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运筹学 本(复习资料)
《运筹学》课程复习资料一、判断题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
[ ]2.线性规划问题的每一个基本解对应可行解域的一个顶点。
[ ]3.任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。
[ ]4.已知y i*为线性规划的对偶问题的最优解，若y i*＞0，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。
[ ] 5.运输问题是一种特殊的线性规划问题，因而其求解结果也可能出现下列四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
[ ]6.动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。
[ ]7.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
[ ]8.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
[ ]9.对于原问题是求Min，若第i个约束是“＝”，则第i个对偶变量yi≤0。
[ ]10.用大M法或两阶段法单纯形迭代中若人工变量不能出基(人工变量的值不为0)，则问题无可行解。
[ ]11.如图中某点vi 有若干个相邻点,与其距离最远的相邻点为vj,则边[vi,vj]必不包含在最小支撑树内。
[ ]12.在允许缺货发生短缺的存贮模型中，订货批量的确定应使由于存贮量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。
[ ] 13.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
[ ] 14.在线性规划的最优解中，若某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，改变其价值系数cj，反映到最终单纯形表中，除xj的检验数有变化外，对其它各数字无影响。
[ ]15.单纯形迭代中添加人工变量的目的是为了得到问题的一个基本可行解。
[ ]16.订购费为每订一次货所发生的费用，它同每次订货的数量无关。
[ ]17.一个动态规划问题若能用网络表达时，节点代表各阶段的状态值，各条弧代表了可行方案的选择。
运筹学期末考试复习资料
《运筹学》课程综合复习资料一、判断题1.求解LP 问题时，对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ，其中：0≥"'j j x x ，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0>"'j jx x 。
答案：错2．在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路。
答案：对3．在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有(){}()t n en t n t N P λλ-==!，则同一时间区间内，相继两名顾客到达的时间间隔是相互独立且服从参数为λ的负指数分布，即有()te t X p λλ-==.答案：对4.已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝０，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余。
答案：对5.用单纯形法求解单纯形表时，若选定唯一入基变量k x （检验数>0），但该列的1,2...m=i 0ik a ≤，则该LP 问题无解。
答案：对6.对偶单纯形法中，若选定唯一出基变量i x （i x <0），但i x 所在行的元素（系数矩阵中）全部大于或等于0，则此问题无解。
答案：对7.LP 问题的可行域是凸集。
答案：对8.动态规划实质是阶段上枚举，过程上寻优。
答案：对9.动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。
答案：对10.目标规划中正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。
答案：错11.LP问题的基可行解对应可行域的顶点。
答案：对12.若LP问题有两个最优解，则它一定有无穷多个最优解。
答案：对13.若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。
答案：对14.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
答案：对15．对于同一个动态规划问题，逆序法与顺序法的解不一样。
《运筹学》复习参考资料27页word
《运筹学》复习参考资料资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师）要求掌握的各部分知识点第一部分线性规划问题的求解（相当于教材的第一章）——重要算法：单纯形迭代、大M法单纯形迭代、表上作业法、匈牙利法第二部分动态规划问题的求解（相当于教材的第三章）——重要算法：图上标号法第三部分网络分析问题的求解（相当于教材的第四章）——重要算法：破圈法、TP标号法、寻求网络最大流的标号法第四部分存储论简介（相当于教材的第七章）※杨老师关于学习方法的提示：《运筹学》属于应用数学的范畴，本门课程在管理类本科生层次开设时，又称“管理运筹学”，是现代数学理论和计算机技术应用于管理科学的新兴学科。
非应用数学系（专业）学生学习本门课程之前务必先具备“高数Ⅱ”（线性代数、概率论与数理统计）的知识基础。
学员同志们通过学习，必须领会数学建模的思想、系统工程的思想。
非全日制学生学习时，只要求知道若干典型数学模型及其算法的操作，即只须明白“怎样做”，而不必去过问“为什么”要这样做。
第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。
定义：达到目标的可行解为最优解。
㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。
1、将约束条件（取等号）用直线绘出；2、确定可行解域；3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。
4、确定最优解及目标函数值。
㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。
(完整word版)最全的运筹学复习题及答案
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）。
表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；(3）。
表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题.3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零.5．在线性规划问题中,基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解.9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时,引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式,目标函数求极大值,而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时,如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解. 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18。
如果某个约束条件是“≤"情形,若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19。
如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′ ， X j 〞， 同时令X j ＝X j ′－ X j 。
《运筹学》复习资料
《运筹学》复习资料注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）（一）多选题1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC）A决策变量 B约束条件 C目标函数 D 价值向量★考核知识点: 线性规划模型的构成.（1.1）附1.1.1（考核知识点解释）：线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。
例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。
例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。
如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。
2．下面关于线性规划问题的说法正确的是（AB）A．线性规划问题是指在线性等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
B．线性规划问题是指在线性不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
C．线性规划问题是指在一般不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
D．以上说法均不正确★考核知识点: 线性规划模型的线性含义.（1.1）附1.1.2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。
3．下面关于图解法解线性规划问题的说法不正确的是（ BC ）A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量的线性规划B 图解法适用于两个或两个以上决策变量的线性规划C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解D 以上说法A正确，B，C不正确★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）附 1.1.3（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.4．在下面电子表格模型中，“决策变量”的单元格地址为（ AB ）A . C12B . D12C . C4 D. D4★考核知识点: 电子表格中如何建立线性数学模型. （1.3）附1.1.4（考核知识点解释）：电子表格中的数学模型的建立：（1）要做出的决策是什么？（决策变量）；（2）在做出这些决策时有哪些约束条件？（约束条件）；（3）这些决策的目标是什么？（目标函数），将对应的问题数据放在相应的电子表格中即可.5．通常，在使用“给单元格命名”时，一般会给（ABCD ）有关的单元格命名A 公式B 决策变量C 目标函数D 约束右端值★考核知识点: 给单元格命名的原则. （1.3）附1.1.5（考核知识点解释）：给单元格命名的原则：一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。
《运筹学》复习终极参考资料
a11x1 a12 x2 ... a1n xn x n1 b1 xn 2 b2 a21x1 a22 x2 ... a2 n xn ... ... ... ... a x a x ... a x xn m bm mn n m1 1 m 2 2 x j 0，j 1，2 ， ... ，n
将这个原问题化为它的对偶问题—— 设 y1、y2、y2 分别为设备 A、B、C 单位工时数的加工费。 min w = 540y1+450y2+720y3 s.t.
3 y1 5 y 2 9 y3 70 9 y1 5 y 2 3 y3 30 y 0，i 1， 2， 3 i
图解法求解下列目标规划
第 11 页 共 19 页
d2 d2 d1 + d1 -
+
d4
+
d3 d4 B 4 6 8 A d3 +
x1
min z p1 (d3 d 4 ) P2 d1 P3d 2
x1 x2 d1 d1 x1 x2 d 2 d 2 x1 d3 d3 x2 d 4 d 4 x1 , x2 , di , di
类型一：供求平衡的运输规划问题（又称“供需平衡” 、 “产销平衡” ）
引例：某钢铁公司有三个铁矿和四个炼铁厂，铁矿的年产矿石量分别为 100 万吨、80 万吨和 50 万吨，炼铁厂年需矿石量分别为 50 万吨、70 万吨、80 万吨 和 30 万吨，这三个铁矿与四个炼铁厂的距离如下：
距 炼 铁 厂 铁 矿 离
——重要算法：最短路问题（标号法或者矩阵法） ，最小生成树（破圈法） 、中国邮递 员问题 排队论（M/M1/∞/∞系统）P209 例题 8.2
最全的运筹学复习题及答案教学提纲
最全的运筹学复习题及答案2、minZ=2x1-x 2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、 C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200， 250 和 100 件，最大月销售量分别为 250， 280和 120 件。
月销售分别为250， 280 和 120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10 米的相同型号的钢筋，今要截成长度为 3 米的钢筋90 根，长度为 4 米的 钢筋 60 根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省起运时间 服务员数 2 —6 4 6 — 10 8 10 一 14 10 14 — 18 7 18 — 22 12 22 — 2 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少 ?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M 法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
maxZ=5x1+3x2，约束形式为八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为34Z=10X l X2 X3 X4—10 b -1 f gX3 2 C O 1 1／ 5X l a d e 0 1(1) a～g 的值(2) 表中给出的解是否为最优解?( 1 ) a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g= － 5 ( 2) 表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题1．minZ=2x1+2x 2+4x3应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于 25七、已知线性规划问题 maxZ=2x 1+x 2+5x 3+6x 4其对偶问题的最优解为 Y l ﹡ =4， Y 2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
运筹学总复习
《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题• 基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。
标准形式：目标函数取“max ”、约束条件取“="、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称 为线性规划的可行域，使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。
•数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法原规划基本解是可行解原规划基本解的检验数小于等于零无可行解解无界计算：nr b । …b9 = min{-a\a > 0] = -i- a ka以a为中心元素进行迭代以a为中心元素进行迭代计算：o = max(o . o , > 0)计算：b = min(b\b < 0)计算:两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。
在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。
第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。
•练习题：1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示：每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅3.min w = x + 2 x + 3 x1 2 3x + 2 x + 3 x = 15s.t < 2x + x + 5x = 20x > 011~34.用对偶单纯形法求解线性规划问题：min w = 5 x + 2 x + 4 x1 2 33 x + x + 2 x > 4s .t < 6 x + 3 x + 5 x > 12x1 > 02 31 1~3第2章整数规划与分配问题•0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握(1)多个取1：¥x = 1，x,= 0,或 1.j=1(2) n 中取 k ：X % = k , x - 0,或 1.j =in 中至少取k ,改为E x > k , x = 0,或1.j -i n 中最多取k , 改为Yx < k , x = 0,或 1.j -i(3)变量取离散数值：x^^^cy.vi =1 i i£y = 1, y = 0或 1i i =1⑷选甲必须选乙，选乙不一定选甲：、 <久，、, 丁或1 （5）两个约束条件只需满足一个:（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选■%+ x w <1< x + x < 1 x , x , x 丙=0或 1I 0,当 x = 0⑼对f (x )= 1 k + cx ,当x > 0可表述为:匈牙利法 步骤：x + x > 2 一 y M < 3 x + 2 x < 10 + y M/ + y 2 = 1,片 y 2 = 0或 1式中：M 为任意大正数 （6）n个约束条件中满足k 个：I x + x > 2 一(1 一 y ) M或1 12一 |3x + 2x < 10 + yM ,y =2ax < 嗔yM< j =1(i = 1,2,L , n )i =1⑺若x 2 < 4，则x 5 >；否则x 2> 4，। x < 4 + y M<x 5>0-y 1M, x 2 > 4- y2Mx 5 < 3 + y 2y 1 +y 2 = y। x < 4 + yMx ： > 0 - yM 或1 5 - x 2 > 4 - (1 - y ) M 「0I f (x ) = yk + cx< y < Mx x < My1.从每行中减去最小数2.再从每列中减去最小数3.⑴先看行,从第一行开始，如该行只有一个0,给该0打A,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行；（2）再看列，如该列只有一个0,给该0打A，划去该0所在行，如无0或两个以上0,转下一列；⑶重复（1）（2）,可能出现三种结局：a.有m个打A的0,令对应A号的xij=1,即为最优.b.存在0的闭回路.对闭回路上的0按顺时针编号，任取单号或双号打A，分别对打A的0都划去所在行（或都划去所在列）返回3（1）C.打A的0的数＜m转44.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3练习题：1.某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如要求：（1）投资额不超过5000万元；（2）至少安排150人员就业；（3）年利润额尽可能地多。
运筹学复习资料
运筹学复习资料导言：运筹学是一门研究管理、决策和规划问题的学科，使用数学、统计学和计算机科学等工具和技术来解决实际问题。
在现代社会中，运筹学在各个领域都有广泛的应用，包括制造业、物流管理、供应链管理、信息技术等。
本文档将介绍运筹学的基本概念、方法和应用，以帮助读者复习和理解该学科。
一、运筹学的概述1.1 定义和背景运筹学是一门综合性学科，旨在解决实际问题和优化决策。
它结合了数学、统计学和计算机科学等多个领域的方法和技术，可以帮助决策者做出最佳的决策。
1.2 运筹学的历史运筹学的起源可以追溯到第二次世界大战期间，当时运筹学的方法和技术被用于军事决策和规划。
随着计算机的发展和应用，运筹学得到了快速发展，并在各个领域都得到了广泛应用。
二、线性规划2.1 线性规划的基本概念线性规划是运筹学中最重要的方法之一，其基本思想是通过数学模型来描述和解决实际问题。
线性规划的目标是寻找一个最优解，使得目标函数最大或最小，同时满足一系列约束条件。
2.2 线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要有图形法和单纯形法两种。
图形法适用于二维规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来找到最优解。
而单纯形法适用于高维规划问题，通过迭代计算来找到最优解。
三、网络优化3.1 网络的基本概念在运筹学中，网络是指由节点和弧组成的图形，用于描述和解决一系列连接和流动问题。
节点表示供应点或需求点，弧表示连接的路径。
网络优化的目标是寻找最佳的路径和流量分布。
3.2 最小生成树算法最小生成树算法是网络优化中常用的一种算法，用于寻找一个连通图的最小生成树。
最小生成树算法主要有Prim算法和Kruskal 算法两种，可以有效地减少路径的总长度。
四、整数规划4.1 整数规划的概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其变量需要取整数值。
整数规划适用于某些决策变量只能是整数的问题，如分配问题、路径选择问题等。
4.2 整数规划的求解方法整数规划的求解方法主要有分支定界法和割平面法两种。
《运筹学》期末复习题.docx
《运筹学》期末复习题第一讲 运筹学概念一、填空题1 •运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2. 运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科 学决策的依据。
3. 模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽彖。
4通帘对问题屮变量值的限制称为约束条件,它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5. 运筹学研究和解决问题的某础是最优化技术,并强调系统整体优化功能。
运筹学研究 和解决问题的效果具冇连续性。
6. 运筹学用系统的观点研究功能Z 间的关系。
7. 运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8. 运筹学的发展趋势是进一步依赖于宝篡枇的应用和发展。
9. 运筹学解决问题吋首先要观察待决策问题所处的坯境。
10. 用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11・运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳力案。
12.运筹学中所使用的模型是数学模型°用运筹学解决问题的核心是建立数学模型,并対 摸型求解。
13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14. 运筹学的系统特征Z —是用系统的观点研究功能关系。
15. 数学模型中，“s ・t”表示约束。
16. 建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17. 运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的篮理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小纟R 简称为 ORo二、单选题1. 建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（A ） A.销售数量 B.销售价格 C.顾客的需求2. 我们可以通过（C ）来验证模型最优解。
A.观察 B.应用 C.实验3. 建立运筹学模型的过程不包括（A ）阶段。
A.观察环境B.数据分析C.模型设计4. 建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ）7. 运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
运筹学复习2.DOC
1，系统学包含的三大科学：运筹学、控制科学和信息科学2，运筹学解决问题的流程：提供决3，线性规划的数学表达形式：一般式、紧缩式、矩阵式、向量式。
4，线性规划的三要素：决策变量、目标函数和约束条件5，初始基有哪几种变量组成：决策变量、松弛变量和人工变量6，处理人工变量的方法：大M法和两阶段法7，线性规划问题中，有n个决策变量，有m个约束条件，则有Cn m个基本解8，出基准则：“最小比值原则”（或θ原则）。
9，凸集的概念：凸集——设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X （1）∈K，X（2）∈K的连线上的一切点：αX（1）+（1-α）X （2）∈K （0<α<1），则称K为凸集；10，凸集与可行域的关系：可行域一定是凸集，凸集不一定是可行域。
11，线性规划的最本质的特征：决策变量和右端系数是非负的。
12，可行解——满足所有约束条件的解；13，基本解概念——令非基变量=0，则由Ax=b可求出一个解，这个解x 称为基本解；14，可行解+基本解=基本可行解（即基本可行解是可行解和基本解的交集）15，灵敏度分析研究的两个变量：原始数据和最优解16，灵敏度分析是在什么形式基础上进行的：最优单纯形表17，对偶问题在原始问题约束条件变化时变的是什么：决策变量18，图解法的实际方法：用解联立方程的方法求出最优解的精确值19，图解法优点：简单、直观缺点：仅有两个至多不超过三个决策变量的线性规划。
20，线性规划的基本可行解和可行域的顶点是一一对应的21，在可行域中寻找LP的最优解可以转化为只在可行域的顶点中找，从而把一个无限的问题转化为一个有限的问题。
22，用图解法求解线性规划时，各种求解结果与各种类型的可行域之间的对应关系？唯一最优解——非空有界、无界；无穷多个解——非空有界、无界；最优解无界——无界；无解——空集。
23，单纯形法的基本思想：即从可行域的一个顶点（基本可行解）开始，转移到另一个顶点（另一个基本可行解）的迭代过程，转移的条件是使目标函数值得到改善（逐步变优），当目标函数达到最优值时，问题也就得到了最优解。
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我们老师付雅琴说：计算题来源于上课的例题（书本上的），以及让我们做过的 课后习题。
最近考试较多，希望大家做好考前复习，最后主大家考试顺利！ 试题结构：1、判断题（10X2、）2、 单选题（10X2、）3、 多选题（5 X2'）4、计算题（5X10'）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1・定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、 财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最 有效的管理。
2•研究内容：线性规划、整数线性规划、冃标规划、图与网络模型、存储论、排 队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测第二章：线性规划的图解方法1. 怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小 值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
3. 运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案） 规定目标和明确问题 收集数据和建立模型 求解模型和优化方案 检验模型和评价方案 方案实施和不断改进（课木答案） 认清问题找岀一些可供选择的方案 确定目标或评估方案的标准 评估各个方案 选出一个最优的方案 执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP问题的标准型max Z = V C J X JJ=Iny a..x. =h.s./v 角i = 1,2,…，加Xj>0, j = 1,2,•••,/?特点：(1)口标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项血都大于或等于零(3)决策变量七为非负。
一般形式目标函数：max (min) z = Ci X! + c2 x2+ …+ c n x n约束条件：s. t. Xi + 弘x2+ …+ a{n x n W (二，2 ) b：02i X| + 曰22 x2+ …+ 為Xn W (二M ) b2a vA Xi + 去X2 + …+ a mn Xn W （二2 ） b tXl , X2 ,…，Xn NO标准形式a vA Xi + X2+ …+ % x n bm目标函数：max z =Cl Xi + C2 X2 +…+ C n X n约束条件：s. t.Xi + 曰12 X2 + …+ 曰In Xn - bi日21Xi + 日22 X2 + …+ 日2n X n- bx t , X2 ,…，Xn 2 0, bi 204 •线性问题的性质与判断(1)线性规划可行域为凸集(2)最优解在凸集上某一顶点达到(特殊情况下为凸集的某条边)(3 )可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况(1)图解法使用范圉:仅有两个决策变量的LP(2)基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b・将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c•作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
(3)解的状况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解(4)重要结论：如果线性规划有最优解,则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；a・无穷多个最优解。
若将例1中的冃标函数变为max z二50XI+50X2,则线段BC上的所有点都代表了最优解；b・无界解。
即可行域的范围延仲到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。
一般来说，这说明模型有错,忽略了一些必要的约束条件；c.无可行解。
若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x^3x^1200, 则可行域为空域,不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
6.通过图解法了解LP解的四种形式唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解7.灵敏度分析'建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）5,知，bj变化时，对最优解产生的影响。
8•规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
第三章：线性规划问题的计算机求解1 •百分Z—百法则（一道计算题）当前LP问题的最优解（或：对偶价格）不变允许增加量：系数在上限范围内的最大增加量二上限一现在值允许减少量：系数在下线范围内的最大减少量二现在值一下限工增加量百分比+工减少量百分比＜100%2.百分Z—百法则的注意事项（1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作零（2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过100%并不一定引起变化；（3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化的情况。
这种情况下，只有重新求解。
第四章：线性规划在工商管理中的应用1•怎样根据实际问题建模2•三要素：决策变量、目标函数、约束条件第五章:单纯形变（概念、计算题）1.单纯形变的优势2•凸集、可行基解、最优解（三个定理）定理1:若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解对应可行域(凸集)的顶点。
定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。
(或在某个顶点取得3•基、基向量、基变量、非基变量max Z =工CjXj ----------------------- (1)戶1X a ij x j = b i 0 T，2,…,m) --⑵S.t V J = 1Xj>0, J = 1,2,•••,/? ------------- (3)(1)基：设A为约束条件②的mXn阶系数矩阵(m<n),其秩为m, B是矩阵A中m阶满秩子矩阵(丨B丨H0),称B是规划问题的一个基(basis) o设:a\\ …a\m\ \ \ …几)(2)基向量：称B屮每个列向量( j = 1 2……m)为基向量。
与基向量P j对应的变量x,为基变量(basic variable) o除基变量以外的变量为非基变量。
(3)非基向量：4.基解、基可行解、可行基(1)基解：某一确定的基，令非基变量等于零,由约朿条件方程②解出基变量, 称这组解为基解。
在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m,基解的总数不超过C,(2)基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。
(3)可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
5.单纯形迭代的基木思路从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是，则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代,再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止6•单纯形求解线性规划(标准型一一规范型，计算题)7.人工变量法（大M法）一一怎样判断LP问题无可行解&单纯形变法解的判断（5种）解的判别：1）唯一最优解判别：最优表屮所有非基变量的检验数非零，则线性规划具有唯一最优解。
2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检骑数为零，则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
3）无界解判别：某个oQO且切W0（7=1, 2,…,ni）则线性规划具有无界解。
4）无可行解的判别：当用大M单纯形法计算得到最优解并且人工变量依然为基变量时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
第六章:单纯形变法的灵敏度与对偶1.怎样把LP问题转化为对偶问题（1）目标函数由MAX变为MIN（2）原问题有多少约束行，对偶问题的目标函数就有多少变量（3）原问题目标函数有多少变量，对偶问题就有多少约束行（4）原问题的价值系数C变为对偶问题右端常数项B（5）原问题的右端常数B变为对偶问题目标函数的价值系数C（6）原问题的系数矩阵A转置后变为对偶问题的系数矩阵操作表格如下：第七章：运输问题（有一道计算题）1 •何为产销平衡？产大于销？销大于产？2.运输规划问题建模3.表上作业法求检验数并判断是否得到最优解:调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得 到新的基可行解，转入第二步4•初始可行解（最小元素法、基变量的个数）（1） 最小元素法在表上找到单位运价最小的X2”并使X2I 取尽可能大的值，即x 2l =min （4, 3）=3,把A?的产量改为1, B 】的销量改为0,并把B 】列划去。
在剩下 的3X3矩阵中再找最小运价，同理可得其他的基本可行解。
一般来说用最小元 素法求得的初始基木可行解比西北角法求得的总运价要少。
这样从用最小元素法 求得的初始基本可行解出发求最优解的迭代次数可能少一些。
（2） 基变量的个数（略）5. 非基变量的检验数（闭回路、位势法）（1） 闭回路法对于代表非基变量的空格（其调运量为零），把它的调运量调整为1,由于 产销平衡的要求，我们必须对这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少E 最后我们计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。
如果所有代 表非基变量的空格的检验数都大于等于零，则已求得最优解，否则继续迭代找出 最优解。
（2）位势法（略） 6. 进基、出基（闭回路调整法）（1） 选取所有负检验数中最小值对应的非基变量Xij 作为入基变量，以求尽快 实现最优。
（2） 在以x 匚为出发点的闭回路中，找出所有偶数的顶点的调运量，以其中的最 小的变量为出基变量(3) 将该闭回路上所有的奇数顶点的调运量增加这一数值，所有的偶数顶点的 调运量第二 步当非基变量的检验数。
全都非负时得到最优解，若存在检验• • 数。
＜0,说明还没有达到］ IJ优, 转第三步。
闭回路法 位势法第三 步减少这一数值。
7.多个最优解？退化解？(1)如何寻找多个最优方案？识别是否有多个最优解的方法和单纯形表法一样，只需看最优方案屮是否存在非基变量的检验数为零。
如在本题中给岀的最优运输方案中九的检验数为0, 可知此运输问题有多个最优解。
只要把九作为入基变量，调整运输方案，就可得到另一个最优方案第八章:整数规划1•整数规划？纯整数规划？0-1规划？(1)一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
(2)纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
(3)0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
2.整数规划的解VS对应的LP问题的解3.整数规划问题的建模第十章：动态规划1.多阶段决策、最优性定理(1)在实际生产经营活动中，常常可以将一个较复杂的决策过程划分为若干个相互联系的阶段，而每个阶段都需要做岀决策，并口某个阶段的决策确定之后，将影响其后的下一个阶段的决策。