★2第二章自由度计算汇总
第2章 平面机构的运动简图及其自由度
二. 绘制机构运动简图的目的： 机构运动简图与真实机构具有完全相同的运动
特性，主要用于简明地表达机构的组成情况和运动 情况，进行运动分析，作为运动设计的目标和构造 设计的依据。也可对机构进行力分析并作为专利性 质的判据。
三. 机构运动简图中运动副的表示方法 机构运动简图中运动副(转动副、移动副)的表示方法如
说明：当原动件数多于机构的自由度时，机构的运动难以确 定。
如图所示静定的桁架（图 a）和超静定的桁架（图 b） ，自由度分别为0和 －1 ，即各构件之间不可 能运动。
桁架在机构分析中作为一个构件(结构体)来对待。 综上所述可知，机构具有确定运动的条件是：机构的
自由度F>0且等于原动件数。
局部自由度
错误
F=3n-2PL-PH= 3*3-2*(2+1)-1=2
正确
F=3n-2PL-PH= 3*2-2*2-1=1
一般在高副接触处，若有滚子存在，则滚子绕自身轴线转动 的自由度属于局部自由度，采用滚子结构的目的在于将高副 间的滑动摩擦转换为滚动摩擦，以减轻摩擦和磨损。
3. 虚约束
对机构的运动不起独立限制作用的约束称为虚约束。如平行 四边形机构；如图a所示为机车车轮联动机构，图b为其机构 运动简图。
例2-1 绘制如图 (a)所示的颚式破碎机主体机构的运 动简图。
解： （1）分析机构的组成及运动情况 (2) 确定运动副的类型及数量 (3) 选定投影面和比例尺，定出各运动副的相对位置，
绘制出机构运动简图如图 (b)所示。
活塞泵
例：油泵机构 1圆盘 2柱塞 3 构件 4机架
B 1 A
运动副是使两构件直接接触并能产生一定相对运动的 联接。是由两构件组成的可动联接。运动副是约束运 动的，构件组成运动副后，其独立运动受到约束，自 由度便随之减少。如：轴与轴承、凸轮与从动件
自由度的计算(经典课件)
2021/6/16
29
3）内燃机机构 F＝3n－(2pl＋ph)
＝3×6－2×7－3 ＝1
4）鄂式破碎机 F＝3n－(2pl＋ph)
＝3×5－2×7－0 ＝1
2021/6/16
机构自由度的计算(4/7)
10
C
11
8 ,9 3
6
F
7D B
18
4
1
A
1A
O
2
5 4
C
B
3
DE
30
二、运动链成为机构的条件
从动件 ——机构中其余活动构件。原动件 其运动规律决定于原动件的运动规律
2
和机构的结构及构件的尺寸。
1
机构常分为平面机构和空间机构 两类，其中平面机构应用最为广泛。
机架
3 从动件
4
2021/6/16
空间铰链四杆机构 16
平面运动链的自由度计算
机构自由度：机构中各活动构件相对于机架的可能独立运动 的数目。
2021/6/16
19
举例 1）铰链四杆机构 F＝3n－(2pl＋ph)
＝3×3－2×4 －0 ＝1
2）铰链五杆机构 F＝3n－(2pl＋ph)
＝3×4－2×5 －0 ＝2
2021/6/16
机构自由度的计算(2/7)
2
3
1
4
3
2
4
1
5
20
3）曲柄滑块机构
F＝3n－(2pl＋ph) ＝3×3－2×4 －0 ＝1
自由度减少数目等于约束数目。引入约束数目与运动副种 类有关。根据引入约束数目分Ⅰ、Ⅱ……Ⅴ级副。
例2-1 轴与轴承、滑块与导轨、两轮齿啮合。
2021/6/16
速度瞬心、第二章 曲柄摇杆机构
b）以移动副相联的构件1、2, 因两构件上任一重合点间的相 对速度方向均平行于导路故其 瞬心P12 位于垂直导路方向的无 穷远处。 c）当两构件组成纯滚动高副
时，接触点相对速度为零，接
触点即为瞬心点P12。
d） 当两构件组成滑动兼滚动高 副时，因两构件接触点K 处的相 对速度必沿高副公切线方向，故 瞬心P12 一定位于高副公法线n-n 上，具体位置与相对速度 vK1K2 大小有关。 2、三心定理法 三心定理：作平面 运动的三个构件有三个 瞬心，且三个瞬心必在 同一直线上。
铰链四杆机构的机架和连杆总是存在的，因 此，按照连架杆是曲柄还是摇杆可把铰链四杆机 构分为： 曲柄摇杆机构、双曲柄机构、 双摇杆机构。
平面连杆机构的缺点是： 1 (1)运动链较长时机构的误差积累较大；
1
1 1
(2)运动副磨损后，运动副间隙难以补偿；
(3)连杆作平面复合运动，其惯性力（矩）不 因此，连杆机构不能精确实现预定的连续运
易平衡。 动轨迹和运动规律，只能在一些离散点上精确满
足设计要求。此外，连杆机构常用于速度不高的
场合。
§2-1 铰链四杆机构的基本型式和特性
P14
还有两个瞬心P13和P24不能直接确定。需采用 三心定理来确定。
构件1、2、3 的三 个瞬心，P13、P12、P23 应位于同一直线上；
构件1、4、3 的三 个瞬心P13、P14 、P34也 应位于同一直线上。 因此，瞬心P13 一定在P12P23和P14P34两直线 的交点处。
同理，构件2、1、4的三个瞬心在直线P14P12 上， 构件2、3、4 的三个瞬心在直线 P34P23 上，所以交 点就是瞬心P24。
机构速度分析的图解法，有速度瞬心法和矢量方程图 解法等。本节讲解速度瞬心法在平面简单机构上的应用。 一、速度瞬心
第二章第二节平面体系的自由度和约束
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
机械设计基础第二章
第2章平面机构运动简图及自由度计算机械是替代人类完成各项体力劳动甚至脑力劳动的执行者。
在各种新型机械的设计初期，首先需要采用机械系统运动简图来对比各种运动方案及工作原理，一边从中选出最佳的设计方案。
然后再按照运动要求确定及其各组成构件的主要尺寸，按照强度条件和工作情况确定机构个部分的详细结构尺寸。
机械系统的运动简图设计是设计机械产品十分重要的内容，正确、合理地设计机械系统简图，对于满足机械产品的功能要求，提高性能和质量，降低制造成本和使用费用等是十分重要的。
机械系统要完成比较复杂的运动，一般都需要将若干个机构根据机械系统的运动协调配合的要求组合起来，因此机械系统的运动简图也是机构系统的运动简图。
机械系统的运动简图是用规定的符号，绘出能准确表达机构各构件之间的相对运动关系及运动特征的简单图形。
一般某机构可分为平面机构和空间机构。
平面机构是指各运动构件均在同意平面或相互平行平面内运动的机构。
空间机构是指虽有的机构不完全是相互平行的平面内运动的机构。
本章将着重介绍机构的结构分析。
第一节机构的组成构件任何机器都是由若干个零件组装而成的。
构件是指组成机械的各个相对运动的单元。
构件和零件的概念是有区别的。
构件是机械中的运动单元体，零件则是机械中不可拆分的制造单元体。
构件可以是一个零件，也可以是由两个或两个以上的零件组成。
如图2-1所示的内燃机中的连杆就是由单独加工的连杆体、轴套、连杆头、轴瓦、螺杆、螺母等零件组成的，这些零件分别加工制造，但是当它们装配成连杆后则作为一个整体在发动机内部作往复运动相互之间并不产生相对运动，因此连杆可以看做一个构件。
因此，从运动角度来看，任何机器都是许多独立运动单元组合而成的，这些独立运动单元体称为构件。
从加工制造角度来看，任何机器都是由许多独立制造单元体组合而成的，这些独立制造单元体称为零件。
通常，为了完成同一使命而在结构上组合在一起并协同工作的零件称为部件，如联轴器、减速器等。
分析化学计算公式汇总
分析化学主要计算公式总结第二章误差和分析数据处理（1）误差绝对误差δ=x-μ相对误差=δ/μ*100%(2)绝对平均偏差：△=（│△1│+│△2│+……+│△n│）/n （△为平均绝对误差；△1、△2、……△n为各次测量的平均绝对误差）。
（3）标准偏差相对标准偏差（RSD）或称变异系数（CV） RSD=S/X*100% (4)平均值的置信区间：＊真值落在μ±1σ区间的几率即置信度为68.3%＊置信度——可靠程度＊一定置信度下的置信区间——μ±1σ对于有限次数测定真值μ与平均值x之间有如下关系：s：为标准偏差n：为测定次数t：为选定的某一置信度下的几率系数(统计因子) (5)单个样本的t检验目的：比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。
计算公式：t统计量：自由度：v=n - 1适用条件：(1) 已知一个总体均数；(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；(3) 样本来自正态或近似正态总体。
例1 难产儿出生体重n=35, =3.42, S =0.40,一般婴儿出生体重μ0=3.30（大规模调查获得），问相同否？解：1.建立假设、确定检验水准αH0：μ = μ0（无效假设，null hypothesis）H1：（备择假设,alternative hypothesis，）双侧检验，检验水准:α=0.052.计算检验统计量，v=n-1=35-1=343.查相应界值表，确定P值，下结论查附表1，t0.05 / 2.34= 2.032,t< t0.05 / 2.34,P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义(6)F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差 S^2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。
至于两组数据之间是否存在系统误差，则在进行F检验并确定它们的精密度没有显著性差异之后，再进行t 检验。
样本标准偏差的平方，即(“^2”是表示平方)：S^2=∑(X-X平均)^2/(n-1)两组数据就能得到两个S^2值，S 大^2和S 小^2 F=S 大^2/S 小^2由表中f 大和f 小（f 为自由度n-1),查得F 表， 然后计算的F 值与查表得到的F 表值比较，如果 F < F 表 表明两组数据没有显著差异； F ≥ F 表 表明两组数据存在显著差异(7)可疑问值的取舍： G 检验法 G=Sxx -第4章 酸碱滴定法（1）共轭酸碱对Ka 与Kb 间的关系：KaKb=Kw（2）酸碱型体平衡浓度([ ]),分析浓度（c ）和分布系数（δa ）之间的关系(3)一元强酸溶液的pH 的计算 [H +]=24w2K c c ++ 精确式pH=－lg c 近似式 （4）一元弱酸溶液pH 的计算 [H +]=wa ]HA [K K + 精确式（5－11）（关于[H +]的一元三次方程）其中 [HA]=c [H +]/（[H +]+K a ）·若[A －]＞20[OH －]（即cK a ＞20K w ），可以忽略因水解离产生的H +PBE 简化为 [H +]≈[A －]∴ [H +]=a a])H [(]HA [K c K +-= (5－12)·若不但cK a ＞20K w ，而且c /K a ＞400（即c ＞20[A －]或c ＞20[H +]），也就是弱酸的解离度[A －]/c ＜0.05，就可以忽略因解离对弱酸浓度的影响，于是[HA]≈c∴ [H +]=acK最简式·若cK a ＞20K w ，c /K a ＜400，由式（5－12）可得[H +]=24a2a a cK K K ++- 近似式（1）·若cK a ＜20K w ，C/K a ＞400（适用于酸极弱、且浓度极小的情况，此时[HA]≈c ），由式（5－11）可得 [H +]=wa K cK +近似式（2）（5）多元酸溶液pH 的计算最简式 ][H A][H 1a 2cK c =∴≈+(6)两性物质（NaHA ）溶液pH 的计算最简式][H 21a a K K =+(7)缓冲溶液pH 值的计算 最简式:[H+]=ca/cb*Ka第五章 络合滴定法 （1）酸效应系数：)(H Y α==][][][][][][][62'Y Y H Y H HY Y Y Y ++++= ==1/Y δ在副反应中分布分数Y δ与)(H Y α互为倒数⑴)(H Y α==621621211456][][][a a a a a a a a a K K K K K K H K K H K H ++++++++==1+4556][][][2a a a a K H K K H K H ++++++6534][aa a K K K H ++6534][a a a K K K H ++6534][a a a K K K H +（2）共存离子效应系数αY （N ）)(N Y α==][][][Y NY Y + 因为[NY]==K NY [N][Y] 故：)(N Y α==1+ K NY [N]（3）EDTA 与H+及N 同时发生副反应的总的副反应系数αY ，Y α==)(H Y α+1)(-N Y α(4)被测金属离子M 的副反应系数αM ：][][][][][][][2')(M ML ML ML M M M n L M ++++==== α= 1+nn L L L ][][][221βββ+++若有P 个络合物与金属发生副反应，则：)(N Y α=)(1N Y α+)(2NY α+…+）（n N Y α-（n-1）化学计量点pM ’的计算 pM ’=1/2[p cM(sp)+lgK’MY](7)金属离子指示剂颜色转变点（变色点）pM t 值的计算 pM t =lgK MIn -lg αIn(H) (8)滴定终点误差%1001010',''⨯-==∆-∆MYSP M pM pM t KC E（9）直接准确滴定金属离子的可行性判据：6lg ',≥MYsp M KC第六章 氧化还原滴定法（1）氧化还原电对的电极电位——Nernst 方程式)Red ()Ox (lg0.059)Ox /Red ()Ox /Red (θa a n E E +=（2）以浓度替代活度，且考虑到副反应的影响，则电对在25C 时的条件电位lg059.0/OR RO n E Eαγαγθθ+=（3）氧化还原反应的条件平衡常数K ’(25C 时)059.0)n'E ' (E K' Lg 21︒-︒=（4）氧化还原滴定化学计量点时的电位值φsp212211sp n n 'E n 'E n E +︒+︒=（5）氧化还原滴定突跃范围计算式 φ2‘+0.59*3/n 2(V)—φ1‘+0.59*3/n 1(V) （6）氧化还原指示剂变色的电位范围 φ‘±0.059/n(V)第7章沉淀滴定法和重量滴定法主要计算公式（1）沉淀溶解积 pKsp=pAg+pX(2)化学计量点 pAg=pX+1/2pKsp(3)质量分数计算ω=(CV*M/1000)/m s*100%(4)1:1型的MA沉淀溶解度的计算S='Ksp=KspaMaA(4)化学因数（或称换算因数）Fm’=mF (m为称量形式的质量，m’为被测成分的质量) （6）被测成分的质量分数ωω=mF/me*100%第八章电位分析法及永停分析法主要计算公式（1）电池电动势： E电池=φ（+）-φ（-）（2）直接电位法测定溶液pHpH x=PH s+(E x-E s)/0.059(25C)(3)离子选择电极的电位φφ=K±2.303RT/F*lg ai= K’±2.303RT/F*lg ciK’=K±2.303RT/nF*lg(f i/a i)（5）离子选择电极两次测量法计算待测溶液中离子的浓度 Ex-Es=±2.303RT/nF*(lg cx -lg cs ) (6)标准加入法计算待测溶液的离子浓度XS E S X SS X V V V V C C ⋅⋅+=⇒∆10)(nFRTS 303.2)1()2(=-式，且令式（7）直接电位法测量误差的计算式 △c/c=nF/RT*△E ≈39n △E第9章 光学分析法概论 主要计算公式（1）光的波动性用波长λ，波数σ和频率υ作为表征 λ是在波的传播路线上具有相同振动相位的相邻两点之间的线性距离，常用nm 作为单位。
第二讲自由度的计算
第二讲自由度的计算在第一讲中，我们了解了什么是自由度以及它的基本概念。
在这一讲中，我们将探讨如何计算自由度。
自由度是统计学中一个重要的概念，它用于确定一个给定数据集的可变性或变化的自由程度。
简单地说，自由度是指在计算统计量时可以独立变动的数据个数。
自由度的计算取决于不同的情况和统计方法。
以下是常见的几种计算自由度的方法。
1.单样本t检验的自由度计算单样本t检验是用于比较单个样本平均值与一些已知或理论上的总体平均值是否有显著差异的方法。
当使用单样本t检验时，自由度的计算方法为n-1，其中n是样本的个数。
例如，如果我们有一个包含10个观测值的样本，那么自由度就是10-1=92.独立样本t检验的自由度计算独立样本t检验是用于比较两个独立样本的平均值是否有显著差异的方法。
当进行独立样本t检验时，自由度的计算方法为n1+n2-2，其中n1和n2分别是两个样本的个数。
举个例子，如果我们有两个样本，一个包含20个观测值，另一个包含30个观测值，那么自由度就是20+30-2=483.相依样本t检验的自由度计算相依样本t检验是用于比较相同样本在不同条件下的平均值是否有显著差异的方法。
当进行相依样本t检验时，自由度的计算方法为n-1，其中n是样本的个数。
举个例子，如果我们有一个包含30名参与者的试验，每个参与者分别在两个不同条件下接受测量，那么自由度就是30-1=294.卡方检验的自由度计算卡方检验用于检验观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
当进行卡方检验时，自由度的计算方法为(行数-1)*(列数-1)，其中行数和列数分别是卡方表格的行数和列数。
例如，如果我们有一个2x2的卡方表格，那么自由度就是(2-1)*(2-1)=1自由度在统计学中起到了至关重要的作用，它决定了参数估计的精确性以及统计量的抽样分布。
计算自由度的方法因不同的统计方法而异，但是可以根据具体情况选择适合的方法计算自由度。
在实际应用中，我们经常将自由度用于确定拒绝区域的临界值以及计算p值。
2-2平面体系的计算自由度
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
根据自由度和约束的概念，一个体系的计 算自由度在数值上等于组成体系的刚片或点具 有的总自由度与体系总约束的差。
计算自由度=组成体系的刚片或点具有的 总自由度-体系总约束数
yluo@
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
1.一般体系的计算自由度公式
⑴ W>0,表明体系缺少足够的约束， 因此是几何可变的。
W=1
yluo@
W=1
§2 体系计算自由度
三、计算自由度与体系可变性
计算自由度W可用于判断体系所具有 的约束在数量上是否足够维持体系为几何 不变。
⑵ W=0,表明体系具有成为几何不变 所必需的最少约束数目。
几何 不变
yluo@
§2 体系计算自由度
例题2.7 试求图示体系的计算自由度。
体系为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=7 单铰数 h=9 支座约束数 r=3 yluo@
W 3m (2h r )
3 7 (2 9 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.8 试求图示体系的计算自由度。 比较
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
把体系视为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=17 单铰数 h=24 支座约束数 r=3 yluo@W 3m Fra bibliotek(2h r )
3 17 (2 24 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
按铰接链杆体系计算 点＋约束
若不考虑体系与地基之间的支承关系， 而只研究体系自身的几何不变性时：
•W>3,表明体系缺少足够的约束，因此 是几何可变的。 •W=3,表明体系具有成为几何不变所必 需的最少约束数目。 •W<3,表明体系具有成为几何不变所必 需的约束外，尚有多余联系。
第二章 平面机构
面相平行的平面作为投影面。
4. 选择适当的比例尺, 定出各运动副之间的相对位置，用规
定的简单线条和各种运动副符号, 将机构运动简图画出来。
§2-3 平面机构自由度
作平面运动的刚体在空间的位置需要三个 独立的参数（x，y, θ ）才能唯一确定。 单个自由平面构件的自由度为 3 θ (x , y) y
凸轮机构
2. 按构成运动低副的两构件的相对运动分
转动副:——两构件之间的相对运动为转动 移动副:——两构件之间的相对运动为移动
螺旋副：——螺旋运动 球面副：——球面运动
转动副
移动副
螺旋副：——螺旋运动 球面副：——球面运动
螺旋副
球面副
三、由基本概念看机构的组成
固定 联接 零件 构件
可动 联接
F=3n - 2Pl - Ph
虚约束常出现的情况：
1. 如果转动副联接的是两构件上运动轨迹相重合的点，则该 联接引入1个虚约束;
正确计算： ●将因虚约束而减少的自由度 再加上。 p – p F=3n-2
l h
F=3n-2 P6-0=0+ P′ =3×4 - 2× l – Ph
=3×4 - 2×6-0+1=1
例题 计算曲柄滑块机构的自由度。 解：活动构件数n = 3 低副数PL= 4 高副数PH= 0 F=3n － 2PL － PH =3×3 － 2×4 =1 S3 1
2
3
>0 F=3n-(2 Pl + Ph)=3n-2Pl -Ph =0 <0
可以运动，可能成为机构。
不能运动，为桁架结构。 不能运动，为超静定结构。
★ 局部自由度F′（Passive DOF）
——构件所具有的与其他构件运动无关的局部运动。
第2章 平面连杆机构02——自由度
性桁架，因而不能成为机构。
5）超静定桁架
n=3 PL=5 PH=0 F=3n-2PL-PH=3×3-2×5-0=-1 表明该运动链由于约束过多，已成为超静定桁架 了，也不能成为机构。
计算实例 实例1： 解：n = 3, PL = 4, PH = 0 F = 3n - 2PL - PH =3×3 - 2×4 - 0
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1 4
n=3 PL=4 PH=0
F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1 2）五杆机构： n=4 PL=5 PH=0 F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-0=2 3）凸轮机构： n=2 PL=2 PH=1 F=3n-2PL-PH=1
4 3
2
1 5
4）刚性桁架
n=2 PL=3 PH=0 F=3n-2PL-PH=3×2-2×3-0=0 表明该运动链中各构件间已无相对运动，只构成了一个刚
2、约束
但当这些构件之间以一定的方式联接起来成为构件系 统时，各个构件不再是自由构件。——自由度减少。
这种对构件独立运动所施加的限制称为约束。
3、自由度和约束的关系 运动副每引入一个约束，构件就失去一个自由度。 运动副既限制了两构件的某些相对运动，又允许构件 间有一定的相对运动。
二、平面机构的自由度计算
惯性筛机构
F＝3n－2PL－PH
＝3×5－2×7－0
＝1
2.局部自由度
个别构件所具有的，不影响整个机构运动的自由度称为 局部自由度。 典型例子：滚子的转动自由度并不影响整个机构的运 动，属局部自由度。 计入局部自由度时 n = 3, PL = 3, PH = 1 F =3×3 - 2×3- 1 =2 与实际不符
=1
实例2： n =5, PL = 7, PH = 0 解： F = 3n – 2PL – PH = 3×5 – 2×7 – 0
第二章平面机构的运动简图及自由度
错误
F=3n-2PL-PH= 3*3-2*(2+1)-1=2
正确
F=3n-2PL-PH= 3*2-2*2-1=1
2 局部自由度
• 对整个机构运动无关 的自由度称为局部自 由度。在计算机构自 由度时，局部自由度 应当舍弃不计。如凸 轮机构中的滚子带来 一个局部自由度
3 虚约束
• 不起独立限制作 用的约束称为虚 约束。如图所示 的平行四边形机 构中，加上一个 构件5，便形成具 有一个虚约束的 平行四边形机构。
出机构预期运动规律的从动件为输出构 件
• 绘制机构运动简图的步骤 • 1）确定机构中的原动部分和工作部分，然后
再把两者之间的传动搞清楚，从而找出组成机
构的所有构件并确定构件间的运动副类型。
• 2）恰当地选择投影面。一般选择机构中与多
数构件的运动平面相平行的面为投影面。
• 3）选择适当的比例尺，绘制出机构的运动简
高副两构件通过点或线接触组成的运动副?空间运动副球面副螺旋副等yz平面内有两个自由度即平面高副提供1个约束球面低副球面高副螺旋副22平面机构运动简图?用简单的线条和符号来表示构件和运动副按比例尺寸画出机构中各构件间相对运动关系的简单图形?运动副的表示方法转动副移动副?机架abcd?构件的表示方法构件的分类
8
9 10
H
C:复合铰链
G
E
F
C B
A
滚子为局部 自由度
E'
E：虚约束
D
F=3n-2PL-PH=3*6-2*8-1=1
推土机机构 •F=3*5-2*7=1
锯
木
机 机
•F=3*8-2*11-1=1
构
•
•F=3*6-2*8-1=1 平 炉 渣 口 堵 塞 机 构
机械原理(第二章 自由度)
§2-5 机构自由度的计算
1.平面机构自由度的计算
（1）计算公式
F＝3n－(2pl＋ph)
式中：n为机构的活动构件数目；
pl 为机构的低副数目；
ph为机构的高副数目。
3
(2)举例
1）铰链四杆机构
F＝3n－(2pl＋ph)
＝3×3－2×4 ＝1
3
2）铰链五杆机构
F＝3n－(2pl＋ph)
4
＝3×4－2×5 ＝2
虚约束的作用： ①改善构件的受力情况，如多个行星轮。 ②增加机构的刚度，如轴与轴承、机床导轨。 ③使机构运动顺利，避免运动不确定，如车轮。
计算图示包装机送纸机构的自由度。
分析： 活 动 构 件 数 n ： 复合铰链: 2个低副 局部自由度 2个 虚约束: 1处
E
4 D7
F5G
96 IJ 8
H
B2 C3
轴孔连接（接
触平面）
滑块与导轨联
接（接触平面）
两齿轮轮齿啮 合（齿廓曲面）
运动副元素—两个构件参加接触而构成运动副的表面
面接触的运动副称为低副，
2
转动副 （回转副或铰链）
1
移动副
点接触或线接触的运动副称为高副。
3.平面构件的自由度
当没有约束时，构件作平面运动具有三个自由 度：即可以沿x轴和y轴方向移动，以及绕垂直于 运动平面xOy转动。
2 1
4
2
1 5
3）内燃机机构
F＝3n－(2pl＋ph) ＝3×6－2×7 ＝1
10 C 11
8 ,9 3
7D B
18
4 A1
§2-6 计算平面机构自由度时应注意的事项
1.要正确计算运动副的数目 （1）复合铰链 由m个构件组成的复合铰链，共有(m-1)个转动副。
机械原理 课件 §2-5 机构自由度计算
机构的自由度F ：相对参考系的独立运动的数目
F=6
F=3 3 F=3
2
y
F=0
机架
Ｏ
1
x
平面上的自由构件有三个自由度
未联接
x, y, z
.
机构自由度计算
用转动副与机架连接后剩一个自由度
n=2 pl=3 ph =0
平面低副引入2个约束 平面高副引入1个约束
y
F=2 F=4 F=1 F=3 机构自由度计算公式 F=3n - (2pl + ph ) 活动构件数：n 低副数： pl 高副数： ph
自由度计算注意事项
n=9 pl =11 ph =3 F’=2 p’=1
点划线
作业：2-16 (a)(b)(c)
.
平面机构的组成原理
研究低副机构
F=3n - 2pl
F=1
平面机构的组成原理
n=5 pl =7 F=1
n=2 pl =3 F=0
基本杆组：不可再分的自由度为0的用运动副连接的构件系统 机构由基本杆组联接于原动件和机架上而构成 n=2 , pl =3 F=3n - 2pl =0 n=3 , 无解 n=4 , pl =6 ……
3 1
n=3 pl =3 ph =1 F=2？ n=7 pl =6？ ph =0 F=9？
2
3 2 1
pl =10
F=1
.
3、虚约束 运动副引入了重复的约束
两构件之间存在多个 *导路互相平行的移动副 *轴线重合的转动副 *法线重合的高副 *不影响机构运动传递的重复部分
自由度计算注意事项
算 一 个 移 动 副
.
例
例：手动冲床 F=3*2-(2*3+0)=0
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
第二节 平面机构自由度及其计算
二．自由度、约束：
1．自由度：
y B
f=f(x)
构件所具有的独立运动的数目Fra bibliotekyAA
α x
注：平面运动件有三个自由度 2．约束： 对独立运动所加的限制
xA
注：构件每增加一个约束，便失去一个自由度。
§2—4 平面机构的自由度
一．机构的自由度F： 1．定 义： 机构具有的独立运动的数目。 2．计算公式： 设：机构由n个活动构件，PL个低副，PH个高副组成 自由度数 约束数 每个活动件 3 0 每个低副 1 2 每个高副 2 1
三．自由度计算的注意事项：
1．复合铰链： 两个以上构件在同一轴线上组成的转动副
C 2 B 1 3 E D 6 5 3 4 A 2 C C
n=5
PL=6 PH=0 F=3×5－2×6=3
4
按确定运动条件：需给定三个原动件，运动才确定 实际上：仅需给定一个原动件即运动确定 问题所在：C是复合铰链。
一般：k个活动件组成的复合铰链应记为(k-1)个转动副
F = 3n - 2PL - PH
注意：机架是非活动件，故n中不包括机架。
二．机构具有确定运动的条件：
2
1 3 2
2 3
3 1 4
1 4 5
F=3×2－2×3=0 是不能运动的桁架
F=3×3－2×4=1 给定一个原动 件后运动确定
F=3×4－2×5=2 给定一个原动 件后运动确定
具有确定运动的条件：1）F ＞ 0 2）机构的原动件数 = F 注：1）若原动件数 ＞ F，则不能运动，否则机构破坏。 2）若原动件数 ＜ F，则机构运动不确定。
3．虚约束：
M 2 1
对机构的运动不起独立限制作用的约束叫虚约束。
第二章 平面机构及自由度计算
解：活动构件数n=7 活动构件数 低副数PL= 10 低副数 F=3n － 2PL － PH =3×7 －2×10－0 － =1
B
8
圆盘锯机构
计算图示两种凸轮机构的自由度。 计算图示两种凸轮机构的自由度。 解：n= 3， PL= 3， PH=1 ， ， F=3n － 2PL － PH =3×3 －2×3 －1 =2 对于右边的机构， 对于右边的机构，有： F=3×2 －2×2 －1=1 事实上，两个机构的运动相同， 事实上，两个机构的运动相同，且F=1
3 2 1 1 3 2
或计算时去掉滚子和铰链： 或计算时去掉滚子和铰链： F=3×2 －2×2 －1 =1 滚子的作用：滑动摩擦⇒滚动摩擦。 滚子的作用：滑动摩擦⇒滚动摩擦。
已知： ＝ ＝ ， 已知：AB＝CD＝EF，计算图示平行四边形 机构的自由度。 机构的自由度。 B C 2 E 解：n= 4， PL= 6， PH=0 ， ， 1 F=3n － 2PL － PH 4 3 =3×4 －2×6 F D A =0 3.虚约束 虚约束 对机构的运动实际不起作用的约束。 对机构的运动实际不起作用的约束。 计算自由度时应去掉虚约束。 计算自由度时应去掉虚约束。 故增加构件4前后 前后E ∵ FE＝AB ＝ CD ， 故增加构件 前后 ＝ 点的轨迹都是圆弧， 点的轨迹都是圆弧，。 增加的约束不起作用，应去掉构件4。 增加的约束不起作用，应去掉构件 。
3 2 1 1
3 2
2.局部自由度 局部自由度 定义：构件局部运动所产生的自由度。 定义：构件局部运动所产生的自由度。 出现在加装滚子的场合， 出现在加装滚子的场合 ， 计算时应去掉F 计算时应去掉 p。 本例中局部自由度 FP=1 F=3n － 2PL － PH －FP =3×3 －2×3 －1 －1 =1
单元2-2.平面机构的运动简图及自由度计算.
建设院校： 成都航空职业技术学院 郑州铁路职业技术学院 成都电子机械高等专科学校
单元2-2.平面机构的运动简图及自由度计算
学习目标：
1.能绘制实际机构的运动简图 2.计算机构的自由度并判定其是否具备确定的运动
情境二 自动送料连杆机构设计
技能点：
1.计算复杂机构自由度 2.判断复杂机构是否具有确定相对运动
•如图所示机构中压板与架形成3处移动副， 且三移动副方向一致。
3.虚约束
（3）两个构件组成多个转动副其轴线重合时，只有 一个转动副起约束作用，其余都是虚约束。 例如一根轴上安装多个轴承时。
A B
•如图所示，齿轮轴两端由轴承支承，齿轮轴与机 架在A、B两处组成了轴线重合的转动副。
3.虚约束
（4）机构中对运动不起限制作用的对称部分。
F=3n-2PL-PH=3×5-2×7-0=1
惯性筛机构
三、复合铰链、虚约束、局部自由度运
动副结构
2．局部自由度
•机构中不影响其输出与输入运动关系的个别构件的独立运 动自由度，称为机构的局部自由度。 •在计算机构自由度时，局部自由度除去不计。
例3：如图所示为一滚子凸轮机构简 图，试计算其机构的自由度。 解：该机构中，n=2，PL=2， (C处为局部自由度)， PH=1 ，所以该机构的自由度：
任务2.2.1：绘制平面简单机构的运 动简图并计算自由度
能力要求
1. 能绘制实际机构的运动简图 2. 计算机构的自由度
一、 机构运动简图
工程中，由于机构是多种多样的，构件的结构和几何形状也千差万别。 在研究机构的运动时，通常撇开与运动无关的因素，而用一些简单的线条和 规定的符号表示构件和运动副，并按一定的长度比例尺确定运动副的相对位 置，这种简明表示机构中各构件间相对运动关系的图形称为机构运动简图。
第二章平面机构的自由度
例一、计算内燃机机构的自由度
解： Ｆ＝３ｎ－２ＰL－ＰH ＝３×5－２×6－ 2 ＝1
例二、计算牛头刨床机构的自由度
解： Ｆ＝３ｎ－２ＰL－ＰH
＝３×6－２×8－ 1
＝1
2、计算机构自由度时应注意的事项
（1）复合铰链
（2）局部自由度
（3）虚约束
（1）复合铰链
概念：由两个以上构件在同一处构成的重合 转动副称为复合铰链。 复合铰链的转动副个数：由m个构件汇集而成 的复合铰链应当包含（m-1）个转动副。
Ｆ＝３×3－２×4＝1 原动件=2
作
业
P17： 1-1
P18： 1-3，1-4
P18 ：1-5，不用画图
第一讲 平面四杆机构的基本类型
由若干个刚性构件通过低副(Lowerpair)连接而组成的机构称为连杆机构， 又称为低副机构。 由四个刚性构件连接而成的平面连杆 机构为平面四杆机构。基本类型有铰链 四杆机构、偏心轮机构、曲柄滑块机构 和导杆机构。
平面四杆机构的基本类型
（一）铰链四杆机构 铰链四杆机构就是当平面机构中的运 动副均为转动副时，称这样的四杆机构 为铰链四杆机构。
构件名称：
机架：固定不动的构件称为机架。
连架杆 ：与机架相连的构件称为连架杆。 连杆 ：不直接与机架相连的构件称为连 杆。
自由度计算公式
自由度计算公式
自由度计算公式：1、自由度：机构的具有确定运动所必需要的独立运动参数为机构自由度。
2、自由度计算公式：F=3n-2pl-2phn：活动构件数pl：低副数ph：高副数3、机构具有运动的条件：自由度=原动件数。
机构运动离不开自由度，自由度，分为平面机构自由度和空间机构自由度！
自由度：统计学术语：自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。
通常df=n-k。
其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。
自由度通常用于抽样分布中。
物理学术语：自由度是指物理学当中描述一个物理状态，独立对物理状态结果产生影响的变量的数量。
如运动自由度是确定一个系统在空间中的位置所需要的最小坐标数。
例如火车车厢沿铁轨的运动，只需从某一起点站沿铁轨量出路程，就可完全确定车厢所在的位置，即其位置用一个量就可确定，我们说火车车厢的运动有一个自由度；汽车能在地面上到处运动，自由程度比火车大些，需要用两个量（例如直角坐标x,y）才能确定其位置，我们说汽车的运动有两个自由度；飞机能在空中完全自由地运动，需要用三个量（例如直角坐标x,y,z）才能确定其位置，我们说飞机在空中的运动有三个自由度。
所谓自由度数就是确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点击播放 a)转动副
b)移动副
点击播放
图2-3平面低副
平面机构运动简图
在研究或设计机构时，为了减少和避免机构复杂的结构外 形对运动分析带来的不便和混乱，我们可以不考虑机构中与运 动无关的因素，仅用简单的线条和符号来表示构件和运动副， 并按比例画出各运动副的相对位置。这种用规定符号和简单线 条表示机构各构件之间相对运动及运动特征的图形称为机构运 动简图，本教材研究机构的组成及运动状态时都是以机构运动 简图为基础来研究的。 机构运动简图所表示的主要内容有：机构类型、构件数目 、运动副的类型和数目以及运动尺寸等。 对于只为了表示机构的组成及运动情况，而不严格按照比 例绘制的简图，称为机构示意图。
R=2, F=1 自由度数 约束数 1（θ） + 2（x，y） 1（x） + 2（x,θ）+ 1（y）
=3
=3
2（y，θ） =3
结论：构件自由度＝3－约束数
平面机构的自由度
三、平面机构的自由度计算
1、平面机构自由度的计算公式 活动构件数 构件总自由度 低副约束数 n 3× n 2 × PL (低副数) 高副约束数 1 × Ph (高副数)
运动副及其分类
运动副
构件与构件之间既保证直接接触和制约，又保持确定 运动的可动联接称为运动副。 构件间通过点或线接触所构成的运动副称为高副，常 见的平面高副有凸轮副和齿轮副，如图2-2所示。
点击播放 凸轮副 图2-2 平面高副 齿轮副
点击播放
运动副及其分类
两构件通过面接触所构成的运动副称为低副，平面低副 按其相对运动形式又可分为转动副和移动副。 （1）转动副 两构件间只能产生相对转动的运动副称为 转动副，如图2-3a所示。 （2）移动副 两构件间只能产生相对移动的运动副称为 移动副，如图2-3b所示。
言
图2-1a颚式破碎机实物图
引
言
颚式破碎机的工作驱动是靠实物图右侧的带轮驱 动偏心轮转动，使得动颚板往复摆动，完成挤碎石料 的工作。图2-1b是机构的结构示意图，图2-1c是颚式 破碎机的机构运动简图。
图2-1b
结构示意图
图2-1c
机构运动简图
引
言
可以看出该机构是由许多构件以一定的方式连接 而成的。构件与构件的连接称为运动副，机构运动简 图是用简单的线条代替零件来说明各构件间的运动关 系。 由各个构件（零件）组成机构后是否具有确定的 运动，要看该机构是否满足机构具有确定运动的条件 。 本章主要介绍构件间的连接方式——运动副、 机构的自由度计算和机构具有确定运动的条件。
构件及运动副的表示方法
1.构件
构件是组成机构的基本的运动单元，一个零件 可以成为一个构件，但多数构件实际上是由若干零 件固定联接而组成的刚性组合，下图所示为齿轮构 件，就是由轴、键和齿轮联接组成。
点击播放
齿轮构件
构件及运动副的表示方法
图2-4 构件的表示方法
构件及运动副的表示方法
2.转动副
图2-5 转动副的表示方法
计算公式： F=3n－2PL -Ph 要求：记住上述公式，并能熟练应用。 举例：
平面机构的自由度
①计算曲柄滑块机构的自由度。 解：活动构件数n= 3 低副数PL= 4 高副数PH= 0 F=3n－2PL－PH =3×3－2×4 =1
1 2 3 4
平面机构的自由度
②计算曲柄摇杆机构的自由度。
解：活动构件数n= 3
构件及运动副的表示方法
3.移动副
图2-6 移动副的表示方法
构件及运动副的表示方法
4.平面高副
凸轮副
齿轮副
图2-7 高副的表示方法
平面机构运动简图的绘制
机构运动简图－用以说明机构中各构件之间的 相对运动关系的简单图形。 作用：1.表示机构的结构和运动情况； 2.作为运动分析和动力分析的依据。 机构示意图－不按比例绘制的简图 机构运动简图应满足的条件:
低副数PL= 4 高副数PH= 0
F=3n－2PL－PH =3×3－2×4 =1
平面机构的自由度
③计算五杆铰链机构的自由度。 解：活动构件数n= 4
低副数PL= 5 高副数PH= 0 F=3n－2PL－PH =3×4－2×5 =2
第2章 平面机构运动简图 及自由度
教学要求
能力目标
1.平面机构自由度计算的能力。 2.识别复合铰链、局部自由度和常见的虚约束 的能力。 3.判定机构具有确定相对运动的能力。
知识要素
1. 2. 3. 4. 运动副的概念与平面机构的组成。 自由度的计算公式。 自由度的计算中应注意的问题。 平面机构具有确定运动的条件。
教学要求
学习重点与难点
1. 平面机构自由度的计算。 2.自由度计算中应注意的三个问题。
技能要求
1．绘制简单机械的机构运动简图。
引
日常生活和生产实践中广 泛应用的各种机械设备，都是 人们按需要将各种机构（零件 ）组合在一起，来完成各式各 样的任务以满足人们生活和生 产的需要。 图2-1a所示为颚式破碎机 的实物图，实物图看起来直观 明了，但要分析破碎机的工作 原理和进行运动分析等就没有 办法进行，这时就需要一种能 说明机构运动原理的简单图形 ---机构运动简图。
1.构件数目与实际构件相同； 2.运动副的性质、数目与实际机构相符； 3.运动副之间的相对位置以及构件尺寸与实际 机构成比例。
平面机构运动简图的绘制
思路：先确定原动部分和工作部分（一般位于传动线路末 端），弄清运动传递路线，确定构件数目及运动副的类型， 并用符号表示出来。 顺口溜：先两头，后中间， 从头至尾走一遍， 数数构件是多少， 再看它们怎相联。 步骤： 1.运转机械，搞清楚运动副的性质、数目和构件数目； 2.测量各运动副之间的尺寸，选投影面（运动平面），绘制 示意图。 3.按比例绘制运动简图。 简图比例尺： μl =实际尺寸 m / 图上长度mm 4.检验机构是否满足运动确定的条件。 举例：绘制破碎机机构的运动简图。
颚式破碎机演示
平面机构的自由度
一、构件的自由度
作平面运动的刚体在直角坐 标系的位置需要三个独立的 参 数 （ x ， y, 唯一确定。 y F = 3
θ）才能
θ (x , y) x
单个自由构件的自由度为 3
二、运动副对构件的约束
y 2
y
y
x
θ1
=1,
2 F=2
R=2, F=1 运动副 回转副 移动副 高 副