概率密度函数

p (x)
F ( x)
0x
x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx是连续的单增函数
0 Fx 1 x ,
F(x)＝ x p(t)dt px 0

F ( x)
p (x)
F ( x)
1
0x
x
0
x
13
（2）若 px在点x 处连续，则有 F(x) px
x
面积为1
14
例1 设有函数
F(x)

sin
x 0
0 x
其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
解： 注意到函数 Fx 在 [ 2, ] 上下降，
不满足性质(1)，故 Fx 不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0
x
不满足性质(2)，
可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.
15
例2 设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctan x x
2
试求 X 的密度函数．
解 设 X 的密度函数为 px，则
px

Fx

1


1
1 x2
x
16
例3 已知 Fx Aarctan x B 求 A、 B.
（1）确定常数A的值; （2） 求 F(x)；
(3) P 1 X 3 ;
(4) P X 1.
解
(1)
1

p
x
d x
0
2



A

2
(8x
3x2) d
x


0
A(4x2

2
x3) 2

8A
0
0

A1 8
(2)
x0
Fx

3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i 1, 2, 3, 4. 10
P Ai

PX
150

1 3
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为
P( A1 A2 A3 A4 ) 1 P(A1 A2 A3 A4 )
1 P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 ) 1 ( 2)4 65
PX

x
x

0d
x

0
0 x2
F x

PX

x
0
0d
x

1 8
x (8x 3x2 )d x
0
1(4x2 x3)
21
8
2 x
F
x

P
X

x

1 (4x2 8

x3)
2 0
1
0

F
(
x)

1 8
(4x
2

x3
)
1
x0 0 x2
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P( X x)＝ x p(t)dt
则称X为连续型随机变量，p x为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
p x lim F x x F x
x0
x
P x X x x
lim
x0
x
(3) F () lim F (x)＝0. x F () lim F (x) x p(x)dx＝1.
p(x)
1
0
解 F A B 0
2
F A B 1 A 1 B 1
2

2
Fx 1 arctan x 1

2
17
例4 设随机变量 X 的密度函数为
解：

p(x)



2 ,
1 x2
0 x 1
0, 其它
Fx

PX

3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，
至少有1只失效的概率。
解 1、 1 k x2d x k 1 k k 100
100
x 100 100
2. PX 150 100 150 x2d x 100( 1 1 ) 1
100
100 150 3
p (x)
所以若已知密度函数，
该连续型随机变量 0
的概率分布规律就得到了全面描述.
xx
3
二、 概率 密度函数的性质
(1) 非负性 px 0 x ,
(2) 归一性
p(x)dx＝1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
这两条性质是判定一个函数 p(x) 是否为某随机变量
x2
3
P 1 X
3 F
3 F1 1 (43 3 3) 0
8
33 3
28
4 PX 1 1 PX 1 1 F1 5
8
22
作业 P14 1 12 13
23
所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量
理论中所起的作用相类似.
6
（5） 对任意实数a，则 PX a 0
这是因为
P( X a) lim P(a x X a) x0
a
lim x0
p(x)dx
ax
0
可见， 由P(A )=0, 不能推出 A
lim P( x X x x)
x0
x
x x
lim x p(t)dt
x0
x
Baidu Nhomakorabeap(x)
故X 的密度 p(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落在
区间 ( x, x x] 的概率与区间长度x 之比的极限.
这里，如果把概率理解为质量，p(x) 相当于线密度.
p(x) 不是概率. p(x)d x 在连续型随机变量理论中
x

x

pt d
t
求 Fx.
对 x < 0， Fx 0
对 0 x 1,
F(x) 2 x 1 dt 2 arcsin x
0 1t2

对 x 1, Fx 1
0
x0
即
F
(
x)

2

arcsin
x
0 x 1
1
x 1
18
例5 x, 0 x 1
0 x1 x2 x
px lim Px X x x
x0
x
若不计高阶无穷小，有： Px X x x px x
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
5
对 p(x) 的进一步理解:
若 x 是 p(x) 的连续点，则：
X的密度函数的充要条件。
p (x) 面积为1
1
0
x
4
3 P(x1 X x2 )＝ x2 p(t) d t x1
x1 x2
密度函数的几何意义
p (x)
即X落在[x1, x2 ]上的概率 [x1, x2 ]
上曲线 y px 之下的曲边
梯形的面积。
（4）若 px 在点x 处连续，则有
D
对连续型随机变量X, 有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
9
例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
px 0k x2
x 100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
7
p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a 的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
设 X ~ p(x) 2 x, 1 x 2 0, 其它
x
解 F(x) p(t)dt
0
F(x) =
0
0dx
x
tdt
x2

0
2
1 xdx
x
(2
t)dt
2x
1
x2
0
1
2
1
求 F(x).
x0 0 x 1
1 x 2 x2
由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
8
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为px，
则X 在任意区间D（D可以是开区间, 也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
PX D pxdx
19
即
0,
x0

F
(
x)



x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x1 1 x 2

2
1,
x2
对连续型随机变量，若已知 Fx ，我们通过求导
也可求出 px.
20
例6 设X是连续性随机变量，其分布密度为
px 0A 8x 3x2
0 x2 other
第五节
第二章
连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念 二、概率密度函数的性质 三、连续型随机变量的分布函数
1
一、概率密度函数的概念 离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但
另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个， 其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的 取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机 变量的统计规律性。
3 81
11
三、连续性随机变量的分布函数
对于连续性随机变量X，存在密度函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
F (x)＝P( X x)＝ x p(t)dt
则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数，
由于连续型随机变量的分布
函数唯一被它的密度函数所 确定. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量的概率 分布规律就得到了全面描述。