国际奥林匹克数学竞赛试题分享

国际奥林匹克数学竞赛试题分享

国际奥林匹克数学竞赛(International Mathematics Olympiad，简称IMO)有"数学世界杯"之称，创办于1959年，每年举办一次，由参赛国轮流主办。目的是为了发现并鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。

今天，查字典数学网小编就给大家分享了第一届IMO试题，考验大家的智商时刻到了，一起来试试吧。

1. 求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。

2. 设

√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A ，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：

(a)A=√2;(b)A=1;(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程

acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆

的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点;(b.)求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点S;(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ 的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD)，使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。