组合数学讲义.ppt
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9
• Brualdi的乘法原理表述：令S是元素的序偶(a,b)的集合， 其中第一个元素a来自大小为p的一个集合， 而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。 于是，S的大小为p×q，即S= p×q。
• Brualdi的加法原理表述：设集合S划分为部分S1、S2、…… Sm，则S的元素的个数可以通过找出它的每一个部分的元素 个数来确定，即有S=S1+S2+ …… +Sm (S有穷)
∴ According to the Addition Principle, A=(A∩B)∪(A–B)=A∩B+A–B
∴ A – B=A–A∩B
4
A∪B=A+B–A∩B
Proof: (A–B)∪B = (A∩B)∪B = (A∪B) ∩ (B∪B) = (A∪B)∩E= (A∪B) (A–B)∩B = (A∩B)∩B = A∩(B∩B) = Φ.
∴ According to the Addition Principle, A⊕B= (A–B)∪(B–A)= A–B+B–A=A+B– 2A∩B
(∵A – B=A–A∩B, B–A=B–A∩B)
6
A∩B≤ min{A,B}
FromA–B=A–A∩B, we obtain
A∩B=A–A – B ∴ A∩B≤A.
k1+k2+ … + ki + … +kn。
加法原理/和则总结: A、B为两个有限不交集，则有： A∪B=A+B. 同时还成立下列公式:
A – B=A–A∩B,
A∪B=A+B–A∩B,
A⊕B=A+B–2A∩B
A ∩ B ≤ min{A,B},
8
乘法原理（积则）
• 若某个事件可以分n步来完成，第一步有k1种方法可选， 第二步有k2种方法可选，……，第n步有kn种方法可选， 则完成此事件的方法总数为k1×k2 × …… × kn 。
Generally,we have: A – B=A–A∩B, A∪B=A+B–A∩B, A⊕B=A+B–2A∩B A ∩ B ≤ min{A,B},
3
A – B=A–A∩B
Proof: (A∩B)∪(A–B)= (A∩B)∪(A∩B) = (A∪A)∩(B∪B)=A∩(B∪B)=A∩E=A, ∴ A=(A∩B)∪(A–B). (A∩B)∩(A–B)=(A∩B)∩(A∩B) =A∩A∩B∩B = A∩ (B∩B) = A∩Φ =Φ, ∴ (A∩B)∩(A–B)=Φ.
Combinatorics (第二讲)
1
组合数学教学上的一些考虑
• 组合数学内容比较庞杂（内容Biblioteka Baidu以讲100学时以上）；
从方法论的角度来看，系统性也不是特别好；
• 因此本课程讲授不以讲尽可能多的内容为第一追求目标，
讲课内容追求尽可能贴近计算机科学、便于同学直接受益；
• 第二目标是使同学能基本了解组合数学的常用理论、手法，
∴ According to the Addition Principle, A∪B=(A–B)∪B=A – B+B =A–A∩B+B (∵A – B=A–A∩B) =A +B–A∩B
We also have: A∩B=A+B–A∪B
5
A⊕B=A+B–2A∩B
Proof: A⊕B = (A–B)∪(B–A), (A–B)∩(B–A) = (A∩B)∩(B∩A)=Φ.
Also, we can prove A∩B≤B.
∴A∩B≤ min{A,B}.
We also have:
A∩B= (A+B–A⊕B) / 2
(∵ A⊕B=A+B– 2A∩B)
7
Counting of Elements in a Set
加法原理的另一表达形式：若一个事件可通过n种方式来完成，
其中第i种方式有ki种方法，则完成该事件的方法总数为
不求全部掌握组合数学内容的各个细节，要从方法论角度，
掌握其精髓，与计算机科学相关性较大的手法务必要精熟，
相关性较小的手法及部分内容可以观其大略、大致了解，
今后遇到相关问题知道大体可用什么方法、到书上什么地方找
• 多讲一些例题，使同学们通过例题来了解各方法的应用场景。
• 子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
2
Counting of Elements in a Set
Addition Principle/Rule（加法原理/和则）: If A and B are finite disjoint sets （ 两 个 有 限 不 交 集 即 A∩B=Φ ） , then we have: A∪B=A+B.
• Brualdi的乘法原理表述：令S是元素的序偶(a,b)的集合， 其中第一个元素a来自大小为p的一个集合， 而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。 于是，S的大小为p×q，即S= p×q。
• Brualdi的加法原理表述：设集合S划分为部分S1、S2、…… Sm，则S的元素的个数可以通过找出它的每一个部分的元素 个数来确定，即有S=S1+S2+ …… +Sm (S有穷)
∴ According to the Addition Principle, A=(A∩B)∪(A–B)=A∩B+A–B
∴ A – B=A–A∩B
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A∪B=A+B–A∩B
Proof: (A–B)∪B = (A∩B)∪B = (A∪B) ∩ (B∪B) = (A∪B)∩E= (A∪B) (A–B)∩B = (A∩B)∩B = A∩(B∩B) = Φ.
∴ According to the Addition Principle, A⊕B= (A–B)∪(B–A)= A–B+B–A=A+B– 2A∩B
(∵A – B=A–A∩B, B–A=B–A∩B)
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A∩B≤ min{A,B}
FromA–B=A–A∩B, we obtain
A∩B=A–A – B ∴ A∩B≤A.
k1+k2+ … + ki + … +kn。
加法原理/和则总结: A、B为两个有限不交集，则有： A∪B=A+B. 同时还成立下列公式:
A – B=A–A∩B,
A∪B=A+B–A∩B,
A⊕B=A+B–2A∩B
A ∩ B ≤ min{A,B},
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乘法原理（积则）
• 若某个事件可以分n步来完成，第一步有k1种方法可选， 第二步有k2种方法可选，……，第n步有kn种方法可选， 则完成此事件的方法总数为k1×k2 × …… × kn 。
Generally,we have: A – B=A–A∩B, A∪B=A+B–A∩B, A⊕B=A+B–2A∩B A ∩ B ≤ min{A,B},
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A – B=A–A∩B
Proof: (A∩B)∪(A–B)= (A∩B)∪(A∩B) = (A∪A)∩(B∪B)=A∩(B∪B)=A∩E=A, ∴ A=(A∩B)∪(A–B). (A∩B)∩(A–B)=(A∩B)∩(A∩B) =A∩A∩B∩B = A∩ (B∩B) = A∩Φ =Φ, ∴ (A∩B)∩(A–B)=Φ.
Combinatorics (第二讲)
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组合数学教学上的一些考虑
• 组合数学内容比较庞杂（内容Biblioteka Baidu以讲100学时以上）；
从方法论的角度来看，系统性也不是特别好；
• 因此本课程讲授不以讲尽可能多的内容为第一追求目标，
讲课内容追求尽可能贴近计算机科学、便于同学直接受益；
• 第二目标是使同学能基本了解组合数学的常用理论、手法，
∴ According to the Addition Principle, A∪B=(A–B)∪B=A – B+B =A–A∩B+B (∵A – B=A–A∩B) =A +B–A∩B
We also have: A∩B=A+B–A∪B
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A⊕B=A+B–2A∩B
Proof: A⊕B = (A–B)∪(B–A), (A–B)∩(B–A) = (A∩B)∩(B∩A)=Φ.
Also, we can prove A∩B≤B.
∴A∩B≤ min{A,B}.
We also have:
A∩B= (A+B–A⊕B) / 2
(∵ A⊕B=A+B– 2A∩B)
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Counting of Elements in a Set
加法原理的另一表达形式：若一个事件可通过n种方式来完成，
其中第i种方式有ki种方法，则完成该事件的方法总数为
不求全部掌握组合数学内容的各个细节，要从方法论角度，
掌握其精髓，与计算机科学相关性较大的手法务必要精熟，
相关性较小的手法及部分内容可以观其大略、大致了解，
今后遇到相关问题知道大体可用什么方法、到书上什么地方找
• 多讲一些例题，使同学们通过例题来了解各方法的应用场景。
• 子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
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Counting of Elements in a Set
Addition Principle/Rule（加法原理/和则）: If A and B are finite disjoint sets （ 两 个 有 限 不 交 集 即 A∩B=Φ ） , then we have: A∪B=A+B.