最优捕鱼策略原稿

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最优捕鱼策略

摘 要

为了保护人类赖以生存的的自然环境,可再生资源(如渔业,林业资源)的开发必须适度,本文主要研究在可持续的发展前提下,并对问题进行合理的假设,建立非线性规划模型来寻求最优捕鱼策略,以达到最大总获量。

对于问题1,首先,我们根据死亡率的定义以及它的量纲,运用微积分知识推导得到各年龄组鱼的数目与时间和死亡率的关系,得到1、2年龄组鱼的数目)(t x i 与时间t (年)和死亡率a 的关系:

at i i e x t x -⨯=)0()( )2,1,010(=≥≥>i t a

及3、4龄鱼的数目)(t x i 与时间t 、死亡率a 和捕捞强度系数i a 的关系:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥⨯≥≥⨯=--+-,321 )3

2(,032 )0()()32()(t e x t e x t x t at i t a a i i i )4,3,0(=>i a 然后,我们假设以年作为捕鱼的单位时间,孵化时间在9月,并且在每年末进行捕鱼,以年收获总量为目标函数,以初始各年龄组鱼的数目,捕捞强度系数为决策变量,以可持续性发展为约束条件,建立非线性规划模型。最后,用lingo 软件编程得结果如下表:

对于问题2,首先假设仍然以年作为捕鱼的单位时间,孵化时间在9月,在每年末进行捕鱼,并且每年的捕捞强度系数不变。然后结合问题1,提出各年龄鱼的数目的时间递推算法,以5年的总收获量为目标函数,捕捞系数为决策变量,并规定第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%作为约束条件来反映该鱼群的生产能力不受太大破坏,,建立非线性规划模型。用lingo 软件编程得到结果:最优解为每年3,4龄鱼的捕捞系数分别为12.654,30.12857,可获得最优值最大收获量为131********.0⨯克。本文最后还对模型进行检验、合理的评价和推广。

关键词:非线性优化;捕捞系数与死亡率;最大收获量

一、问题的提出

为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼(鱼题T 鱼)的最优捕捞策略:

假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(克),各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为

5101.109⨯ 个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与

产卵总量n 之比)为)1022.1/(101.221111n +⨯⨯

。 渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数,通常使用13mm 网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

建立和求解合理的数学模型,回答下列问题:

1、建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。

2、某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,

3.29(×910条),如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

二、问题的分析

问题一要求建立数学模型分析如何实现可持续捕获,在此前提下得到最大的年收获量。这是一个优化问题,需要建立优化模型来解决,首先我们确定我们的目标函数是使年收获量达到最大;而决策的变量有捕捞度系数3a 、4a ,初始时各年龄组鱼的数目()0i x (i =1,2,3,4)。题目中提到自然死亡率,根据相关资料查询和推导出原题中死亡率]1[的定义)()(t ax dt

t dx =由此积分可得 at e x t x -=)0()( ,

再进一步结合死亡率和捕捞强度系数可得:

)()()()(lim

0t x k a t t t x t x t +=∆∆+-→∆

由此积分求解得:

t k a e x t x )()0()(+-=,

得到单位时间内的捕获量为

t k a e x k t x k )()0()(+-⋅=⋅

其中k 为3、4龄鱼捕捞系数。

但是结合考虑第二问的问题和在较合理条件下,我们假设以年作为捕鱼的单位时间,并且在每年末进行捕鱼,根据题意列出目标函数和约束条件,用相应的工具解决该非线性规划问题,得出优化结果。

问题二要求在5年后鱼群的生产能力不能收到太大破坏的前提下,仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采用怎样的策略才能使得总收获量最大。问题2是在问题1的基础上再进一步的扩展,仍然是一个优化问题,初始各年龄组的数目已知,目标函数是使得5年的总收益达到最大,决策变量为3,4龄鱼每年的捕捞强度系数,约束条件是要求五年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏,即3、4龄鱼的数目不发生太大改变,我们假定一个合理的界限为约束条件,假设第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%,该鱼群的生产能力不受到太大的破坏。

三、模型的假设

1、 假设该种鱼分为四种年龄组,1,2,3,4龄鱼,且各年龄组每天鱼的重量分别为:5.07,11,55,17.86,22.99(克),不考虑4龄鱼以上年龄组的鱼;

2、不考虑鱼群的迁入和迁出等因素对鱼群数量的影响;

3、假设各年龄组的死亡率为0.8(1/年);

4、假设以年为捕鱼时间单位;

5、假设平均每条4龄鱼的产卵量为510109.1⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,孵化期在9月,孵化后成活为1龄鱼,成活率为

n

+⨯⨯1111

1022.11022.1; 6、假设生产能力不受太破坏的标准为第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%。

四、符号说明

)(t x i : t 时刻第i 龄鱼的数量(4,3,2,1=i )

3a :3龄鱼的捕捞度系数

4a :4龄鱼的捕捞度系数

m :平均每条4龄鱼的产卵量,m 为510109.1⨯;

n :总产卵量

a : 年死亡率

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