第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件

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shxexex,
2
chxexex
2
此 时 解 也 可 以 是 指 数 形 式
即 ： fx B 1 e x p x x B 2 e x p x x
3 ） 若 k x 0 , 解 为 ： fx C 1 x C 2
•对 g y ,h z同 样 有 上 述 三 种 可 能 解 的 形 式 。
4U 0
n 2
sin n
2
sinh na
b
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n 1n 4U 0 2ssiinnn nh2asinnhb xsinnb y
b
圆柱坐标和球坐标中的分离变量法，道理和思路是 一致的，这里不再重述，当然不讲就不在考试范围之内。
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课堂练习： 一个沿 z 轴很长的横截面为矩形的金属管， 其余三边电位为 0，第四边与其它边绝缘，
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
f A1sinh(xx)
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所以， n 1C nsi nnb h x si n nb y XnY n
下面待定系数： 在 x＝a 边界上，
再加上一种等效法，如镜像法
2
第一节 直角坐标中的分离变量法
适用于：1、所给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合 (或部分相合)；
2、其解可用三个函数乘积表示,每个函数 只是一个坐标的函数。
目 的: 通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。
2＝ 0，即 x 22+ y 22+ z 22=0
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令 f(x)g (y)h (z)
A1
sinkx
x
A2
coskx
x
k2 x
f
1） 若 kx为 实 数 ， 解 为 ：
fxA1sinkxxA2coskxx
周 期 函 数 ； 第 一 项 过 零 点 .
2） 若 kx为 虚 数 kx= jx,解 为 ：
fxB 1shxxB 2chxx
非 周 期 函 数 ； 第 一 项 过 零 点 .
a,y n 1C nsi nn b h a si n nb y
使用三角函数正交归一性：在上式两边同时乘以
sin my b
，再在 b dy 0
，则可
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左边
s in
my
b
在
b
0
dy上积分＝
b
0
a,
y
s in
my
b
dy
＝ b / 2 U 0b sin my dy
0y
f''g h fg ''h fg h '' 0
f '' g'' h'' 0 f gh
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上式成立，每项必为常数，可令:
f x ＝ f x
k x2
g y g y
k y2
h z h z
k z2
即
f g
x＝ kx2 f x y ky2g y
hz kz2hz
kx、 ky、 kz称 为 分 离 变 量 常 数 kx2＋ ky2＋ kz2＝ 0
b
b b/
2
U
0
1
y b
sin
my
b
dy
U0 b
b
m
2
sin m
2
b2
2m
cos m
2
U 0b
m
cos
m
2
U 0b
m 2
sin
m
2
U 0b
2m
cos
m
2
2U 0b
m 2
sin
m
2
正交归一：
0 bsi n nb y si m nb y d y 0 bsi2 n 0 nb y ,m d n y,m n11
a
X
解：由边界条件 x,0 x,b 0知，方程的基本
解在 y 方向应该是周期函数，且仅仅取正弦函数。
选f B1sink(yy)B2cosky(y)
当y0, f B10B21B2 0
f B1sink(yy)
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Yn
sin
n
b
y
ky
n
b
为实数
则
k2 x
k2 y
0
k
x
2＝wk.baidu.com
n
b
2
k
x＝j
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
kx、 ky、 kz不 能 全 为 实 数 ， 且 只 有 两 个 是 独 立 的 。
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•解 的 形 式 由 分 离 常 数 所 决 定
f ' A1kx coskxx A2kx sinkxx f '' A1kx2 sinkxx A2kx2 coskxx
例 如 ， 对 fx＝ kx2fx
k2 x
将以 y＝b 代入，得到 ，
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U
sin
x
a
x,b n 1C nsi n n a x si n n ab h
C1sinaxsinhabC2sin2axsinh2ab C3sin3axsinh3ab
通过比较得， C1sinU hb,
a
C2 C3 0
从而管内电位为
x,
y
Cn
n1
sin
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
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第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
• 根 据 边 界 条 件 从 中 确 定 可 能 解 的 形 式 。
再根据边界条件得出具体的待定系数
（会用到三角函数的正交归一性）
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4－1、求截面为矩形的无限长区域 0 x a ,0 y b
的电位，其四壁的电位为
x,0 x,b 0 Y
0,y0
b
a,
y
U0Ub10yby,
0 ,
yb 2
b yb 2
电位为 U sin x ，求管内的电位分布？
a
y
b Usinax
0
0
0 a x
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解： 电位为二维，即只与 x、y 有关，
边界条件为，
x,0 0
x,b
U
sin
x
a
0, y 0
a, y 0
由边界条件可以直接得到解的形式，
x,y n 1C nsi n na x si nna h y
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
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当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，