切应力公式推导

dFS τ'bdx
（d）
将FN1、FN2、dFS代入式（a），得
(M
dM
)S
* z
MS*z
τ' bdx
0
Iz
Iz
经整理得
τ
FS
S
* z
I zb
（6－8）
25
τ
FS
S
max
M max Wz
4 103 0.103102
3.88106 Pa 3.88MPa [ ]
所以满足正应力强度要求。
17
例题6−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm， b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许 用压应力[σc]=90Mpa,试校核梁的强度。
由图6−4可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=σdA
图6－4
构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量
FN
σdA ， M y
A
zσdA
A
，
Mz
yσdA
A
由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有
FN
σdA 0
A
M y
σ max
M max Wz
σ
（6－6）
15
二、三种强度问题的计算
根据式（6−6）可以求解与梁强度有关的三种问题。
（1）强度校核
σ max
M max Wz
σ
（2）选择截面
Wz
M max σ
（3）确定许用荷载
M max Wz σ
16
例题6-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm， h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10Mpa，校核该梁的 强度。
σ My Iz
12
例题6−1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
解：先求出C截面上弯矩 MC Fa 1.5103 2
3103 N m 截面对中性轴的惯性矩
例题6－1图
My
σ
（6－4）
Iz
b
应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正
Oz
的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M
z
h y
按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应
dA y
力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应 用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正
应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力
为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中
由式（e）可得
My
z d A E
A
yz d A EI yz 0
A
因此
Iyz 0
(h)
即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过
横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。
7
FN
σdA 0
A
(d)
M y
zσdA 0
A
(e)
(f)
M z
yσdA M
D
nq (b)
图6－2
2
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕
垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面 与梁弯曲后的轴线保持垂直。
（2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互
作用可忽略不计。
图6－5 FS
2、切应力公式的推导
M
M+dM
从图5－5所示的梁中取出长为dx的微段，如
图5-6a所示。
FS dx (a)
微段梁上的应力情况如图10−6b所示。
图6－6
22
微段梁上的应力情况如图6−6b所示。
现假设用一水平截面将微段梁截开， 并保留下部脱离体，由于脱离体侧面
上存在竖向切应力τ，根据切应力互
F a B
D
F
Fa
1
3、梁的纯弯曲实验
横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵向 线变为弧线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍保 持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
mp
nq
(a)
F
F
C
mp
解：先画梁的弯矩图（图b）。 由梁的弯矩图可以看出，梁中
最大弯矩应发生在跨中截面上， 其值为
M max
1 ql2 8
1 8
2 103
42
4 103 N.m
弯曲截面系数为
例题5－2图
Wz
bh2 6
1 0.14 0.212 6
0.103 10 2 m3
例题6－2图
由于最大正应力应发生在最大弯 矩所在截面上，所以有
3
二、正应力公式的推导
1、几何方面
中性层
dθ
m
p
n
q
dx
(a)
m
p
中性轴
O1 a
Ob2
n
q
(b) 图6−3
ρ
O1 dx ya
O2 b
(c)
弧线O1O2的长度为：
dx ρdθ
(a)
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ： ( ρ y)dθ ρdθ ydθ y dx (b)
y dx
ρ
相应的纵向线应变为 ：
14
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
对圆形截面
d 4 64 d 3
Wz
d2
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在
型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力 不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为
Iz
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 10 4 m4
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
σK
MC Iz
y
3103 0.583104
(0.06)
3.09106 Pa
3.09MPa
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
13
§6－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。
9
yc,max
四、横截面上的最大应力
d2
Oz y b
d1 h
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横 截面上最大拉应力和最大压应力的 值相等；中性轴 z 不是横截面对称 轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
yt,max
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
dx (d)
其中 FN1
σdA
A1
My1 dA M
I A1
z
Iz
A1
y1dA
MS*z Iz
（b） b
式中的A1是横截面上距中
性轴为y的横线以外部分
h
的面积（图6−6e），
S
* z
A1 y1dA
是A1对中性轴的静矩。
y (e)
z y A1
24
同样有
FN2
(M
dM
)S
* z
Iz
（c）
由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是 均匀分布的，所以有
拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力
发生在截面的下边缘，其值为
σ t, m ax
MC Iz
y2
2.7 103 0.038 0.573105
17.91106 Pa
17.91MPa [σt ]
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为
σ t, m ax
MB Iz
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
[σt ]
19
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分
析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压 应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。 因MC 和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截
M max 375 kN.m
由梁的正应力强度条件可得梁所必需的
弯曲截面系数
Wz
M max
σ
375 10 3 150 10 6
2460
10 6 m3
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447 106 m3
此时最大正应力
例题6－4 图
(b) M图
281kN.m
281kN.m
375kN.m
等定理可知，在脱离体的顶面上一定
存在切应力τ'，且τ'=τ,如图10−6c所
示。
dx (b)
z τ′ y τ
y dx
(c)
23
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、 右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切
应力的总和，如图6−6d。
由
Fx 0
FN1
dFS FN2
得 FN2 FN1 dFS 0 （a）
zσdA 0
A
M z
yσdA M
A
(d) (e) (f)
6
FN
σdA 0
A
(d)
M y
zσdA 0
A
(e)
(f)
M z
yσdA M
A
又
FN
dA E
A
y d A ES z
A
0
因为 E 不等于零，所以有
Sz 0
(g)
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面 的形心，于是就确定了中性轴的位置。
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
11
五、横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪 力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应 用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截 面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
A
最后由式（f）可得
M z
y d A E
A
y2 d A EI z M
A
即有
1 M
EI z
（6－3）
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应
力的计算公式为
σ My
（6－4）
Iz
8
三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
x
dx
y
（6－1） 4
2、物理方面
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线
应变的关系为：
σ Eε
将式
y
代入，得
σ E y ρ
(c) （6－2）
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比， 并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。
5
图6－4
3、静力学方面
力的值为
max
M ym a x Iz
பைடு நூலகம்
M
Iz ymax
M Wz
（6－5）
10
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。
横截面上应力分布
d2
b
c,m ax
h yt,max yc,max d1
Oz oz
y
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力
值和最大压应力值为
面上，即
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa
[σc ]
由以上分析知该梁满足强度要求。
20
例题6−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用
应力[σ]=152MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。
梁的最大弯矩值为
第六章
§6－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
1、纯弯曲——梁或梁 上的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力(如图 5－1中的CD段)。
2、 横力弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 －1中的AC、BD段)。
弯曲应力
F a (a) AA
Cl
F (b)
FS图 (c)
M图
图6－1
σ max
M max Wz
375103 2447 106
153106 Pa 153MPa
例题6－4 图
超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢。
21
§6－3 梁横截面上的切应力 · 梁的切应力 强度条件
一、矩形截面梁的切应力
1、两点假设
（1）横截面上各点处的切应 力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距 离各点的切应力相等。
0.11 0.03 0.023 2 )
(0.03 0.083 12
0.03 0.08 0.032 2 )
0.573
105 m4
18
（4）强度校核
因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不 对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。
①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯 矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最 大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的
解：（1）先画出弯矩图（图b）
（2）确定截面形心C的位置
例题5－3 图
y1 0.11 0.038 0.072 m
y2
0.11 0.03 0.015 0.03 0.08 0.07 0.11 0.03 0.03 0.08
0.038m
例题6－3 图
（3）截面对中性轴的惯性矩
Iz
(0.11 0.033 12
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最
远的位置，此时
σ max
M Iz
ymax
σmax
M max Wz
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截
面上，距中性轴最远的位置，即
σ max
M max Iz
ymax
σmax
M max Wz
（6－5）
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。