｊ． 一 ｃｚ， ｄｚ．
Ｂ．ｓ一一』：（１一 ）（２－ｚ）（４一ｚ）ｄｚ． ｃ．ｓ一一Ｉｆ （１一 ）（２－ｚ）（４－ ）ｄｚ＋
４
（１一 ｚ）（２一 ｚ）（４一 ｚ）ｄ ．
Ｄ．ｓ—ｊ’２ （１一ｚ）（２－ｚ）（４一ｚ）ｄｚ—
ａｒｃｔａｎ ２ 则 ｄｙ ＝＝＝
，
（１２） 已 知 ｌ＿ｎ￣ｘ 是 厂（ｚ） 的 一 个 原 函 数 ， 则
Ｚ
ｆｚ。＿厂（ ）ｄｚ一 ．
Ｊ
～
≤
（１３）设 Ｑ 为 区 域 ｚ ＋ 十 ｚ １ ， 贝０Ｉ
ｊＩ『（薯＋ ＋ ２：２）ｄ 一
线向量与 轴的正向夹角恒大于号．
第 ２１卷 增 ２０１８年 ８月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
Ｖ ｏ１．２１，Ｓｕｐ． Ａｕｇ．，２０１８
陕 西 省 第 十 一 次 高等 数 学 竞赛 试 题
一 、 选 择题 （１—８题 ，每 小题 ４分 ，共 ３２分．下 列每
，ｂ一
．
（１８）（１２分 ）计算 积 （９ ＋ １） ｄ ｄｚ＋２（１一
』 一 ｙ２）ｄｚｄｘ－４ｙｚｄｘｄｙ，其 中 是 由曲线
【 ｚ 一 ０
（１≤ ≤ ３）绕 轴 旋转 一周所 产生 的 曲面 ，它 的法
（１１） 已 知 Ｙ — ｆ（ｘ ＋ ｚ ＋ １），ｆ （ｚ） ＝：＝
（１９）（１２分）求 一√４一 ２一号 。在圆域Ｄ：
。＋ Ｙ ≤ １上 的最大 值 和最小 值． （２０）（１２分 ）设 ｆ（ｘ，ｖ）连 续 ，目．
） ｆ（ｘ，ｙ ＋Ｉｆ
十
其 中 Ｌ是从 点 Ａ（一 １，Ｏ）到 点 Ｂ（１，Ｏ）的上 半 圆周
Ｙ一 ４１一 ，求 ｆ（ｘ， ）．
（１４）若级 数 （一 １）
数 连续 ，且 ，（３）一 ０．试 证 ：在 ［１，５］上存 在点 ，使
（１６）（１２分）计算定积分 — 南 如． 得厂（ ）：百３ Ｉ ｆ（ｘ）ｄｘ．
（１７）（１２分）求幂级数∑ （一１）” 的和函
（２３）（６分 ）设 函数 ｆ（ｘ）在 区 间 ［０，＋ ｏｏ）上 连
续 ，且 ｌｉｍ厂（ ）一，（０），常数 ＞０．
一 ｆ（ｎｈ）一ｆ（Ｏ） … … … … … … … … … （３分 ）
由 ｌｉｒ ａ厂（ｚ）一 （０）知 ，ｌｉｍＳ 一ｌｉｍｆ（ｎｈ）一厂（０）一
Ｂ．
ｃ。ｓ ｎ脚 ．
ｃ．．ｒ：ｄｚ』 一 ｃ ， ｄ ．
ｒ寺 ／￣２ｓｉｎＯ
Ｄ·ｊ ｄ Ｊ。厂（１Ｄｃ。ｓ０，ｌ０ｓｉｎＯ）ｄｐ·
（７）设 ｚ： ｆ（ｘｙ， ），其 中 厂具 有 二 阶 连 续 偏 导
ｒ４
Ｉ（１一 ）（２一ｚ）（４一 ｚ）ｄｘ．
Ｊ ２
数 ￣， ｔ］ａ３ｚｚ ＝
是 （
（ ）．
Ａ． Ｐ 一 一 ２，ｑ＝＝＝１， （ｚ）＝ ｚ ＋ １．
Ｂ．Ｐ 一 ２，ｑ ＝＝：一 １，。（ ）：＝：ｚ ＋ ２．
Ｃ． Ｐ 一 ２，ｑ 一 一 １，９（ ）＝ ｚ ＋ １．
Ｄ． Ｐ ＝＝＝一 ２， 一 １， （ ） ＝ ｚ ＋ ２．
广２ ｒ号
（６）累次积分Ｊ。ｄｐＪ 粤ｆ（ｐ ｏｓ ，Ｐ ｉｎＯ）ｐｄＯＮＤＡ
Ｃ．只 有一条 ．
Ｄ．不存 在．
题 给 出 的 选 项 中 ，只 有 一 个 选 项 符 合 题 目要 求 ）
（５）议 Ｙ （１－４－ｚ）ｅ ＋ （ｚ）是 二 阶 常 系 数 线 性
（１）设 厂（ｚ）一２ ＋３ 一２，则 当 — Ｏ时 ，＿厂（ｚ） 非 齐次 微分 方程 ＋ 缈 ＋ ｑＹ— ｚ的一个 特解 ，则
（ｎ＞ ｏ）为 条
一 ｎ＝ｌ
√ｎｐ＋ 口
件收 敛 ，则 Ｐ的取 值 范 围为
．
—
—
三 、解 答 题 （１５— ２３题 ，共 ９４分 ．解 答 应 写 出文 字 说
（２１）（８分 ）某 门课 程 结束 后 ，学生 所 学 到 的知 识 开始 随着 时间 流逝逐 渐地 被遗 忘．假 设 学生 忘掉 知识 的速率 和 当时记 得 的 知识 量 （￡）成正 比，还 和 当时所记得 的知识量 与某一正常数 口之差成 正 比 ，其
ｎ １
一 １
６０
高 等 数 学 研 究
２０１８年 ８月
二 、填 空题 （９— １４题 ，每 小题 ４分 ，共 ２４分）
㈣ 一ｌｉｍ。一［【Ｉ 焉 ＋ 十 啬］ Ｊ： 一一 ——． · 一
（１０）设 函数 ｆ（ｘ， ）一 ＋ｂｙ。一 在点 （１，１）
处取 得极值 ，则常数 ｎ一