求二元函数极限的几种方法

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<,

则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0

lim ()P P P D

f P A →∈=.

上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则

0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →=.

例1 求2

(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2

(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以

12

212

2lim (,)

lim(2)

12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=

例2 求极限()()2

21,1,21

lim

y x y x +→．

解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

()()221,1,21lim

y x y x +→=31

．

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求

00

x y →→

解：

00

x y →→

00

x y →→=

00

x y →→=

00

1.

4

x y →→==-例4 ()()

2

2

220,0,321

)31)(21(lim

y

x y x y x +-++→．

解： 原式()()

(

)

)

()

()

,0,02

211lim

231x y x

y →+=

+

()(

22

,0,0lim

x y →=

+

11022

=

+=．

2.3 利用等价无穷小代换

一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的

等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,)

1cos (,)2

u x y u x y -:；

[]ln 1(,)(,)u x y u x y +:；tan (,)(,)u x y u x y :；arcsin (,)(,)u x y u x y :；

arctan (,)(,)u x y u x y :

(,)

1u x y n

:

；(,)1(,)u x y e u x y -:；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. 例5 求

00

x y →→

解： 当 0x →，0y →时，有0x y +→

1

1()2

x y +:

，所以

00

00

1

()

2

lim 1.2

x y x y x y x y →→→→+=+=

这个例子也可以用恒等变形法计算，如：

00

00

00

1.2

x y x y x y →→→→→→===

2.4 利用两个重要极限

(,)0sin (,)lim 1(,)

u x y u x y u x y →=，[]1

(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.

例6 求极限 21lim(1)x x y

x y a

xy

+→∞

→+

.

解： 先把已知极限化为

2

2

()

1

1lim(1)lim (1)x x xy x y xy x y

x x y a

y a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣

⎦，而 211

lim

lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y a

y x

→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,

0xy xy →∞→，所以 1

lim(1).xy x y a

e xy →∞→+=

故原式=2()

11lim (1).

x xy x y xy x

y a a

xy e +→∞→⎡⎤

+⎢⎥⎣

⎦=

例7 求 0sin()

lim

x y a

xy x →→极限.

解： 因为

sin()sin()

.xy xy y x xy

=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()

1xy xy

→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()

lim

lim .lim .lim .x x y a xy y a y a

xy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .

这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy :.