自控理论第四章根轨迹法

（k= 0, 1, 2, …）
根据向量相等的条件，有：
∣G（s）H（s）∣=1 ∠G（s）H（s）=（2k±1）π
（k= 0, 1, 2, …）
即有
m
K * (s zj)
j 1 n
1
(s
p) i
i 1
n
或者
K*Biblioteka Baidu
i 1 m
(s
p) i
(s
z
)
j
j 1
(模值条件)
m
n
(相角条件)
(szj) (sp i)(2 k 1 )
在无穷远处（在G（s）H（s）没有出现）的零、极点称为 无限零、极点；
在G（s）H（s）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、 极点；
(2) 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。 ① 根轨迹的分支数。由1+G（s）H（s）=0的阶次数决定。 ② 连续性。根轨迹在[s]平面上是连续的。这是因为当K*→∞时， 系统的特征根是连续的。
j 1
i 1
（k=
0,
1,
2,
…）
同时满足模值条件和相角条件，可以确定根轨迹，还可以：
（1）已知根轨迹上的点，确定根轨迹参数K*； （2）已知根轨迹参数K*，确定根轨迹上的点（即闭环极点）。
其中，相角条件为确定根轨迹的充要条件。因为一般只要利 用相角条件绘制根轨迹，只有在求K*时才用到模值条件。
4．2 绘制根轨迹的基本法则
σ 0
(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.
1 .根轨迹概念：
(1)定义：当开环系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移 动而形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
(2) 系统性能与根轨迹的关系（教材P145）
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1
p1
p5
p7
（4）法则4： 根轨迹的渐近线。(证明参见P149-)
设 n＞m ，则有n-m条渐近线，它们与实轴的交点σa和交角φa 分别为：
j1 n
s (Tis1)
i1
其中， K----开环增益 ν----系统类型
首1型
m
K*(s
z j
)
G(s)H(s)
j1 n
s
(s
p i
)
i1
显然
m
j
K*
j1 n
K
Ti
i1
其中: K*----根轨迹增益 Zj----开环零点（Zj =-1/τj） Pi----开环极点（Pi=-1/ Ti）
注意！ K与K*之间的转换
当0< K <0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K>0.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位
阶跃响应为衰减振荡过程。
(3)开环增益K与根轨迹增益K* 的关系
因为开环传递函数可以有两种形式：
尾1型
m
K( j s 1)
G(s)H(s)
第四章 根轨迹法
一、重点： 1、根轨迹方程 2、绘制根轨迹的基本公式、基本法则
二、难点： 1、绘制复杂系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
3、用根轨迹方法设计系统 三、考点：
1、绘制系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
4.1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
③ 对称性。根轨迹在[s]平面上是关于实轴对称的。这是因 为当K*→∞时，系统的特征根是实数或共轭复数。
（3）法则3： 实轴上的根轨迹。
根据相角条件，实轴上的某段根轨迹，若其右边的开环
实数极点与开环实数零点的总数为奇数，该区段必是条完
整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分.
jω
p6 z3
-10
-8
设有二阶代数方程 s23s2K0, 由韦达定理, 可求出其二个根
为: s1,21.5 0.2 5K,
当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个根的 所有值是相当麻烦的.
那么能否在根平面即S平面上画出这两个根随K从0连续变 化到正无穷大时的变化轨迹呢?
(1)K=0, 则s11,s22
jω
-2
-1
稳定性 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入 s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的;
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的K值（开环增益）就是静态速度误差 系数Kv。如果已知ess的容许范围，则在根轨迹图上可以确 定闭环极点取值的容许范围。
动态特性
2 根轨迹方程
根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为
1+G（s）H（s）=0 或 G（s）H（s） = -1 ，即：
m
K *(s zj)
j 1 n
1
s
(s
p) i
i 1
或者
m
K *(s zj)
j 1 n
1
(s
p) i
i 1
由于 G（s）H（s） = -1 实际上是一个向量方程，故有
G (s)H (s) G (s)H (s)e j G (S )H (S ) 1 1 e j(2 k 1 )G (s)H (s) G (s)H (s)e j G (S )H (S ) 1 1 e j(2 k 1 )
n 7 ,m 4 ;z 1 1 ,z 2 1 ,z 3 0 7 j 2 ,z 4 7 j 2 p 1 0 ,p 2 6 ,p 3 8 ,p 4 0 .5 j ,p 5 0 .5 j ,p 6 4 j 3 ,p 7 4 j 3
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
p7
jω
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1
p1
p5
(1) 法则1：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（K*=0）是 开环极点；终点（K*=∞）是开环零点。 说明：设G（s）H（s）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。
当m≤n时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处；
当m＞n时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。
1、180°根轨迹的绘制法则（适用于负反馈,亦称为常规根轨迹） 本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则
不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环
传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K*为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为:
G 0 ( s ) s ( s 6 )s K ( 8 ') ( s s ( 1 0 ) .5 s ( 1 j) ) s s ( 0 ( 0 7 .5 j2 j) )s s ( ( 4 7 j j 3 2 ) ) s ( 4 j3 )