7.2正项级数敛散性的判别

∞
∞ 1 ∞ 1 1 p 的特例！ 级数∑ 和∑ 2 均为 - 级数∑ p的特例！ n=1 n n=1 n n=1 n
∞
∑
n=1
∞
1 n
∑
n=1
∞
1 n
5 4
例 判 断级 数 ∑
∞
的敛 散性 . n =1 n ( n + 1) ∞ 1 1 1 解： ∵ < 2 且∑ 2 收敛 , 2 n n ( n + 1) n =1 n
推论 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都 是 正 项 级 数 , 且 存 在 常 数 c 和 自 然 数 N ,
n =1 n=1
∞
∞
使 得 当 n > N 时 , 有 u n ≤ cv n , 则
收敛时， （1 当 ∑ v n 收敛时，∑ u n 收敛 ; ） 发散时， （2 当 ∑ u n 发散时，∑ v n 发散 . ）
1 sin n = 1, 而级数 ∞ 1 发散 , lim ∑n n→ ∞ 1 n =1 n
5n − 1 2 5n 2 − n 解 因为 lim n − 2n + 3 = lim 2 n →∞ n →∞ n − 2n + 3 1 n 1 5− ∞ 1 n = lim 而 级数 ∑ 发 散, =5 n →∞ 1 3 n =1 n 1− 2 + 2 n n
n =1
lim 不存在， {S n }无 上 界 ，lim S n＝＋ ∞ ，→ ∞ S n 不存在， un 发散。 ∑ 发散。 n→ ∞ n
→∞ →∞ n =1
∞
an 例 设 a n > 0, ( n = 1, 2,⋯), 证 明 级 数 ∑ 收敛. n = 1 (1 + a1 )(1 + a 2 ) ⋯ (1 + a n )
⇐ 证： ） S n + 1 = S n + u n ≥ S n + 0 = S n
{S n }是单调递增数列，而已 知{S n }有上界 是单调递增数列，
根据单调有界数列必有极限： Sn 存在。 lim
( {S ⇒ ）考 虑 逆 否 命 题 ： n }无 上 界 ⇒ ∑ un发 散 )
n→∞ →∞ ∞
1
2 3 4
2 dx 1 <∫ p p 1 x 2 3 dx 1 <∫ p p 2 x 3
x
1 1 1 即S n 有上界, = 1+ 1 − n p −1 < 1 + p−1 p−1
则p − 级数收敛 .
P-级数的结论(记住!) 级数的结论(记住!)
1 当p > 1时, 收敛 p − 级数: ∑ p 当 时 n=1 n p ≤ 1 , 发散
复习
1、常数项级数敛散性判断： 、常数项级数敛散性判断： 1)计算部分和： sn = u1 + u2 + ⋯ un 计算部分和：
存在，则 ∑ un收敛 存在， 2)计算极限 lim sn n→ ∞ 不存在，则 ∑ un发散 不存在，
2、常数项级数发散的判断方法： 、常数项级数发散的判断方法：
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
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1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
事实上,∵
∞
ln n n
>
1 n
( n ≥ 3),
ln n 1 > ( n ≥ 3) n n
∞ 1 ∞ 1 ln n ∞ ln n ,∑ 且∑ , ∑ 发散, ∴ ∑ 发散 . n n n =1 n n =1 n =1 n n =1
ln n ∑ n2 n =1
ln n n2 = lim n →∞ 1 n2
而∑
n =1
∞
1
收敛 , ∴ ∑ 3
n2
ln n 收敛 . 2 n =1 n
∞
ln n 敛散性。 例：用比较判别法或其极限形式判断 ∑ p 敛散性。 n =1 n ln n 1 1 解：当p ≤ 1时, p ≥ p ( n ≥ 3), 而∑ p 发散， 发散， n n n
n =1 ∞
注：大多数常数项级数的敛散性判别问题，都可以归结 大多数常数项级数的敛散性判别问题， 正项级数的敛散性判别问题！ 为正项级数的敛散性判别问题！
正项级数收敛的充要条件
数 正项级∞ 收敛 ⇔部分和数列 {Sn }有上界.
分析： 分析： un 收敛，即 lim S n 存在 ∑ 收敛，
n =1 n→∞
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
1 5− ∞ n ∴ 级数∑ 发散. 1 3 n =1 1− 2 + 2 n n
5n − 1 例 判定级数∑ 2 的收敛性. n =1 n − 2n + 3
∞
n 例 判定级数∑ 2 的收敛性. n =1 3 n − 1
∞
解 因为
n 3 2 3n 2 − 1 = lim n ⋅ n lim n →∞ n →∞ 3n 2 − 1 1 n
n =1
∞
∞
注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。 大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。 比较判别法在使用时， 注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系 从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不 第一项开始就要满足， 开始就要满足 满足而从某一项开始满足， 满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论 某一项开始满足
2
1
所以原级数收敛 .
1 例 判断 级数 ∑ 的敛 散性 . n =1 ln( n + 1) 1 1 解： ∵ > ln( n + 1) n + 1 所 以原级 数发散 .
1 且∑ 发散, n =1 n + 1
∞
∞
n 例 判 断级 数 ∑ 的 敛散 性. n =1 2n + 1 n n n ∞ 1 n <1 解： ∵ 且∑ 收敛 , 2 2n + 1 n =1 2
y=
1 ( p > 1) xp
1 1 1 1 Sn = 1 + p + p + p + ⋯ + p o 2 3 4 n 2 1 3 1 n 1 dx < 1 + ∫ p dx + ∫ p dx + ⋯ + ∫ 1 x 2 x n −1 x p n 1 1 1 n = 1 + ∫ p dx = 1 + 1 x 1 − p x p −1 1
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
∞ 1 1 1 1 1 例 讨 论 p − 级 数1 + p + p + p + ⋯ + p + ⋯ = ∑ p 的 敛 散 性 . ( p > 0) 2 3 4 n y n =1 n 1 1 解 当 p ≤ 1, ∵ p ≥ , 则 p − 级数发散 . n n
n dx 1 当 p > 1, p < ∫n−1 p n x
n
3n
3n
1 ∵ ∑ n 收敛 , n =1 3
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
1 的敛散性。 例 判定级数 ∑ 1 + a n , a > 0 的敛散性。 n =1 1 解 2 ,a = 1 1 n an ∵ lim a + 1 = lim n = 1, a > 1 n →∞ 1 0, a < 1 n→ ∞ a + 1 an
证 明 ：显 然 ， 该 级 数 为 正 项 级 数 .
∞
∵ Sn =
an a1 a2 + + (1 + a1 ) (1 + a1 )(1 + a 2 ) (1 + a1 )(1 + a 2 )⋯ (1 + a n ) 1 1 1 + − + ⋯⋯ (1 + a1 ) (1 + a1 ) (1 + a1 )(1 + a2 )
所以原级数收敛 .
∞
n
例 判 断级 数 ∑
n =1
4
∞
(
n 4 + 1 - n 4 − 1 的 敛 散性 .
4
)
解： ∵ n + 1 - n − 1 =
2 n4 + 1 + n4 − 1 ∞ 2 且∑ 2 收敛 , n =1 n
≤
2 ≤ 2 4 n n +1
2
所 以原级 数收敛 .
三、比较判别法的极限形式
∞
解 因为
∞
1 ln(1 + ) ∞ n = 1, 而级数 1 发散 , 解 因为 lim ∑n n →∞ 1 n =1 n
1 ∴ 级 数 ∑ ln(1 + ) 发 散 . n n =1
∞
1 ∴ 级 数 ∑ sin 发 散 . n n =1 ∞ 1 例 判 定 级 数 ∑ ln(1 + ) 的 收 敛 性 . n n =1
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
对欲求级数进行 放大应放大为收 收 敛级数. 敛级数.
敛散性已知的级数,如p级数， 级数， 级数 几何级数，调和级数等. 几何级数，调和级数
1)若 lim un ≠ 0, 则级数 ∑ un发散。 发散。
n→ ∞
2)若 ∑ un收敛， v n发散，则 ∑ ( un + v n )发散。 收敛， 发散， 发散。 ∑
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 如果加括弧后所成的级数发散
均为正项级数， 定理(比较判别法) 定理(比较判别法)设 ∑ un和 ∑ v n均为正项级数， un ≤ vn (n = 1, 2,⋯ , ) 且
发散, 发散. 收敛, 收敛;反之, 若 ∑vn 收敛,则 ∑un 收敛 反之,若 ∑un 发散,则 ∑vn 发散.
n=1 n=1
n=1 n=1
∞
∞
∞
∞
n =1
= 1−
+
1 1 − (1 + a1 )(1 + a 2 )⋯ (1 + an −1 ) (1 + a1 )(1 + a 2 )⋯ (1 + a n )
1 = 1− < 1 ∴ { S n }有 界 . (1 + a1 )(1 + a 2 )⋯ (1 + a n )
从而原级数收敛 .
二、比较判别法
定理(比较判别法的极限形式) 定理(比较判别法的极限形式)
设∑ un与∑ν n 均为正项级数, 且有 lim
n =1 n =1
∞ ∞
∞
∞
n →∞
(1)若0 < l < +∞ ,则级数∑ un与∑ν n同时收敛或发散
( 2)若l = 0, 且∑ν n收敛 , 则∑ un收敛;
( 3)若l = +∞ , 且∑ν n发散, 则∑ un发散
∞
1 当a > 1时， ∑ n 收敛， 原级数收敛， ∵ ∴ 原级数收敛， n =1 a ∞ 1 ∴ 原级数发散， 当a = 1时，∑ n 发散， 原级数发散， n =1 a 1 ∵ 当a < 1时， lim n = 1 ≠ 0 ∴ 原级数发散。 原级数发散。 n→ ∞ a + 1
∞
ln n ∑ n n =1
n =1 ∞ n =1 ∞ ∞
νn
un
= l,则
n =1
∞
n =1
一般是判断∑ un的敛散性, 选择合适的级数∑ vn 使用该判别法.
n =1
n =1
∞
n =1
n =1
∞
∞ ∞ 1 1 p-级 调和级数∑ ， 级数∑ p， 何级数∑aqn . p几 n=1 n n=1 n n=1
∞
1 例 判 定 级 数 ∑ sin 的 收 敛 性 . n n =1
∞
∑
n =1
∞
ln n n
ln n ∑ n2 n =1
∞
ln n ∞ ∞ 1 ln n n = lim ln n = ∞ lim ∑ n发散, ∴ ∑ n 发散. n →∞ 1 n →∞ n =1 n =1 n ln n ∞ ∞ 1 ln n n = lim ln n = ∞ 发散,∴ ∑ lim 发散 . ∑ n n →∞ n →∞ 1 n =1 n n =1 n