幂函数 优秀教学设计

4.幂函数 y=xm，y=xn，y=xp 的图象如下图所示，则 A.m>n>p B.m>n>p C.n>p>m D.p>n>m
[]
答案
变式 1： a 3 a 2
1
a3 a2
a 1 a
1
a 1 a
而 a 3 a 1, a 2 a
a 3 a 2 a 1 a
习与思
（2） 如果正方形的面积为 S，则正方形的边长 a＝
考培养
（3） 函数 f (x) a x 与函数 f (x) x a 形式上有何不同？
数学建 模能力
和归纳
能力.
二、概 一、概念：幂函数的形式： y = xα
念形成
了解幂 函数的
二、练习：（1）下列函数是幂函数的个数是（ ）
形式，复
y
=
原方程化为 x 2 2(b 1)x b2 1 0
-5
5
4(b 1)2 4(b2 1) 0 ,b=1
当直线 y=x+b 过点（－0.5，0）时，b=0.5，
-2
∴b＞1 时，曲线 y 2x 1 与直线 y=x+b 没有公共点，
-4
0. 5＜b≤1 时，曲线 y 2x 1 与直线 y=x+b 有两个公共点，
（2） ( 2)3 和 ( 3)3 （3）1.21.1 和1.11
3、 方程 x3 = log 1 x 根的个数是
2
六、小 1、幂函数的形式，五个幂图像的图像与性质
结
2、常用变形：分子有理化
3、方程的根与函数图像的交点
形成知 识框架， 积累解 题经验。
练习与测试 〔A 组〕
1. 当 x∈(1，+∞)时，幂函数 y=xα 的图象恒在 y=x 的下方，则α的取值可能是
即 a 3 a 2 a 1 a
3
即 a 1 a 2 a 3 a
2
变式 2：在同一坐标系中作函数 y x 和 y=2-x 的图像如图。
1
解方程组

y y2
x x
得（1，1）
-6
-4
-2 -1
由图像得到 x 的范围是 0,1 -2
2
4
6
练习 1 y x
1 x2
y = 2x3 y = 2x
y =1
习指数 函数和 对数函
（A） 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
数的图
三、提高：若函数 y (m2 - 6x 10)x m 1 是幂函数，则该函数和 y = mx ， y = logm x 像。 8
的图像只可能是（ qx = x2 81x rx = 3 l nx sx = l n3 6
∴若 a＜-1,则 x=-1 时 y 有最小值 2＋2a, x=1 时 y 有最大值 2－2a,值域为〔2＋2a,2-2a〕
若－1≤a≤0,则 x=a 时 y 有最小值1 a 2 ，x=1 时 y 有最大值 2－2a，值域为〔1 a 2 ，2－2a〕
若 0＜a≤1，则 xFra Baidu biblioteka 时 y 有最小值1 a 2 ，x=－1 时 y 有最大值 2＋2a，值域6 为〔1 a 2 ，2＋2a〕
[]
A．－1
B．
1 2
C．3
D．－1
和
1 2
2.如果函数 f(x)＝ (m 1)xm22 是幂函数，求函数 f(x)-2ax+1 在〔－1，1〕上的值域.
〔B 组〕
3.求曲线 f (x) = 2x + 1 分别与下列直线的公共点个数
(1)y=x+b(b∈R)； (2)y=kx-1(k∈R)． [探究]
4
2
） 8 6 4 2
6
8 4
6 2
4
2
-10
-5
5
10
-10
-5
5
10
-10
-5
-2
-4
5
A
10
-10
-2
-4
-5
B -2
-4
5
10 -2
C
D
-4
-6
-6
-6
-6
-8
-8
-8
-8
三、图
像与性 一、给出图像（几何画板演示）
质
4
y=x2 3
2
1
-6
-4
-2
-1
-2 y=x3
-3
y=x
1
y=x 2
y=x- 1
质． 3.情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
【教学重点】：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质
【教学难点】：利用图像解决数学相关问题。
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：
教学环 教学活动
设计意
节
图
一、知 练习与提问
通过练
识引入 （1） 如果正方体的边长为 a，则正方体的体积 S＝
2.3 幂函数（特色班）
【课题】：幂函数 【课标要求】1.了解幂函数的概念。
2.结合函数
y

x,
y

x2,
y

x3,
y

1 x
,
y

1
x2
的图像，了解它们的变化情况。
【教学目标】： 1.知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 2.过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性
2
4
通过对 图形的 观察，了 解图像 特征，培 养观察、 归纳能 力
6
一、归纳性质：（学生填写）
四、例 题讲解
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y=x
y = x2
y = x3
例：证明函数 f (x) = x 在 0,上是增函数
变式 1、比较 a + 1 + a + 2与 a + 3. + a 的大小
若 a＞1，则 x=-1 时 y 有最大值 2＋2a, x=1 时 y 有最小值 2－2a,值域为〔2－2a,2＋2a〕
3 解：（1）在同一坐标系中作 y 2x 1 和 y=x+b 的图像
4
当曲线 y 2x 1 与直线 y=x+b 相切时，
2
方程 2x 1 ＝x+b 有两个相等的实数根，
变式 2：求满足不等式 x x - 2 0 的 x 的范围
1
y = x2
y=x 1
五、课 堂练习
1、 已知幂函数 y=f(x)的图像过点 (2, 2) ，则函数的解析式是
1
1
2、 利用幂函数的性质，比较各题中两个幂的值的大小（1） 2.32 和 2.42
通过例 题讲解 复习定 义法证 明单调 性和数 形结合 的思想。 巩固概 念，熟悉 图像
-3
1
1
练习 2 （1） 2.32 2.4 2
练习 3 1 练习与测试： 1 (D)
（2） ( 2)3 ( 3)3
（3） 1.21.1 1-4.11
2 解：∵ f(x)＝ (m 1)x m2 2 是幂函数，∴m=2, ∴ f (x) x 2
∴ y x2 2ax 1 (x a)2 1 a 2 (1 x 1)