第五章齿轮机构

c = c*m = hf − ha = (ha* + c* )m − ha*m
齿侧隙：节圆齿间与相啮合齿轮齿厚之差
s1 = e1 = s2 = e2 = πm 2
若节圆与分度圆不重合，称为实际中心距 a′
a′cosα′ = a cosα
齿轮传动的中心距
1.中心距
标准中心距
a = r1 + r2
实际(安装）中心距 a′ = r1′+ r2′
r2′
基本概念(续)
c)由 a′ = r1′+ r2′ = (rb1 + rb2 ) cosα′ 知，a变，节圆
变，α′也变；a一定，则 α′ 也一定，作用力方向始
终不变，传动平稳，又一优点 2. 渐开线齿轮与齿条传动
db → ∞, 圆→ 直线，齿轮→ 齿条,渐开线齿廓→ 直线齿廓
特点：1）压力角恒为定值α ，称为齿形角或刀具
pb
计算公式
d = mz
db = d cosα
ha = ha*m
hf = (ha* + c* )m
h = ha + hf = (2ha* + c*)m
da = d + 2ha = (z + 2ha*)m
df = d − 2hf = (z − 2ha* − 2c*)m
p =πm
s = πm 2 e =πm 2 pb = p cosα
•法向作用力方向恒定
公法线始终不变
（3）基本概念 •节圆 •节线（pitch line)：过节点P的一条直线。 与节圆相切。节线与节圆作纯滚动 •分度圆：齿条与齿轮啮合时固定不变的节圆
• 啮合角：啮合线N1N2与节圆切线之间的 夹角。
α′ = 齿条的齿廓角（刀具角）α = 齿轮分度圆上的压力角arccos rb
齿轮与齿条啮合特点
齿轮与齿条啮合时，啮合线
N1N2垂直于齿条的齿廓且与齿轮
的基圆相切,啮合角α ′ = α = 20，o
啮合线是定直线。
①标准安装 齿轮分度圆与齿条中 线相切，齿轮分度圆与节圆重合、 齿条中线与齿轮节线重合。 ②非标准安装 齿轮分度圆与齿条 中线分离xm，齿轮分度圆依然与节 圆重合、齿条中线与齿轮节圆不再 重合，相离xm 。
渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸计算
标准齿轮：具有标准模数、标准压力角、标准齿顶高系数、标准顶系系 数并且分度圆上的齿厚等于分度圆上的齿槽宽的齿轮
名称 分度圆直径 基圆直径 齿顶高 齿根高 齿高 齿顶圆直径
齿根圆直径 齿距 齿厚 齿槽宽
基圆齿距（法向齿距）
符号
d db ha
hf
h
da
df p
s e
5-6 渐开线齿轮齿廓的切制（续）
二、成形法（仿形法）
•常用刀具 盘状铣刀、指状铣刀 •运动形式
刀具旋转，轮坯沿齿轮轴线方向移 动，且铣完一个齿槽后，轮坯转
过2π / z，再铣下一个齿槽
在生产实际中，加工m、a相同的齿轮，根据不同的齿 数范围，一般只备有1至8号八把齿轮铣刀，各号铣刀 加工齿轮的齿数范围见表
角 2）任一齿厚上的齿距p相等，p=常数
齿条的结构及其特点
当齿轮齿数无穷多
分度圆 齿顶圆 齿根圆 基圆 渐开线
中线 齿顶线 齿根线 无穷大 直线
作直线运动的齿条
压力角 齿距 法节 齿顶高 齿根高
α = 20o
p = πm pb = πmcosα
h f = (ha* + c* )m ha= ha*m
3.重合度计算公式
(其中 α a由下面公式计算 cos α a = rb ra )
ε = B1B2 = B1C + CB2
pb
pb
= B1N1 − CN1 + B2N2 − CN2
pb
pb
=
z1 2π
(tanαa1
−
tanα ′)
+
z2 2π
(tanαa2
−
tanα ′)
图解法 线段B1B2长 直接量出
轮
斜 齿 锥 齿 轮
曲 齿 锥 齿 轮
直 齿 锥 齿 轮
§5-2 齿轮的齿廓曲线
一、齿廓啮合的基本定律 （即齿廓实现定角速比传动的条件）
VP12 =ω1⋅O1C=ω2 ⋅O2C
i12
=i=
ω1 ω2
=
O 2C O 1C
讨论：
（1）若 i = cons，t 则点C必为定点（因为O1O2不 变，点C变，则传动比i变），此时点C（为相对 速度瞬心）在二齿轮上的轨迹（称为相对瞬心 线—相对瞬心走过的轨迹）为圆，称为节圆 （pitch circle），点C称为节点（pitch point）。
中心距改变，节点C位置改变，基圆内 公切线位置亦改变，但基圆半径大小 不变
可分性插图
•可分性（续）
•齿轮传动过程中，渐开线齿廓之间的法向作用 力方向始终不变。
任意位置啮合，接触点公法线为同一条直线N1N2
（3）基本概念
•节圆 过节点所作的圆，其线速度相等，互 相纯滚。a变时，C点变，节圆大小变，但比
cos α K
=
OB OK
=
rb rK
4.渐开线形状取决于基圆的大小。
rb ↑ rb → ∞
ρ = BK ↑
ρ → ∞ 渐开线变为直线，为
渐开线齿条的齿廓
5. 基圆内无渐开线
渐开线形成插图
θK
•渐开线方程
rK = rb / cosαK （
tanαK
=
BK rb
=
AB rb
=αK
+θK
θK = invαK = tanαK −αK
1．轮齿的啮合过程
啮合起始点 B2 ：从动轮齿顶圆与啮合线N1N2 交点。 啮合结束点 B1 ：主动轮齿顶圆与啮合线 N1N2 交点。
实际啮合线 B1B2 ：啮合点实际走过的轨迹 理论啮合线 N1N2 ：理论上最长的啮合线。
2．连续传动条件
B1 B2
≥
pb或 ε
=
B1 B2 pb
≥1
ε 表征啮合线上同时参与啮合的轮齿的对数，称为重合度。
=m
=α
正确啮合条件：两齿轮的模数和压力角必须分 别相等
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传动比
i
= i12
= ω1 ω2
=
d
' 2
d1'
=
db2 db1
=
d2 d1
=
z2 z1
二、标准中心距a
分度圆相切时的中心距（节圆与分度圆重合）
a
=
r1'
+ r2'
=
r1
+
r2
=
m 2
( z1
+
z2 )
一对标准齿轮按标准中心距 安装时，其顶隙c可保证为标 准值，同时亦可保证无齿侧 间隙的要求。
定义 p π 为标准值，称为模数（module）。
m= p π
（分度圆上的）压力角 α 为标准值。
轮
模数m是决定齿轮尺寸的一个基本参数，压力角 是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数。
α大，传力差，但牙齿变粗，因此对强度好 m变大，齿距p变大，故牙齿变粗，强度提高
分度圆 d = mz
基圆
db = d cosα
值 r2′ r1′ = rb2 rb1 = i 保持不变
啮合线 齿廓啮合点走过的轨迹，即基圆内公 切线N1N2
啮合角α′ 齿廓接触点公法线与节点速度方向
之间的夹角
a) 啮合线N1N2与节圆切线之间的夹角 b）大小等于渐开线在节圆上的压力角
α′ = arccos rb1 = arccos rb2
r1′
•二节圆纯滚动 •单个齿轮不存在节圆
（2）若i ≠ const，则点C不可能为定点（因为 O1O2不变，传动比i变，则点C变），相对瞬心 线不为圆，为某种曲线，称为节线（节曲线， pitch curve），仍然相对滚动，为非圆齿轮， 如椭圆齿轮机构等。
二、齿廓曲线的选择
•渐开线—300多年，便于制造、安装、测量、互换
但 s + e = p = πm
5-4 渐开线标准齿轮（续）
标准参数 m ,α , ha* , c*
•齿顶高 ha = ha*m •齿根高 hf = (ha* + c*)m •齿全高 h = ha + hf = (2ha* + c*)m •齿顶圆直径 da = d + 2ha = (z + 2ha*)m •齿根圆直径 da = d − 2hf = (z − 2ha* − 2c*)m
pb = p cosα
保证渐开线齿轮连续传动 的条件
ε = B1B2 ≥ 1
pb
§5-6 渐开线齿轮齿廓的切制
加工方法：
铸造法、热扎法、冲压法、模锻法、粉末冶金法、 切制法。其中切制法最常用
一、基本原理
1.仿形法(Form Cutting)
几何
几何形状
2.范成法(Generating)
运动
几何形状
r
α α
§5-4 渐开线标准齿轮
一、齿轮的标准
螺纹 标准参数：螺距p和牙型角α
齿条 标准化：齿距p和牙型角 — 基齿条
分度圆与齿条上的某一条节线纯滚，其齿距 必等于齿条的齿距，压力角也等于齿型角。 故齿轮上唯有分度圆上齿距与压力角为标准 值，其它圆上参数为非标准值。
若取齿距p为标准，则 πd = p ⋅ z ，d为无理数。
a′cosα ′ = a cosα
2.正确安装条件：
①无侧隙啮合
处于实际啮合线段范围内的轮齿的两侧 同时处于啮合状态（如图）。
②标准顶隙
顶隙即为一个齿轮的齿顶与另一个齿轮
的齿根间的空隙，其标准值为 c*m 。
结论：一对标准齿轮，按标准中心距安装，
节圆与分度圆 重合，满足正确安装条件。
三、重合度（contact ratio)—渐开线齿轮的连续传动条件
二、渐开线齿廓的啮合特性
1．渐开线齿轮传动 (1)满足定传动比（证明C点为定点) 公法线即为内公切线，O1、O2点为定点，内 切线唯一一条
(2)特性
•可分性—若中心距变化，而传动比不变，此 性质称为可分性
i12
=i
=
O2C O1C
=
r2′ r1′
=
rb 2 rb1
i′ = O2C′ = rC′′2 = rb2 = i O1C′ rC′′1 rb1
（由 rb
=
rk
/
cosα
求得）
k
基圆上的齿距 pb pb = p cosα （由 πd = pz, πdb = pb z 求得）
（分度圆上的）齿距p p = πm
二、渐开线标准齿轮各部分尺寸
•标准齿轮： 具有标准参数、分度圆上齿厚s=齿槽宽e的齿轮
s = e = p 2 = πm 2
•变位齿轮： 具有标准参数、分度圆上齿厚s ≠ 齿槽宽e的齿轮
第五章 齿轮机构及其设计
•直齿渐开线齿轮的啮合特性 •斜齿渐开线齿轮的基本参数
§5-1 特点与分类
•特点
速度、功率范围广；效率高；传动比稳 定；寿命较长；工作可靠性较高；传递任 意两轴间的运动和动力制造和安装精度要 求较高；成本较高；传动距离不宜过大 •分类
•两轴平行—圆柱齿轮机构（直齿、斜齿、人 字齿）
渐开线齿轮与齿条传动（续）
（1）满足定传动比
接触点的公法线切于齿轮基圆且垂直于齿 条齿廓，此直线也是唯一的，交连心线于 一定点P，满足定传动比要求
v = vP = OP ⋅ω = OP = r′ = const ωω ω
（2）特性 •可分性 齿条相对位置改变时，齿条位置 始终与原始位置平行，公法线始终不变，P 点为一定点，速比不变
•两轴不平行—空间齿轮机构（相交、交错）
分类
平面齿轮传动 （两轴平形）
圆柱齿轮传动
直齿
斜齿 人字齿轮
外啮合 内啮合
齿轮齿条 直齿
两轴相交 圆锥齿轮传动 斜齿
空间齿轮传动 （两轴不平形）
两轴交错
蜗杆传动
曲齿
交错轴斜齿轮传动
外
内
齿
啮
啮
轮
合
合
齿
直
直
条
齿
齿
外
外
啮
啮
合
合
斜
人
齿
字
齿
蜗 杆 传 动
交 错 轴 斜 齿
§5-5 渐开线标准齿轮的啮合
一、正确啮合条件 两齿轮的相邻两 齿同侧齿廓间的 法向齿距应相等
K1K1' = K2K2'
法向齿距=基圆上的齿距
pn = pb = p cosα = πm cosα
由 pb1 = pb2 得正确啮合条件
m1 cosα1 = m2 cosα2
故
⎩⎨⎧αm11
= m2
= α2
(
§5-3 渐开线齿廓的啮合特性
一、渐开线（involute）的形成和特性
1. BK=AB
2. B点为速度瞬心点。BK为渐开线上K点 的法线，线段BK为该点的曲率半径，B点 为曲率中心。渐开线上任意一点的法线 必与基圆相切，或者说，基圆的切线必 为渐开线上某一点的法线
3．渐开线齿廓上某点的法线与该点速度方向 之间的锐角,称为压力角
铣刀号 齿数范围
1
2
3
4
5
6
7
8
12~13 14~16 17~20 21~25 26~34 35~54 55~134 ≥135
每一号铣刀的齿形是按所加工一组齿轮中齿数最少的齿轮齿形制 成的，故用此铣刀加工同组其它齿数的齿轮时，其齿形是有误差 的。
由上看出，仿形法加工齿轮的精度较低，且加工不连续，生产
率低。但由于它可以在普通铣床上加工，因此在修配或小批量且 对齿轮精度要求不高时，仍可采用仿形法加工。
•摆线—钟表、仪表中应用；啮合齿面一凹一凸，接 触应力小，重合度 较大；无根切现象；机构紧凑； 安装精度要求高；精度要求较高，但制造却不易精确
•圆弧—强度较渐开线齿廓高1.5~2倍；安 装精度要求高,无可分性；轴向尺寸较大
•抛物线—良好的抗磨损性能；根切的最 少齿数可为3；强度高；加工复杂；安装 精度要求高