基本初等函数历年高考题

基本初等函数I
1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x
y a a a =>≠（0，且）的反函
数，且(2)1f =，则()f x = ( ) A ．x 2log B ．x 21
C ．x 2
1log D ．22-x 答案 A
解析 函数1x
y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即
log 21a =,
所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数3
lg
10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有
点 （ ）
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运
算的考查.
3.（2009天津卷文）设3.02
13
1)2
1(,3log ,2log ===c b a ，则
( )
A a<b<c
B a<c<b
C b<c<a
D b<a<c 答案 B
解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13log 2>=b ，因此选B 。

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能
4.（2009四川卷文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是
A. )0(log 12>+=x x y
B. )1)(1(log 2>-=x x y
C. )0(log 12>+-=x x y
D. )1)(1(log 2->+=x x y 答案 C
解析 由y x y x y x 221log 1log 12+-=⇒=+⇒=+，又因原函数的值域是0>y ，
∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y
5.（2009全国卷Ⅱ理）设
323log ,log log a b c π=== A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>
答案 A
解析 322log 2log log b c <<>
2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>>. 6.（2009湖南卷文）
2log 的值为
A ．
B ．1
2- D ．
12
答案 D
解析 由1
2
22211log log 2log 222
===,易知D 正确.
7.（2009湖南卷文）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的
正数K ，定义函数 (),(),
(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩
取函数()2x f x -=。

当K =12
时，函数()K f x 的单调递增区间为 ( )
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(1,)+∞ 答案 C
解析 函数
1()2
()2
x
x f x -==，作图易知
1
()2
f x K ≤=
⇒(,1][1,)x ∈-∞-+∞， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C.
8.（2009福建卷理）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是
A ．()f x =1
x
B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D.()ln(1)f x x =+ 答案 A
解析 依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。

9. （2009辽宁卷文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2
x ；当x ＜4时()f x ＝
(1)f x +，则2(2log 3)f +＝
A.124
B.112
C.18
D.
38
答案 A
解析 ∵3＜2＋log 23＜4,所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)且3＋log 23＞4
∴2(2log 3)f +＝f(3＋log 23)
＝12221
log 33log 3log 311111111()()()282828324
+=⨯=⨯=⨯=
10.（2009四川卷文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是
A. )0(log 12>+=x x y
B.)1)(1(log 2>-=x x y
C.)0(log 12>+-=x x y
D.)1)(1(log 2->+=x x y 答案 C
解析 由y x y x y x 221log 1log 12+-=⇒=+⇒=+，又因原函数的值域是0>y ，
∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y
11.（2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线及x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 A.1n
B.11n +
C. 1
n n + D.1 答案 B
解析 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点
（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设
0y =,
1
n n n x +=则1212311
(23411)
n n n x x x n n n -⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯
⨯=
++, 故选 B.
12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 答案 C
解析 由题令1lg 21=+x 得1=x ，即1)1(=f ，又1)1(=g ，所以
2)1()1(=+g f ，故选择C 。

13.(2009湖南卷理)若2log a ＜0，1()2
b ＞1，则 ( )
A ．a ＞1,b ＞0
B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 答案 D
解析 由2log 0a <得0,a <<由1()12
b >得0b <，所以选D 项。

14.（2009四川卷理）已知函数22log (2)
()24
(22
a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪
-⎩当时在点处当时）连续，则常数a
的值是 ( )
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

答案 B
解析 由题得3222log 2=⇒+=+a a ，故选择B 。

解析
2：本题考查分段函数的连续性．由
2222
4
lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=-，22(2)log 1f a a =+=+，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
2
(2)lim ()4x f f x →==，可得3a =．故选B ．
15.（2009福建卷文）若函数()f x 的零点及()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D. ()12f x In x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
答案 A
解析 ()41f x x =-的零点为x=
4
1
,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的零点为x=23.现在我们
来估算()422x g x x =+-的零点，因 为g(0)= -1,g(2
1
)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 2
1),又函数()f x 的零点及()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

二、填空题
16.（2009江苏卷）已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .
解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。

17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，
则实数a 的取值范围是 . 答案 }1|{>a a
解析 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,x y a a =>且
1}a ≠及函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只
有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象及直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
18.（2009重庆卷文）记3()log (1)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则方程
1()8f x -=的解x = ．
答案 2
解法1 由3()log (1)y f x x ==+，得13y x -=，即1()31f x x -=-，于是由
318x -=，解得2x =
解法2因为1()8f x -=，所以3(8)log (81)2x f ==+=
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年山东文科卷）已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图
象如图所示，则a b ，满足的关系是 （ ）
A ．101a b -<<<
B ．101b a -<<<
C ．101b a -<<<-
D ．1101a b --<<< 答案 A
解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。

由图易得1,a >101;a -∴<<取特殊点01log 0,a x y b =⇒-<=< 1
1log
log log 10,a
a a
b a
⇒-=<<=101a b -∴<<<. 2. (07山东)设⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数α
x y =的定义域为R 且为奇函
数的所有α的值
为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A
3.（2006年安徽卷）函数1()x y e x R +=∈的反函数是 （ ）
A ．1ln (0)y x x =+>
B ．1ln (0)y x x =->
C ．1ln (0)y x x =-->
D ．1ln (0)y x x =-+> 答案 D
解析 由1x y e +=得：x+1=lny ，即x=-1+lny,所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D 。

4.（2006年湖北卷）设2()lg 2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为 ( )
A ．(4,0)(0,4)-
B ．(4,1)(1,4)--
C ．(2,1)(1,2)--
D ．(4,2)(2,4)--
答案 B
x
解析 f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－22
x
2且－2
2x
2
解得－4x
－1或1x 4故选B 。

5.(07天津)设c b a ,,均为正数，且a a 2
1log 2=，b b
21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c
2log 21=⎪⎭⎫
⎝⎛.
则 （ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b << 答案 A 二、填空题
6.（2008年山东文科卷）已知2(3)4log 3233x f x =+，则
8(2)(4)(8)(2)f f f f +++
+
的值等于 ． 答案 2008
解析 本小题主要考查对数函数问题。

22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+
2()4log 233,f x x ⇒=+8(2)(4)(8)(2)f f f f ∴++++=
222282334(log 22log 23log 28log 2)186********.⨯++++
+=+=
7.(07山东)函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n
m 2
1+的最小值为 . 答案 8
8.（2006年辽宁卷）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
答案 1ln 2111
(())(ln )222
g g g e ===.
解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
9.(2006年重庆卷)设0,1a a >≠，函数2
lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式()2log 570a x x -+>的解集为 .
解析 设0,1a a >≠，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，∵
2lg(23)lg 2x x -+≥有最小值，∴ 0<a <1， 则不等式()
2log 570
a x x -+>的解为22570
571
x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得2<x <3，所以不等式的解集为()2,3.
10.（2005年上海2）方程0224=-+x x 的解是__________.
解析 0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x x x x x x 三、解答题
11.(07上海)已知函数()),0(2R a x x
a x x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；
（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

解析 （1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （
2
）
设
2
12≥>x x ，
()()2
2
212121x a x x a x x f x f -
-+
=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。

另解（导数法）：()2
2'x a
x x f -
=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-x
a
x ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒
成立，
故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。

第二部分 三年联考汇编 2009年联考题
一、选择题
1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数2x f x
的反函数
()1y f x -=的图象
是 （ ）
答案 A
2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间(1,)
+∞上为增函数的 是
（ ）
A ．21x y =-+
B ．1x
y x
=- C ．2(1)y x =--
D ．12
log (1)
y x =-
答案 B
3.（2009福建省）函数||log 2x y =的图象大致是 ( )
答案 C
4.（2009厦门集美中学）若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围
是 ( ) A.)1,0( B.)2,0( C.)2,1( D.),2(+∞ 答案 C
5.（2009岳阳一中第四次月考）函数lg ||
x y x
=的图象大致是
( )
答案 D 二、填空题
6.（2009泉州市）已知函数f(x)=,)0(,2)
0(log 2⎩
⎨
⎧≤>x x x x
若f(a)=2
1
.
答案 -12
7.（2009厦门十中）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意
两个()2121,x x x x ≠，
均有()()2121x x k x f x f -≤-成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件。

若函数()()1≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为_____。

答案
2
1
8.（2009中学第六次月考）定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -,已知函数
|log |)(2
1x x f =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 的长度的最
大值及最小值的差为 . 答案 3
9.(江西南昌新民外语学校09届高三第一次月考)函
数
2()f x =
的定义域
为 ． 答案 [3,)+∞ 三、解答题
10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
已知定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.
解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以
1,021,0)0(==++-=b a
b
f 解得即
从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a
a f f ++-
-=++---=11
2
141
2)1()1(知，解得2=a
（2）解法一：由（1）知,121
212
212)(1
++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等
式
0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-
因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而3
1
,0124-
<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,2
21
2)(1++-=+x x x f
又由题设条件得02
21
222121*********
<++-+++-+--+--k t k t t t t t
即0)12)(22()12)(22(2
222212212<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12232
>--k t t ，因底数2>1，故0232>--k t t
上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3
1,0124-<<+=∆k k 解得 14.（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212.
(1)求()x f 的单调区间;
(2)若当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∈1,11e e
x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,
求实数m 的取值范围;
(3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2在区间[]2,0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1
221112++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-
+='x x x x x x f . 1分
由()0>'x f 得0>x ; 2分
由()0
<'x f 得
1<<-x ,
3分
则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-.
4分
(2)令()(),0122=++=
'x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增,
6分
由,2111
2+=
⎪⎭⎫
⎝⎛-e e
f ()212-=-e e f ,且2122
2
+>-e
e ,
8分
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式
()m x f <恒成立.
9分
(3)方程(),2a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则
()1
1
121+-=
+-
='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分
所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解，
当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解.
13分
字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈ 时，方程无解；
]1,3ln 23(-∈a 或
a=2-2ln2时，方程有唯一解；
]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解.
14分
9月份更新 一、选择题
1.（2009聊城一模）已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上
的奇函数，
当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为
（ ）
答案 B
2.（2009临沂一模）已知函数f(x)=31()log 5
x x -，若x 0是方程f(x)=0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值为
A ．恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0 答案 A
3.（2009临沂一模）设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f(2x)=f(
1
4
x x ++)的所有x 之和为
A 、92
- B 、 72
- C 、－8 D 、8 答案 C
4.（2009青岛一模）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()
0f x f x x --<的解集为
A ．(10)(1)-+∞，，
B ．(1)(01)-∞-，，
C ．(1)(1)-∞-+∞，，
D ．(10)(01)-，， 答案 D
5.（2009日照一模）（6）函数32
()ln
2f x x
π=-的零点一定位于区间 A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 答案 A
6.（2009日照一模）（函数()y f x =的图象如右图所示，则函数
12
log ()
y f x =的图象大致是
答案 C
7.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)及x y e =互为反函数，函数y=g(x)的图像及y=f(x)图像关于x 轴对称，若g(a)=1,则实数a 值为 （A ）-e (B) 1e - (C) 1e
(D) e 答案 C
8.（2009枣庄一模）已知,]
1,0[,1)
0,1[,1)(2
⎩⎨
⎧∈+-∈+=x x x x x f 则关于右图中函数图象
的表述正确的是 （ ） A ．是)1(-x f 的图象
B ．是)(x f -的图象
C ．是|)(||)(|x f x f 或的图象
D ．以上说法都不对 答案 D 9.
（
2009
枣
庄一模）设函数
=-⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=))5)2
5
(((,)
2(12)21(3
)
1(12)(f f f x x x x x x f 则
（ ） A ．3 B ．4 C ．7
D ．9
答案 C 二、填空题
1.（2009青岛一模）定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值及最小值的差为_________. 答案 1
2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数2()f x x x =-，若
()()3log 1(2)f m f +<，则实数m 的取值范围是 。

答案 8(,8)9
-
3.（2009闵行三中模拟）若函数()y f x =的值域是1[,3]2
，则函数
1
()()()
F x f x f x =+
的值域是
答案 10
[2,]3
4.（2009上海普陀区）已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且　
，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1
x f
y -=的图像过点(3,4)，则a = .
答案 2
5.（2009上海十校联考）已知函数()f x =[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________．
答案 [][)0,19,+∞
6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设f x ()的反函数为1()f x -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211f x ()-+=， 则
x = ．
答案
1
2
三、解答题
1.（2009聊城一模）已知函数)1,,(2
3
)(23>+-=a b a b ax x x f 且为实数在区
间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。

（1）求)(x f 的解析式；
（2）若函数mx x f x g -=)()(在区间[－2，2]上为减函数，求实数m
的取值范围。

解：（1）,33)('2ax x x f -=
（2）,12)(23+-+=mx x x x g
.43)('2m x x x g --=
由[]上为减函数在2,2)(-x g ，
知[].2,20)('上恒成立在-∈≤x x g
⎩⎨
⎧≤≤-∴0)2('0)2('g g ， 即⎩
⎨⎧≤-≤-040
20m m .20≥∴m .20≥∴m m 的取值范围是实数
2.（2009临沂一模）设函数f(x)=x 2-mlnx,h(x)=x 2-x+a.
（I ）
当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围;
（II ）
当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围;
（III ）
是否存在实数m ，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由。

解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx ≥-x 即ln x m x ≤
记ln x
x
ϕ=
，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于min ()m x ϕ≤. [ ] [ ] .
1 2 ) ( .
3
4
, 2 2 3 ) 1 ( ),
1 ( ) 1 ( , 2
3
2 ) 1 ( , 2
3 ) 1 ( ,
1 ) 0 ( . 1 , 0 , 0 , 1 ) ( , 1 , , 0 , 0 ) ( '
2
3 2 1 上为减函数 在 上为增函数 在 得 令
+ - = ∴ = - = - = - ∴ < - ∴ - = - = - = = ∴ - ∴ > = = = x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f
求得2ln 1
'()ln x x x
ϕ-=
当(1,)x e ∈时;'()0x ϕ<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ϕ> 故()x ϕ在x=e 处取得极小值，也是最小值， 即min ()()x e e ϕϕ==，故m e ≤.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a ，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则2'()1g x x =-
当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x >
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。

故min ()(2)22ln 2g x g ==- 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a ≤g(3), 故a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=12
，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
2min
2'()2m x m
f x x x x
-=-=,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若0m ≤，则()'0f x ≥，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若0m >,由()'0f x >可得2x 2-m>0，解得
故0m >时，函数的单调递增区间为∞)
单调递减区间为(0,
)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,12
)，单调递增区间是(12
，+∞)
1
2
，解之得m=12即当m=12时，函数f(x)和函数h(x)在其
公共定义域上具有相同的单调性。

2007—2008年联考题
一、选择题
1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a ≠1，b ≠
1)，则函数f （x ）=a x 及g(x)=b x 的图象
（ ）
A ．关于直线y=x 对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于原点对称
答案 C
解析 取满足2
1
21lg lg ===+b a b a ，则的特殊值可得答案C.
2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f （x ）
= log a x 的图象及其反函数y=f -1（x ）的图象 （ ） A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D
3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数
||1)(x x
x f +=(x ∈R )，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x 1≠x 2，则一定有
f(x 1)≠f(x 2)；
丙：若规定))(()(,)()(1
1
x f f x f x f x f n n
-==，|
|1)(x n x
x f n
+=对任意∈n N *恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
答案 D 二、填空题
4.（2008年高考数学各校月考试题）已知函数x
x f )2
1()(=的图象及函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令|),|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题:
①)(x h 的图象关于原点对称； ②)(x h 为偶函数； ③)(x h 的最小值为0；
④)(x h 在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为 （注：将所有正确．．命题的序号都填上）
答案 ②③
5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象
经过点1(2,
)8
--，则
满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13
三、解答题
6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数
2lg )2lg()(2-++=x x x f
(1)判断函数)(x f 的奇偶性。

(2)判断函数)(x f 的单调性。

解 （1）2lg 22lg
2lg )2lg()(2
2-++=-++-=-x
x x x x f
=)()2lg(2lg 2x f x x -=++- ∴)(x f 为奇函数
（2）)(x f 是R 上的增函数，（证明略）
7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的
x ∈R ，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)
(1
)(x f x f =
- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)
(1
)(>-=
x f x f 又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x ∈R ，f(x)>0
(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴
1)()()()
()
(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增
∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3
8.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数
1010()2
x x y x R --=∈
（1）求反函数1()y f x -=
（2）判断1()y f x -=是奇函数还是偶函数并证明。

解 （1）令10x t =则0t > ∵t 2-2yt-1=0 ∴t=y+
12+y ∵10x =y+
12+y ∴f -1(x)=lg(x+
12+x )(x ∈R )
（2）1()lg(f x x --=- =1
1lg
2
++x x =-lg(x+
12+x )=-f
-1
(x)
1()f x -∴为奇函数。