电磁场与电磁波(静电场)解读

2.3 泊松方程 拉普拉斯方程
2.3.1 电位函数
A 0
A
0
静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度
表示，此标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。 静电场中，电位函数 的定义为：
E
在直角坐标系中：
E a x ay az x y z
'
图2.1.2 点电荷分布
而且
' q ' ' ( r ) d q ( r r ) d 0
包含r '点 不包含r '点


二、 电流与电流密度
如果 t 时间内穿过S的电荷量为 q ，则定义电荷穿过S的电流强度为：
i (t ) lim
若闭合面S包围的体积 电荷量为 Q (r )d 则：

( r 内，电荷以体密度 ) 分布，则
内总
1 (r )d s E dS 0
0
高斯定律的积分形式
1 E 根据高斯散度定理有： d

(r )d
泊松 方程 在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：
2 2 2 2 2 2 x y z
2
2 0
若在电场强度为 的空间某点放置点 电荷q ，则 q受到的静电力为 qE
E
由库仑定律导出空间点电荷q 的电场强度为
E Q 0 1 Q R R 2 3 4 0 R 4 0 R 1
图2.2.2 场源坐标的表示
r 当空间有 n个点电荷时，场点 的电场强度可由各点电荷
独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算。
I J ( r ) dS
s
即电流是电流密度的通量
图2.1.4 体电流密度
2、面电流密度矢量及面电流
当电荷在很薄的导体片上流动时，可以将其抽象地视为在一数学面上 流动，并称为面电流。如图2.1.5所示。过表面电流场中一点，取一线元l 垂直于电荷运动的方向，如果穿过此线元 l 的电流为I ，定义该点表面电 流密度的值为
A
电场强度沿一路径从A点到B点的线积分等于电位从A点到B点 的下降.由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。
若在空间中任选P点作为电位的参考点，即 ( P) 0 ，则A点的电位
( A) E dl
P A
对于点电荷的电位
0 q ( R) R dl 2 4 0 A 4 0 R
第二章 静电场与恒定电场
2.1 电荷与电流的分布与表示法 2.2 2.3 泊松方程 拉普拉斯方程 2.4 介质中的高斯定律 2.6 导体系统的电容 电位移矢量 2.5 介质分界面上的边界条件
2.7 电场的能量和能量密度
2.8 恒定电场的基本方程 2.9 恒定电场与静电场的比拟
2.1 电荷与电流的分布及表示法
q ( r ) lim 0
若在电荷分布的空间内任取一个微小体积 ，则该体积 元的电荷量为 q (r )d

注：某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得。 定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：
q s (r ) lim s 0 s
dl a x dx a y dy a z dz E dl ( dx dy dz) d x y z
将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位差: B [ ( B) ( A)] ( A) ( B) E dl
1

s
' r r' ' ( r ) ds ' 3 s r r
4 0

l
' r r' ' ( r ) dl l ' 3 r r
图2.2.4 点电荷电场的叠加
图2.2.5 圆盘电荷对点电荷的作用力计算
2.2.2 真空中静电场的基本方程
静电场基本方程的积分形式
一、电荷与电荷分布
电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏 观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空 间某点上。如图2.1.1所示。
图2.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布
电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷 体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即
I dI J s lim l 0 l dl
穿过线段 l 的电流为
I J s ( r ) dl
l
图2.1.5 面电流密度与面电流
3、线电流：
电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面 积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动， 这样的电流称为线电流。用电流强度来描述： 线电流I与线电荷密度 l、电荷流动速度 v的关系为：
E 图2.2.10 c dl 的计算
当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此 利用斯托克斯定理，上式可写成：
c
E dl 0
c
s 静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。 从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。
E dl E dS 0
1 n qi s E dS 0 i 1
E dl 0
c
静电场基本方程的微分形式
E
0
E 0
立体角的定义：
空间某一面元 dS 对一定点O所张的立体角 d 定义：以O为球心，以 点O到面元 dS 的距离R 为半径作一球面，如图 2.2.8所示，则立体角 2 d 为 dS 在球面上的投影 dS ar 与 R 的比，即
P
q
RP
dR 2 R R
q 1 1 q C 4 0 R RP 4 0 R
若选取无穷远点为参考点，则 C 0 ，于是 ( R)
q 4 0 R
体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：
' 1 (r ) ' (r ) ' d C 4 0 r r ' s (r ) ' 1 (r ) ' dS C 4 0 s r r
若 q 点在闭合面内，则该立体角为 4 若 q点在闭合面内，则该立体角为 0
E dS
s
q
4 0 E dS 0
s
4
q
0
若S面内有N个点电荷，则根据叠加原理： 1 E dS 0 s 式中Q为闭合面的总电荷。
q
i 1
n
i

Q
0
J J 0 lim
I dI J0 s 0 S dS
J
图2.1.3 体电流示意图
• 在电流密度为J (r ) 的电流场中任取一个矢量面元 dS ，穿过矢量面元
S的电流为 J (r ) dS 如图2.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面S，则
体电流I
穿过曲面的电流为
图2.2.9 闭合面对定点的立体角
验证高斯定理
先研究一个点电荷的情况:
在点电荷q的电场中任选一闭合面S ，电场强度在S面上的通量为：
0 R dS 上式中 R 2 是面元对点电荷q所张的立体角
0 q R dS q E d S s s 4 0 R 2 4 0 s d


因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有 (r ) 高斯定律的微分形式 E
0
环流方程和旋度方程：
0 B q B R dl q E d l A 4 0 A R 2 4 0
R
dR RA R 2
RB
q 1 B q 1 1 4 0 R RA 4 0 R A RB
得出 r 点的电场强度为
E (r )
对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而
1 4 0
V

' ' r r ' ( r ) d ' 3 r r
同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为
E (r )
E (r )
1 4 0
定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：
q l (r ) lim l 0 l
点电wk.baidu.com密度
理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电 荷称为点电荷,如图2.1.2所示。 点电荷的电荷密度用 函数来描述。一个带电荷量为q的点 ' 电荷位于r ，其电荷密度为
(r ) q (r r )
q dq t 0 t dt
导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流； 若导电媒质中电荷流动的速度不随时间改变，则有
q dq I t 0 t dt lim
这样的电流称为恒定电流
1、电流密度矢量
• 体电流密度 J 定义 ：导电媒质中某点的电流密度的方向为 该点正电荷运动的方向，它的数值等于在该点通过垂直于 电荷运动方向的单位面积上的电流强度。
I l v
2.2 静电场的基本方程
2.2.1库仑定律、电场强度
电荷间的相互作用规律由库仑定 律描述。真空中静止的电荷 q1 对 q2 的相互作用力F12 为
1 q1q2 0 1 q1q2 F12 R R 2 3 4 0 R 4 0 R
图2.2.1电荷与电荷的相互作用
' 1 l (r ) ' (r ) ' dl C 4 0 l r r
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
E
拉普拉斯算符
拉普拉 斯方程
2
E 0
0
2
0 无 源 0 区 域
dS ar dS cos d 2 2 R R
图2.2.8 空间面元 dS 对一定点O的立体角
闭合面对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即 4 。 如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的代数和为零， 如图2.2.9b所示，因此，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。