概率论与数理统计课程小论文

浅谈随机变量的数字特征

摘要：我们知道，随机变量的分布函数完全刻画了随机变量的统计

规律，它反应了随机变量的全貌，而随机变量的数字特征只是随机变量的统计规律的某一个方面的数量描述，不能完整地描述随机变量，但却反映随机变量取值的一些特征。本文就从这点出发，主要讲述随机变量的数字特征的引出、相关知识点及重点和随机变量数字特征的应用。

关键字：数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数

我们知道随机变量的分布函数能够全面地描述随机变量的统计特性。但实际问题中，由于有时很难求出随机变量的分布函数或者不需要知道随机变量的一切统计特性，而只需要知道随机变量的某些特征。例如在分析某校学生英语四级水平时，只要计算该校的平均成绩和计算该校每位学生的考试成绩与平时成绩的偏离大小，便可以对该校的学生英语四级水平做出比较客观的判断，这种能表示随机变量某些方面特征的数就是随机变量的数字特征。另外我们还注意到许多的重要分布都会含1到3个参数，而这些参数都与数字特征重合或关系密切，因此只要知道分布的类型，通过数字特征就能完全确定分布函数。由此可见，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。

通过这章的学习，我理解了随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差；掌握了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差；会根据随机变量X 的概率分布计算其函数()g X 的数学期望[()]E g X ；会根据随机变量(,)X Y 的联合概率分布计算其函数(,)g X Y 的数学期望正[(,)]E g X Y ；理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。下面是我总结出来的本章知识要点：

1．数学期望

设X 是离散型的随机变量，其概率函数为

(),1,2,

,i i P X a p i ===

如果级数

i i

i

a p

∑绝对收敛，则定义X 的数学期望为

()i i

i

E X a p =∑；

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分

()xf x dx

+∞

-∞

⎰

绝对可积，则定义X 的数学期望为

()()E X xf x dx

+∞-∞

=⎰

．

2．随机变量函数的数学期望

设X 为离散型随机变量，其概率函数

(),1,2,

,i i P X a p i ===

如果级数

()i

i

i

g a p

∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为

[()]()i i

i

E g X g a p =∑

设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数

(,),,1,2,

,

i j ij P X a Y b p i j ====

如果级数(,)i j ij

j

i

g a b p ∑∑

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望

为

[(,)](,)i j ij

j

i

E g X Y g a b p =∑∑；

特别地();()i ij j ij

i i j i E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分

()()g x f x dx

+∞

-∞

⎰

绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为

[()]()()E g X g x f x dx

+∞-∞

=⎰

．

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy

+∞

+∞

-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的

数学期望为

[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

；

特别地

()(,)E x xf x y dxdy +∞

+∞

-∞-∞=⎰

⎰

, ()(,)E Y yf x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

.

3．数学期望的性质

3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；

3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)； 3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；

3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 4．方差与标准差

随机变量X 的方差定义为

2()[()]D X E X E X =-．

计算方差常用下列公式：

22()()[()]D X E X E X =-’

当X 为离散型随机变量，其概率函数为

(),1,2,

,i i P X a p i ===

如果级数

2

(())

i i

i

a E X p -∑收敛，则X 的方差为

2()(())i i

i

D X a

E X p =-∑；

当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分

2(())()x E X f x dx

+∞

-∞

-⎰

收敛，则X 的方差为

2()(())()D X x E x f x dx

+∞

-∞=-⎰.

随机变量X 的标准差定义为方差()D X 5．方差的性质

5.1 ()0D c = (c 是常数)；

5.2

2

()()D kX k D X = (k 为常数)； 5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+.

6．协方差

设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为

cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．

计算协方差常用下列公式：

cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-．

当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==． 协方差具有下列性质：

6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)； 6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =；

6.3 cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)； 6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+ 7．相关系数

随机变量(,)X Y 的相关系数定义为

XY ρ=

相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与