高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质限时规范训练文

高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性

质限时规范训练文

1．(2019·咸阳二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 C.23

3

D. 2

解析：中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a ＝b ，

∴c ＝a 2

＋b 2

＝2a ， ∴e ＝c a

＝2， 故选D. 答案：D

2．(2019·广元模拟)已知直线l 过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，2且与x 轴垂直，则以直线l 为准线、顶点在原点的抛物线的方程是( ) A ．y 2

＝6x B.y 2

＝－6x C ．x 2＝6y

D.x 2

＝－6y

解析：依题意，设抛物线的方程为：y 2

＝－2px (p >0)， ∵准线方程为x ＝3

2

，

∴p 2＝32

， ∴p ＝3，

∴抛物线的方程是y 2

＝－6x . 故选B. 答案：B

3．(2019·成都模拟)已知双曲线C ：x 2

－y 2

b

2＝1(b >0)的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为

( ) A ．y ＝±15x B.y ＝±2x C ．y ＝±3x

D.y ＝±3x

解析：双曲线C ：x 2

－y 2

b

2＝1(b >0)的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，

∵1＋b 2＝c 2

＝4， ∴b ＝3，

∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， 故选D. 答案：D

4．(2019·邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )

A.2512 m

B.256 m

C.95

m D.

185

m 解析：设抛物线的解析式为：x 2

＝－2py ，p >0， ∵抛物线过(6，－5)，则36＝10p ，可得p ＝18

5，

抛物线的焦点到准线的距离为18

5.

故选D. 答案：D

5．(2019·浉河区校级月考)椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，

若△AF 1F 2的面积为3，且∠F 1AF 2＝4∠AF 1F 2，则椭圆方程为( ) A.x 23＋y 2

＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 2

4

＋y 2

＝1 D.x 24＋y 2

3

＝1 解析：椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，

若△AF 1F 2的面积为3，可得bc ＝3，且∠F 1AF 2＝4∠AF 1F 2，∴∠AF 1F 2＝30°，

∴b c ＝

3

3

，解得b ＝1，c ＝3，所以a ＝2， 则椭圆方程为：x 2

4＋y 2

＝1.

故选C. 答案：C

6．(2019·潍坊一模)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则C

的离心率为( ) A. 5 B.55 C.52

D.

25

5

解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±a b ，一条渐近线的方程为y ＝2x ，∴a b

＝2，设b ＝t ，a ＝2t

则c ＝t 2

＋4t 2

＝5t ∴离心率e ＝c a ＝52

. 故选C. 答案：C

7．(2019·安庆二模)直线l 是抛物线x 2

＝2y 在点(－2,2)处的切线，点P 是圆x 2

－4x ＋y 2

＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于( ) A ．0 B.65

5

C.

65

5

－2 D.65

解析：y ′＝x |x ＝－2＝－2，∴l ：y ＝－2x －2，所以圆心(2,0)到l 的距离是6

5

＝655.

所以最小值是65

5－2.

故选C. 答案：C

8．(2019·烟台一模)已知圆锥曲线C 1：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)与C 2：px 2－qy 2

＝1(p >0)的公共焦点为F 1，F 2.点M 为C 1，C 2的一个公共点，且满足∠F 1MF 2＝90°，若圆锥曲线C 1的离心率为3

4

，

则C 2的离心率为( ) A.92 B.32

2

C.32

D.54

解析：C 1：x 21m

＋y 21n

＝1，C 2：x 21p

－y 21

q

＝1.

设a 1＝

1

m ，a 2＝

1

p

，MF 1＝s ，MF 2＝t ，

由椭圆的定义可得s ＋t ＝2a 1， 由双曲线的定义可得s －t ＝2a 2， 解得s ＝a 1＋a 2，t ＝a 1－a 2，

由∠F 1MF 2＝90°，运用勾股定理，可得s 2

＋t 2

＝4c 2

， 即为a 2

1＋a 2

2＝2c 2

，

由离心率的公式可得，1e 21＋1

e 22

＝2，

∵e 1＝34，∴e 2

2＝92，则e 2＝322.

故选B. 答案：B

9．已知M 是抛物线C ：y 2

＝2px 上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点

N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )

A ．2 B.4 C ．6

D.8

解析：设M (x 0，y 0)，

∵以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，∴x 0＋1＝(x 0－1)2

＋y 2

0， 又y 2

0＝2px 0.∴p ＝2. 即可得抛物线方程为y 2

＝4x .

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋b y 2

＝4x ⇒y 2

－4y ＋4b ＝0.

y 1＋y 2＝4，

∴线段PQ 的中点的纵坐标为y 1＋y 2

2

＝2.

故选A. 答案：A