第五章测量误差的基本知识

mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水 准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
二．偶然误差 (accident error)
1、定义： 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测， 如误差出现符号和大小均不一定，这种误差 称为偶然误差。但具有一定的统计规律。
偶然误差的四个特性：
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限 值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；——有界性*
▪ 12某线段长度为300m,相对误差为1/1500,则该线段中 误差为______。
▪ 13有一N边多边形,观测了N-1个角度,其中误差均为 ±10″,则第N个角度的中误差是_____。
▪ 14在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中误差为 m，则正方形的周长（Ｓ=4a）中的误差为（ ）
▪ Ａ.m； Ｂ.2m； Ｃ.4m ▪ 14丈量某长方形的长为α=20，宽为b=15，它们的丈量精
差为m＝±10″，试求该n变形内角和 的中误差。
▪ 5量得一圆的半径R＝31.3mm，其中误 差为±0.3mm，求其圆面积及其中误差
▪ 1观测误差按性质可分为_______和_______两类。
▪ 2测量误差是由于______、_______、_______三方 面的原因产生的。
▪ 3直线丈量的精度是用_____来衡量的。
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率 大；——偶然性或随机性
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；——对 称性（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值， 随着观测次数n的无限增大而趋于零——低偿性
即
lim 0
n n
式中 [Δ] ——偶然误差的代数和，
1
2
n
▪ 1.误差定义 ▪ 2.观测条件（观测者、仪器、环境） ▪ 3.测量误差分类（系统误差、偶然误差） ▪ 4.精度定义，评定精度的标准（中误差、相对
中误差、容许误差） ▪ 5.误差传播定律 ▪ 6.真值未知时用算术平均值改正数计算观测值
中误差
作业
▪ P132思考题3 ▪ P132 习题 1，2 ▪ 4设有一n边形，每个角的观测值中误
间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，
对称于y轴。 各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
图6-1 误差统计直方图
▪ 此外，在测量工作中还要注意避免粗差(gross error)（即：错误）的出现。
5.1.5精度的概念及评定的标准
▪ 精度定义：对某个量进行多次同精度的观 测中，其偶然误差分布的离散程度。
▪ 常用衡量精度的指标： ▪ 中误差、相对中误差、容许误差
1.中误差
设在相同的观测条件下，对某量进行n次
观测，其观测值为 l1 , l2 ,…，ln ，
相应的真误差为 则中误差为：
1，
2，…，
n
m [] n
Δ＝l－X
[]
平均值、算术平均值中误差及相对中误差
测次 距离
改正数v vv
计算
1
124.553 ＋10
100
m=±6.5
2
124.565 －2
4
M=±2.6
3
124.569 －6
36
4
124.570 －7
49
5
124.559 ＋4
16

6
124.561 ＋2
4
平均
124.563 【v】＝＋1 【vv】＝ 209
第五章小节
例3.用长30m得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的
中误差为5mm，求全长D及其中误差。
解：全长D 30 10 300m
但D l1 l2 ... l10
mD ml n 5 10 16mm D 300 0.016(m)
例1 在某三角形ABC中，直接观测A和B
角，其中误差mA分 别3″为，mB 4″
度（ ）
▪ Ａ相同； Ｂ.不同； Ｃ.不能进行比较 ▪ 16衡量一组观测值的精度的指标是（ ） ▪ Ａ.中误差； Ｂ.允许误差； Ｃ.算术平均值中误差 ▪ 17在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（ ） ▪ Ａ.相对误差； Ｂ.中误差； Ｃ .往返误差 ▪ 18下列误差中（ ）为偶然误差 ▪ Ａ.照准误差和估读误差； Ｂ.横轴误差和指标差；
▪ 8在观测条件不变的情况下,为了提高测量的精度,其 唯一方法是______。
▪ 9当测量误差大小与观测值大小有关时,衡量测量精度 一般用______来表示。
▪ 10测量误差大于______时,被认为是错误,必须重测。
▪ 11用经纬仪对某角观测四次,由观测结果算得观测值 中误差为±20″,则该角的算术平均值中误差为 _____．
2．相对误差
测量工作中，有时以中误差还不能完全表达观测结果
的精度。例如，分别丈量了100m及50m两段距离，其
中误差均为 0.1m 并不能说明丈量距离的精度，因为量距时其中误差或
相对误差，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通
常用分子为１的分数形式表示。例如上例中前者的相
对误差为
0.1 1 100 1000
mz2
f12m12
f22m22 …
f
m 2 2
nn
mz
F ( x1
)2
m12
F ( x2
)2
m22
…＋( F xn
)2
mn2
5.2利用误差传播定律计算中误差步骤：
▪ 1、确定间接观测量与直接观测量之间的 函数关系
▪ 2、对各直接观测量求偏导，必要时将直 接观测量值带入求偏导。
▪ 3、将偏导值、直接观测量值带入误差传 播定律中求偏导
例1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其 中误差 mD 0.01m,求建筑物得圆周长及其 中误差。
解：圆周长
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差mP mD 3.1416 (0.01) 0.03m
结果可写成 P 108.38 0.03(m)
例2. 水准测量从A进行到B, 得高差hAB 15.476m,
▪
等精度观测
▪
非等精度观测
▪
§5.1.4 测量误差的分类及处理方法
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：
系统误差和偶然误差。
一．系统误差(system error) 1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观
测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律 变化，这种误差称为系统误差。
2．特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通 过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 必须限制在允许范围内。
P 68.3％ Ｐ 2 2 95.4％ Ｐ 3 3 99.7％
允 限 3m或 允 限 2m
超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。
5.2误差传播定律
▪ 误差传播：直接观测值误差对间接观测值 有影响。
▪ 误差传播定律
Z F ( X1, X 2 ,…，X n )
12
22
…+
2 n
例7－１设有甲，乙两组观测值，其真误差分别为：
甲组： 4、 2、0、 4、 3
乙组： 6、 5、0、1、1
则两组观测值的中误差分别为：
m甲
16 4 0 16 9 3.0 5
m乙
36 25 0 11 3.5 5
由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高，因为乙组观测值中 有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，测量工作中采用中 误差作为衡量精度的标准。
，后者则为
大比值小，丈量精度高。
0.1 1 50 500
前者分母
K |m| 1 D D/|m|
注意：观测角度不能用相对中误差衡量
3．极限误差
中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个 别误差的大小，因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍 ，还要引入极限误差的概念，极限误差又称为允许误差，简称 限差。偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对 值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误 差中，误差落在区间 , 、 2， 2 、 3， 3 的概率分别为：
图形：偶然误差分布频率直方图
四个特性：有界性，偶然性，对称y性，抵偿性。
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
误差分布频率直方图
x=
用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区
中误差mhAB 0.012m,
h m 从B到C得高差 5.747m,中误差 0.009m,
BC
hBC
求A, C两点间的高差及其中误差。
解：hAC hAB hBC 15.476 5.747 21.223m
mhAC
m2 hAB
m2 hBC
0.0122 0.0092 0.015m
hAC 21.223 0.015(m)
▪ 难点：误差传播定律及其应用
§5.1测量误差与精度
▪ 5.1.1 测量误差的概念
▪ 测量误差（观测误差）：观测量之间的差值 或观测值与真值之间的差值
▪ Δ＝l－X
▪ Δ——测量误差，
▪ l ——观测值 ▪ X——真值
测量误差不可避免
5.1.2测量误差的来源
观测条件
观测者
仪器设备
环境
5.1.2测量误差的来源