五年级容斥原理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容斥问题
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A 与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的 总量可以用下面的方法计算： 总量=A+B-ab
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
例 3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4 ： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
语文 优秀 的人 数： 65人 两科 都优 秀的 人数： 30 数学 优秀 的人 数： 87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习： 1 、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100 分的有 26 人，两门都得 100 分的有 8 人，求这个 班共有多少人？
ab
A B
求总数
例1：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知 会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有 多少人？
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
弹电 子琴 的人 数： 17人
？人
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学 优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年 级一共有多少人？
100－33=67 （个）
答：有67个。
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
练习：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参
加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组 的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加 的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参 加的有多少人？ 83+86-25=169-25=144（人） 250-144=106（人）
37＋42－48=31（人）
练习：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的 有多少人？
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
练习
某班有50名学生，在一次测试中有26人满分， 在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都 没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试 都获满分的有多少人？
中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两 种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
5、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？ 6、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名 不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年 乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
2、一个班的52人都在做语文和数学作业，有 32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业， 这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文外语教师中，每人至少懂得英语和日语
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少 有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
原理二
总量=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
例1、
如图，三个圆的面积均为30，A与B、B与C、A 与C重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这 三个圆覆盖的部分的面积为2，请问： 这三个圆所覆盖的面积是多少？
2、甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人， 丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
2、五年级一班每人都至少参加了一科竞 赛。有32人参加数学竞赛，有27人参加 英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中 参加数学和英语两科的有12人，参加英 语和语文两科的有14人，参加数学和语 文的有10人，三科都参加的有3人。那么 五年级一班总共有多少人？
3、某校五年级共有100人，参加语文、数学、英 语三科活动小组，每人至少参加一组，已知参加语 文小组的有52人，参加英语小组的有61人，参加 数学小组的有63人，同时参加语文和数学小组的 有30人，同时参加语文和英语小组的有28人，同 时参加数学和英语小组的有19人。那么三组都参 加的有多少人？
例4、在100个外语教师中，懂得英语的75人， 懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人） 120-100=20（人） 75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有 21人，问：只做对第一题的有多少人？
2 、 有长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形与边长 5 厘米的正方
形。如 图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面 积？
求重合部分
例2：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完
了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做 完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问： “谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有 人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是 多少个？
C
5 2 8
A
6
B
练一练
1、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法 三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。 同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加 体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组 和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。光明 小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
练习：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
例3： 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不
是6的倍数有多少个？
100÷5=20（个） 100÷6=16 （个） ……4
不是5的倍数； 不是6的倍数； 不是30的倍数
100÷30=3 （个） ……10 5的倍数的个数； 20＋16－3=33 （个）
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A 与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的 总量可以用下面的方法计算： 总量=A+B-ab
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
例 3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4 ： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
语文 优秀 的人 数： 65人 两科 都优 秀的 人数： 30 数学 优秀 的人 数： 87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习： 1 、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100 分的有 26 人，两门都得 100 分的有 8 人，求这个 班共有多少人？
ab
A B
求总数
例1：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知 会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有 多少人？
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
弹电 子琴 的人 数： 17人
？人
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学 优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年 级一共有多少人？
100－33=67 （个）
答：有67个。
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
练习：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参
加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组 的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加 的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参 加的有多少人？ 83+86-25=169-25=144（人） 250-144=106（人）
37＋42－48=31（人）
练习：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的 有多少人？
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
练习
某班有50名学生，在一次测试中有26人满分， 在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都 没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试 都获满分的有多少人？
中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两 种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
5、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？ 6、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名 不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年 乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
2、一个班的52人都在做语文和数学作业，有 32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业， 这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文外语教师中，每人至少懂得英语和日语
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少 有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
原理二
总量=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
例1、
如图，三个圆的面积均为30，A与B、B与C、A 与C重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这 三个圆覆盖的部分的面积为2，请问： 这三个圆所覆盖的面积是多少？
2、甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人， 丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
2、五年级一班每人都至少参加了一科竞 赛。有32人参加数学竞赛，有27人参加 英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中 参加数学和英语两科的有12人，参加英 语和语文两科的有14人，参加数学和语 文的有10人，三科都参加的有3人。那么 五年级一班总共有多少人？
3、某校五年级共有100人，参加语文、数学、英 语三科活动小组，每人至少参加一组，已知参加语 文小组的有52人，参加英语小组的有61人，参加 数学小组的有63人，同时参加语文和数学小组的 有30人，同时参加语文和英语小组的有28人，同 时参加数学和英语小组的有19人。那么三组都参 加的有多少人？
例4、在100个外语教师中，懂得英语的75人， 懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人） 120-100=20（人） 75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有 21人，问：只做对第一题的有多少人？
2 、 有长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形与边长 5 厘米的正方
形。如 图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面 积？
求重合部分
例2：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完
了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做 完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问： “谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有 人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是 多少个？
C
5 2 8
A
6
B
练一练
1、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法 三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。 同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加 体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组 和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。光明 小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
练习：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
例3： 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不
是6的倍数有多少个？
100÷5=20（个） 100÷6=16 （个） ……4
不是5的倍数； 不是6的倍数； 不是30的倍数
100÷30=3 （个） ……10 5的倍数的个数； 20＋16－3=33 （个）