系统辨识总结

一. 传递函数辨识的时域法:

1.()1

s

Ke G s Ts τ-=+ , 在S 型曲线的速率变化最快处做一切线, 分别与时间轴t 及阶跃响应渐近线()y ∞

相交于(0,)τ和0(,())t y ∞ (1) ()()11y y y K u u e

∞∞-===- (2) 0T t τ=- 或: 21

21121212ln(1)ln(1)

ln(1)ln(1)

ln(1)ln(1)

t t t y t y T y y y y τ----=

=

------

2. 1212(),

()(1)(1)

s

Ke G s T T T s T s τ-=>++

()(0)

y y K u

∞-=

τ可以根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段到开始变化的时刻来确定.

1

2121221

*()1t

t

T T T T y t e e T T T T --=---- 取两个点的数据[][]0.4,*(0.4),0.8,*(0.8)y y

12212

121212()/2.16

/() 1.74/0.55

T T t t TT T T t t +≈+⎧⎨+≈-⎩ 二. 线性系统的开环传递函数辨识

设开环输入信号为:()sin()d m y t A t ω= 输出:[]cos ()sin()sin cos sin f f f A y t A t t t A ϕωϕωωϕ⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

在时间域上取: 0,,2,,t h h nh = []

(0),(),

,()T

Y y y h y n h = sin(0)sin()sin()cos(0)cos()cos()T h nh h nh ωωωψωωω⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

12cos sin t t c A c A ϕϕ==

根据最小二乘原理

: 11221ˆˆarctan ˆˆT T

f c c Y A c c ψψψϕ-⎛⎫

⎡⎤⎡⎤===

⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

开环系统相频和幅频为

: 21ˆarctan 20lg ˆe m c M c

ϕ⎛⎫

== ⎪

⎝⎭⎝

⎭

三. 1.根据脉冲响应()g t 求脉冲传递函数1

()G z -

11

12111()(1)(2)()1n

k n n

n b z b z G z g z g z g k z a z a z

--------++==++++++

(1)(2)()(2)(3)(1)()(1)(21)g g g n g g g n H g n g n g n ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦ 12(1)(1)(2)(2)(2)()g n g g n g G G g n g n +⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

+⎢⎥⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

1111n n a a H G a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

11

22

12

1

1

0001001n n n b a b G a a a

b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

⎣⎦ 四. 相关分析法:

一个具有脉冲响应函数为()g t 的系统,如果其输入量是信号()u t 的自相关函数()uu R τ,则其响应就等于输入信号()u t 与相应的输出信号()y t 之间的互相关函数()uy R τ

当被辨识系统输入为白噪声(一种均值为0, 谱密度为非零常数的平稳随机过程)时, 只要确定输入与输出信号间的互相关函数, 即可求出被辨识系统的脉冲响应函数()g τ, 因为白噪声的自相关函数是一个δ函数, 即2()()uu R τσδτ= 又: 2

()()uy R g τστ= 则:

2

1

()()uy g R ττσ=

其中0

()()()uy uu R g R d τλτλλ∞

=-⎰

要求: (1)持续激励 (2)最优输入信号

M 序列的性质:

(1) 一个n 级移位寄存器产生的M 序列周期为长度是: 21n

N =-

(2) 22

11()/(1)xx N a N R a N

N ττττ⎧⎛⎫++-≤≤⎪ ⎪

=⎨⎝

⎭⎪-<≤-⎩

周期的偶函数

M 序列的周期要大于被辨识系统的过渡时间. M 序列辨识过程:

()220

10

1()ˆ()()/ˆ(0)2()/()()()T

xy xy N xy i N a S a C g d N N g i R i C S g R i C S

a R sign x i y i N ∆σσ

∆∆∆τ∆∆τ-=+==

⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦≅+⎡⎤⎣⎦⎰

∑

五. 极大释然估计流程:

1111ˆˆˆˆN N N N N N r K θθθε++++=+=+1(1)1(1)(1)N f N T f N f P h N K h N P h N ++=+++1(1)(1)1(1)(1)T N f f N N N T f N f P h N h N P P P h N P h N +++=-

+++1ˆˆ(1)(1)T N N y N h N εθ+=+-+