自控理论第四章根轨迹法
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理 根轨迹法
n
i
|
注意
• 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分 必要条件 • 用相角方程绘制根轨迹; • 模值方程主要用来确定已知根轨迹上某 一点的K*值 • 例4-1,4-2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
• 法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数 等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的 数目相同。
q
h
f
l
结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) G( s) H ( s ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
• 根轨迹增益：
(s z ) (s p )
• 法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ：
起始角：
例2 证2
m n
pk ( 2k 1) ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 i 1 i k
终止角：
zk ( 2k 1) ( z k p i ) ( z k z j )
i
nm
0 ( 1) ( 2) 1 30
a
(2k 1)π π π , , π nm 3 3
d1 0.42, d 2 1.58(舍去)
s j
1 1 1 0 d d 1 d 2
1 G(s)H(s) 0即(s 3 3s 2 2s K * ) j 3 3 2 2 j K * 0
s2
0
常规根轨迹的绘制法则(P138) 终止于开环零点或。 1 根轨迹起始于开环极点或， 根轨迹对称实轴 2 根轨迹的条数为特征根的个数, 3 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的σa 点,
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理课件 第四章根轨迹分析法
G k(s)
, 例 4 6 s1 s 0 P ' ) 0.3333 (s 0 s(s 1)(s 2)
2
Kg
P(s 0 )
已 求 : P(s) 3s 6s 2, P(-1) -1 0,P(0) 2 0,故 实 轴 [ 1,0]段 必 有 分 离 点 . 另 在 [ 1,0]区 段 : P (s) 6s 6 0,
§4-2 绘制根轨迹的基本法则 (一、二、三、四)
CASE.SCUT
五.实轴上的根轨迹:实轴根轨迹区 θ 180 (2k 1) , 段其右方实数极点个数、实数零 nm n m 点个数总和应为奇数； ( p j ) ( zi ) 六.根轨迹的渐近线: j 1 i 1 当n＞m,Kg→∞时,有n-m条根轨迹 σ a nm 分支沿着与正实轴夾角θ, 截距为式中k 0,1,2, ,n m 1 σa的一组渐近线趋于无穷远处：
2.幅值条件 求K g
: s 2的K g
(s p )
j
n
(s z )
i i1
j1 m
s 2 p1 s 2 p 2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25
利用MATLAB进行控制 系统分析 四绘制根轨迹图 例4-27.exp412140.m num=1;den=[1 5 8 6 0];
s平面上满足相角条件 方程的一切点, 都是 对应不同K g 值的闭环特征根, 即根轨迹, 所以 相角条件是确定根轨迹的充要条件。
•
CASE.SCUT §4-1-4幅值条件方程和相角条件方程的应用 例4-2,例4-3
1.相角条件 求根轨迹
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
自动控制原理第四章根轨迹小结
2kπ
5
实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹
偶
6
根轨迹的分离点
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
(2k+1)π
L
,
不变！
不变！
7
与虚轴的交点
8
起始角与终止角
变了
举例说明
利用根轨迹分析系统的性能
要求：
概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。
如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
1
+
K*
=
0
j=1
m
∏
s
pi
(
-
)
pi
开环极点“×”, 也是常数！
开环零点“”,是常数！
Zj
i=1
n
∏
根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
s
zj
(
-
)
根轨迹的模值条件与相角条件
j=1
m
n
1
+
K*
3 分离角定义
实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
自动控制理论—根轨迹
Kr K = limsG(s)H(s) = s→ 0 2
对于本系统， 与开环增益K 对于本系统，根轨迹增益 Kr与开环增益K间的关 它们之间仅相差一个比例常数2 系为 Kr = 2K，它们之间仅相差一个比例常数2。
四、根轨迹与系统性能
以图4-1为例进行说明 以图4 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部， 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统 是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面， 是稳定的， 否则是不稳定的。 若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面， 根轨迹与虚轴交点处的K 就是临界稳定的开环增益K 根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统， 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点 ， 所以属 Ⅰ 型系统 ， 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。 因而根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数 。 如果给定系统的稳态 误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 所有闭环极点均位于实轴上， 动态性能 当0< Kr <1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为 过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当 Kr =1 特征方程的两个相等负实根， 系统为临界阻尼系统， 时 ， 特征方程的两个相等负实根 ， 系统为临界阻尼系统 ， 单 位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当 位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 r >1 时 ， 特征方程 K 为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统， 为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过 程 ， 振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有 值的增加而加大， Kr 显著变化。 显著变化。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理PrinciplesofAutomaticControl
第4章 根轨迹法
由上述两式可见，幅值条件与k有关，而 相角条件与k无关。因此，把满足相角条件 的值代入到幅值条件中，一定能求得一个 与之相对应的k值。这就是说，相角条件是 确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。换 言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满 足幅值条件,反之,满足幅值条件的点未必都 能满足相角条件.
n
m
(s pl ) K (s zi ) 0
l 1
i 1
1
K
n
(s pl )
l 1
m
(s zi ) 0
i 1
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
m
(s zi ) 0
i 1
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
自动控制原理
第4章 根轨迹法
我们在上式中做置换，令 s 1
自动控制原理
第4章 根轨迹法
规则2 根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
G(s)H (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
系统的闭环传递函数
n
m
(s pl ) K(s zi ) 0
根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。
1) 在正实轴上任取一试验点 s1，如图4-4(a)所示，由 于 arg s1 0，arg(s1 1) 0 ，因 而该点不满足根轨迹的相角 条件。由此可知，在正实轴 上不存在系统的根轨迹。
自动控制原理
2)在(0,–1)间的实轴上
任取一试验点s2，如图4-
！绘制注意点 1）实轴、虚轴相同的刻度
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
自动控制原理第4章-根轨迹
zl
1800
m
( zl
j 1 jl
zj)
n
( zl
j 1
p
j
)
第四章 根轨迹法
4.2.3 绘图示例
G(s)H (s)
K
s(s 1)(s 2)
闭环特征方程 : s3 3s2 2s K 0
按7个基本规则绘制根轨迹图：
首先，系统有三个无穷远
零点，有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们 标在复平面上。
第四章 根轨迹法
7、 根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称
为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
1800
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为 入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：
根据规则1)和2)，根轨
迹将有3支，分别开始于这
三个开环极点，趋向无穷
远。
第四章 根轨迹法
根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0,1,2
0 600 ,1 1800 ,2 3000
所有渐近线交于实轴上 的一点，其坐标为：
0 1 2 1
3
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
m
上式变形： K (s zl )
l 1 n
1 0 ——典型根轨迹方程
(s pi )
自动控制原理 第四章 根轨迹法
K S ( 0.5 S 1)
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
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σ 0
(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.
1 .根轨迹概念：
(1)定义：当开环系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移 动而形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
(2) 系统性能与根轨迹的关系（教材P145）
（k= 0, 1, 2, …）
根据向量相等的条件，有：
∣G（s）H（s）∣=1 ∠G（s）H（s）=（2k±1）π
（k= 0, 1, 2, …）
即有
m
K * (s zj)
j 1 n
1
(s
p) i
i 1
n
或者
K*
i 1 m
(s
p) i
(s
z
)
j
j 1
(模值条件)
m
n
(相角条件)
(szj) (sp i)(2 k 1 )
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1
p1
p5
p7
（4）法则4： 根轨迹的渐近线。(证明参见P149-)
设 n＞m ，则有n-m条渐近线，它们与实轴的交点σa和交角φa 分别为：
设有二阶代数方程 s23s2K0, 由韦达定理, 可求出其二个根
为: s1,21.5 0.2 5K,
当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个根的 所有值是相当麻烦的.
那么能否在根平面即S平面上画出这两个根随K从0连续变 化到正无穷大时的变化轨迹呢?
(1)K=0, 则s11,s22
jω
-2
-1
j1 n
s (Tis1)
i1
其中， K----开环增益 ν----系统类型
首1型
m
K*(s
z j
)
G(s)H(s)
j1 n
s
(s
p i
)
i1
显然
m
j
K*
j1 n
K
Ti
i1
其中: K*----根轨迹增益 Zj----开环零点（Zj =-1/τj） Pi----开环极点（Pi=-1/ Ti）
注意！ K与K*之间的转换
-8
-6
z2
p3
p2
z4
p7
jω
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1
p1
p5
(1) 法则1：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（K*=0）是 开环极点；终点（K*=∞）是开环零点。 说明：设G（s）H（s）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。
当m≤n时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处；
当m＞n时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。
1、180°根轨迹的绘制法则（适用于负反馈,亦称为常规根轨迹） 本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则
不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环
传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K*为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为:
G 0 ( s ) s ( s 6 )s K ( 8 ') ( s s ( 1 0 ) .5 s ( 1 j) ) s s ( 0 ( 0 7 .5 j2 j) )s s ( ( 4 7 j j 3 2 ) ) s ( 4 j3 )
n 7 ,m 4 ;z 1 1 ,z 2 1 ,z 3 0 7 j 2 ,z 4 7 j 2 p 1 0 ,p 2 6 ,p 3 8 ,p 4 0 .5 j ,p 5 0 .5 j ,p 6 4 j 3 ,p 7 4 j 3
p6 z3
-10
2 根轨迹方程
根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为
1+G（s）H（s）=0 或 G（s）H（s） = -1 ，即：
m
K *(s zj)
j 1 n
1
s
(s
p) i 1 n
1
(s
p) i
i 1
由于 G（s）H（s） = -1 实际上是一个向量方程，故有
G (s)H (s) G (s)H (s)e j G (S )H (S ) 1 1 e j(2 k 1 )G (s)H (s) G (s)H (s)e j G (S )H (S ) 1 1 e j(2 k 1 )
当0< K <0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K>0.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位
阶跃响应为衰减振荡过程。
(3)开环增益K与根轨迹增益K* 的关系
因为开环传递函数可以有两种形式：
尾1型
m
K( j s 1)
G(s)H(s)
③ 对称性。根轨迹在[s]平面上是关于实轴对称的。这是因 为当K*→∞时，系统的特征根是实数或共轭复数。
（3）法则3： 实轴上的根轨迹。
根据相角条件，实轴上的某段根轨迹，若其右边的开环
实数极点与开环实数零点的总数为奇数，该区段必是条完
整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分.
jω
p6 z3
-10
-8
j 1
i 1
（k=
0,
1,
2,
…）
同时满足模值条件和相角条件，可以确定根轨迹，还可以：
（1）已知根轨迹上的点，确定根轨迹参数K*； （2）已知根轨迹参数K*，确定根轨迹上的点（即闭环极点）。
其中，相角条件为确定根轨迹的充要条件。因为一般只要利 用相角条件绘制根轨迹，只有在求K*时才用到模值条件。
4．2 绘制根轨迹的基本法则
稳定性 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入 s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的;
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的K值（开环增益）就是静态速度误差 系数Kv。如果已知ess的容许范围，则在根轨迹图上可以确 定闭环极点取值的容许范围。
动态特性
第四章 根轨迹法
一、重点： 1、根轨迹方程 2、绘制根轨迹的基本公式、基本法则
二、难点： 1、绘制复杂系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
3、用根轨迹方法设计系统 三、考点：
1、绘制系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
4.1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
在无穷远处（在G（s）H（s）没有出现）的零、极点称为 无限零、极点；
在G（s）H（s）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、 极点；
(2) 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。 ① 根轨迹的分支数。由1+G（s）H（s）=0的阶次数决定。 ② 连续性。根轨迹在[s]平面上是连续的。这是因为当K*→∞时， 系统的特征根是连续的。