(江苏专用)高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案

专题14圆_锥_曲_线

回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合．

预测在2013年的高考题中：

(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．

(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．

1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10

5

，则m 的值是________．

解析：当m >5时，

105＝m －5m

，解得m ＝25

3； 当m <5时，

105＝5－m 5

，解得m ＝3. 答案：3或25

3

2．若抛物线y 2

＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2

＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝32.

答案：32

3．双曲线2x 2

－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 2

3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d

＝4－26(舍去)．

答案：26＋4

4．(2012²江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2

m 2＋4

＝1的离心率为5，则m 的值为

________．

解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2

＋4，

∴c ＝m 2

＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4

m

＝5，

解得m ＝2. 答案：2

5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1

PF 2

＝

e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．

解析：∵

PF 1

PF 2

＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)， PF 1＝

2ae

1＋e

. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e

1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2

－1.

又0

[典例1]

(2012²四川高考)(1)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长

最大时，△FAB 的面积是________．

(2)(2011²福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．

[解析] (1)法一：依题意得知，点F (－1,0)，不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)，则有

B (2cos θ，－3sin θ)，|FA |＝|FB |＝2cos θ＋12

＋3sin 2

θ＝2＋cos θ，|AB |＝23sin θ，

|FA |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积等于1

2³(1＋1)³3

＝3.

法二：椭圆右焦点为F ′(1,0)．

由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 则△FAB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB | ＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB | ＝4a －||F ′A |＋|F ′B |－|AB ||≤4a .

所以△FAB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)这时|AB |＝3， 此时S △FAB ＝1

2

³2³3＝3.

(2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ 4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，

所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝1

2

；

当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝

2c 2a ＝3m 2m ＝32

. [答案] (1)3 (2)12或3

2

解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别．

[演练1]

(1)已知双曲线x 2a －y 2

2

＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________；

(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2

＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．

解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2

－y 2

2＝1，

∴其渐近线方程为x ±

y

2

＝0，即y ＝±2x .

(2)由y 2

＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42

＋3

2

＝2.

答案：(1)y ＝±2x (2)2 [典例2]

(2012²北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2

2

.直线y ＝k (x －

1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为

10

3

时，求k 的值． [解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，c a ＝2

2，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得b ＝2，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k x －1，x 24＋y

2

2

＝1得

(1＋2k 2

)x 2

－4k 2

x ＋2k 2

－4＝0.

设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k

2

1＋2k 2，

x 1x 2＝2k 2

－41＋2k

2，