第4章 运输问题和指派问题

表4-4 各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生产能力（台） 单位成本（万元）
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，除了采用第 3章的方法外，还可以转化为运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。 则第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成 本cij为：
表4-1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型
m
n
ai bj
i 1
j 1
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
mn
Min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai
(i 1, 2,
, m) (产量约束)
j 1
m
s.t. xij bj ( j 1, 2, , n) (销量约束)
i1
xij
0
(i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, n)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
工厂1 工厂2 工厂3 需求量
表4-7 产品生产的有关数据
单位成本（元）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
产品1
产品2
产品3
41
27
28
40
29
－
37
30
27
20
30
30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
4.3 各种变形的运输问题建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件x23＝0 ；并 且，总供应（75+75+4 5=195）>总需求（20+ 30+30+40=120）。 其数学模型如下：
要求科学地组织货源、运输和配送使得运输 问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是 实现现有资源的最优化配置。
4.1 运输问题基本概念
一般的运输问题就是解决如何把某种产品从若干个产地调 运到若干个销地，在每个产地的供应量和每个销地的需求 量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定 一个使得总的运输费用最小的方案。
（2）目标函数
本M问题in的z目标是3使x得11总运1输1费x1最2 小 3x13 10x14
x21 9x22 2x23 8x24
7 x31 4x32 10x33 5x34
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（3）约束条件
①满足产地产量（3个产地的产品 都要全部配送出去）
②满足销地销量（4个销地的产品 都要全部得到满足）
x12
x22
x32
6
x13
x23
x33
5
x14 x24 x34 6
xij
0(i
1, 2, 3;
j
1, 2, 3, 4)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作业 法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”工具还是采用 “单纯形法”来求解。
4.1 运输问题基本概念
例4.1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每 日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分 别运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销 量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点 的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些 产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少 ？
11.30x44
x11
x12 x22
x13 x23
x14 x24
25 35
x33 x34 30
s.t.
x11
x44 10 10
x12
x22
15
x13 x23 x33
25
x14
x24
x34
x44
20
xij 0 (i, j 1, 2, 3, 4; i j)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型 例4.2的电子表格模型
例4.1的电子表格模型
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性质（整数解性质），只要它的供应量和需求量 都是整数，任何有可行解的运输问题必然有所有决策变量都是整数的最优解。因此， 没有必要加上所有变量都是整数的约束条件。
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单位，如果卡车不能装满的话，就很不经济了。 整数解性质就避免了运输量（运输方案）为小数的麻烦。
平衡指派问题（总人数等于总任务数）
指派问题 数学模型和电子表格模型
各种变形的建模
4.1 运输问题基本概念
运输问题最初起源于人们在日常生活中把某 些物品或人们自身从一些地方转移到另一些 地方，要求所采用的运输路线或运输方案是 最经济或成本最低的，这就成为了一个运筹 学问题。
随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展 ，如何充分利用时间、信息、仓储、配送和 联运体系创造更多的价值，向运筹学提出了 更高的挑战。
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（2）产大于销（供过于求）运输问题的数学模型 （以满足小的销量为准）
mn
Min z
cij xi j
i1 j 1
m
n
ai bj
i 1
j 1
n
xij ai
(i 1, 2,
, m)
(产量约束)
j1
m
s.t. xij bj ( j 1, 2, , n) (销量约束)
设xij为工厂i生产产品j 的数量
Min z 41x11 27x12 28x13 24x14
(产量约束)
j1
m
s.t. xij bj ( j 1, 2, , n) (销量约束)
i1
xij
0
(i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, n)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
例4.2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提 供10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该 厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表4 -4所示。如果生产出来的柴油机当季不交货的，每 台每积压一个季度需储存、维护等费用1500元。要 求在完成合同的情况下，做出使该厂全年生产（包 括储存、维护）费用最小的决策。
29
22
45
销量
53
36
65 （销大于产）
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：由表4-6知，总产量为78+45=123，总销量为53 +36+65=154，销大于产(供不应求)。数学模型如下：
设xij为产地Ai运往销地Bj的物品数量
Min z 13x11 15x12 12x13 11x21 29x22 22x23
x11 x12 x13 78 (产地A1)
x21
x22
x23
45
(产地A2 )
s.t.
x11 x12
x21 x22
53 36
(销地B1) (销地B2 )
x13
x23
65
(销地B3 )
xij 0(i 1, 2; j 1, 2, 3)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型 例4.3的电子表格模型
i1
xij
0
(i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, n)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（3）销大于产（供不应求）运输问题的数学模型 （以满足小的产量为准）
mn
Min z
cij xi j
i1 j 1
m
n
ai bj
i 1
j 1
n
xij ai
(i 1, 2,
, m)
+20=70，因此是产大于销的运输问题。
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
该生产与 储存问题 （转化为 产大于销 的运输问 题）的数 学模型为
Min z 10.80x11 10.95x12 11.10x13 11.25x14
11.10x22 11.25x23 11.40x24
11.00x33 11.15x34
表4-5 柴油机生产的相关数据
1 2 3 4 需求量
1 10.8
10
2 10.95 11.10
15
3 11.10 11.25 11.00
25
4
11.25 11.40 11.15 11.30
20
生产能力
25 35 30 10
由表4-5可知，总产量（生产能力）为25+35+ 30+10=100，总销量（需求量）为10+15+25
③非负
Min z 3x11 11x12 3x13 10x14
x21 9x22 2x23 8x24
7 x31 4x32 10x33 5x34
x11 x12 x13 x14 7
x21
x22
x23
x24
4
x31
x32
x33
x34
9
s.t.
x11 x21 x31 3
cij=第i季度每台的生产成本+0.15(j-i)（储存、维护等费用）
把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表4-5。
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
型 • 4.3 各种变形的运输问题建模 • 4.4 运输问题应用举例 • 4.5 指派问题 • 4.6 各种变形的指派问题建模
本章主要内容框架图
产销平衡（总产量等于总销量）
产大于销（总产量大于总销量）
销大于产（总产量小于总销量）
运输问题和指派问题
运输问题
数学模型和电子表格模型 各种变形的建模 应用举例
对于例4.1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四 个销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由 于总产量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题 。
(1)决策变量 设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4)
4.3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征： （1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出 发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目 的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在 这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 （4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0） 。 （5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最 小。（Min－> Max）
4.3 各种变形的运输问题建模
例4.4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。 每单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任 意种产品的数量来衡量（见表4-7的最右列）。而每种产品每天有一定 的需求量（见表4-7的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除 了工厂2不能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本 是有差异的（如表4-7所示）。
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销 地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表4-6所示。问应如何调运，可使得总运输 费最小？
表4-6 例4.3的运输费用表
B1
B2
B3
产量
A1
13
15
12
78
A2
11
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第4章 运输问题和指派问题 The Transportation and Assignment Problems
本章内容要点
运输问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
指派问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
本章节内容
• 4.1 运输问题基本概念 • 4.2 运输问题数学模型和电子表格模
平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求 量（销量）和单位成本。
2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量 都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的 需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需求 ”。
3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本 与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成 本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。