微分方程应用举例

ln M t ln c , 即M ce t ,
代入M
t 0
M 0 , 得 M 0 ce C
0
M M 0e
t
衰变规律
案例3【 物体冷却问题】 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气 温度恒为 24o C ，在时刻 t 0时，测得其温度 为 150o C ， 10分钟后测得温度为 100o C ．已知 牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的 温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系， 并计算 分钟后该物体的温度． 20
解 设 T T (t ),
则T (t ) 0. 由牛顿冷却定律，有
dT k ( t 24), k 0 dt T (0) 150.
用通解公式法解得 24 126e T
将T (10) 100代入，解得
k t
1 126 k ln 0.051 10 76
R sin t L cos t
代入上式，得
E0 R sin t L cos t Ce i 2 2 2 R L
R t L
又i (0) 0，代入上式，求得
E0 L C 2 ， 2 2 R L
所以
R t E0 R sin t L cos t L e L i (t ) 2 2 2 R L
所以 T 24 126e
0.051t
将t 20代入，解得
T ( 20) 24 126e
0.05120
64(C )
案例4【电路电流问题】 设有一电路如图所示，R 是电阻，L是电感，它们 都是常数，电源的电动 势为 E E0 sin t
R
L E
i
K
( E0 ， 是常数）
微分方程应用举例
案例1【求曲线方程问题】 曲线 L 上点 M ( x, y ) 处的法线与 x 轴的交 点为 N ，且线段 MN 被 y 轴平分．求曲线 L 的
y
方程．
y y
N
M ( x, y )
o
x
x
解 设曲线的方程为 y y( x )
先建立法线 MN 的方程． 设法线上的动点坐标为 y
于是，法线 MN 的方程为
1 Y y ( X x) y
又因为线段 MN 被 y 轴平分，从而 MN 与 y 轴 交点坐标为 P (0 , y ) ，代入上式，得
2
y 1 y (0 x ) 2 y
用分离变量法解得
即 yy 2 x
y x C，C为任意常数 2
在时刻 t =0 时合上开关K，电路中的电流为i(t)，
根据电学原理，知道
求 i (t ) .
di L R i E0 sin t， dt
di 解 将方程 L R i E0 sin t改写成 dt E0 di R i sin t , dt L L E0 R 则P ( t ) ，Q( t ) sin t，所以 L L
2
2
案例 2【衰变问题】 衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比, 已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M (t ) 随
时间 t 变化的规律.
dM 解 衰变速度 , 由题设条件，得 dt
dM M dt
( 0衰变系数 )
dM dt M
dM M
dt ,
i e


R dt L
R E0 L dt sin t e dt C L
e

R t L
E0 R t e L sin t dt C L
利用分部积分，不难求得

E0 e L
R t L
sin t dt
R t L
E0 2 e 2 2 R L
【课外作业】
同步练习5.4：1，2，3

练习【 食物加热问题】 将某种食物置于 100o C 的微波炉内加热， 其温度上升的规律满足微分方程
dT k (100 T ), k 0 dt
已知该食物放进炉内时的温度为 10o C ，2分钟
后温度达到 40o C ，求食物温度与时间的函数关
系，并计算4分钟后该食物的温度．