方程近似解

可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
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二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :
1) 在[a,b] 上连续, f (a) f (b) 0
2) 在[a,b] 上 f (x)及 f (x)不变号
方程 f (x) 0 在 (a,b)内有唯一的实根 .
有如下四种情况:
的近似根 ,
则误差满足
n1
1 2
(bn
an )
1 2n1
(b
a)
n 0
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例1. 用二分法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的近似
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ?
解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, )
34 x
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内容小结
1. 隔根方法: 作图法；逐步搜索法. 2. 求近似根的方法：二分法；切线法.
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y
y
y
y b
a O
bx Oa
ba xO
bx Oa
x
f0
f0
f0
f0
f 0
f 0
f 0
f 0
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牛顿切线法来自百度文库基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 .
y
记纵坐标与 f (x) 同号的端点为 (x0 , f (x0 )), 在此点作切线 , 其方程为
O
a
a1
a a1
a
,
1
ab11 b1
1
b b1 ;
否则 (1 , b),令 a1 1 , b1 b ,
对新的隔根区间[ a1 , b1]重复以上步骤, 反复进行, 得
[a, b] [ a1 , b1] [ an , bn ]
若取 [ an
,
bn ]的中点
n1
1 2
(an
bn ) 作为
x2 x1 xb0 x
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点(x1 , 0),其中 x1 x0
再在点(x1 , f (x1))作切线 , 可得近似根x2.
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2, )
称为牛顿迭代公式
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牛顿法的误差估计: 由微分中值定理得
f (xn ) f ( ) f ()(xn )
y
a
O
x2 x1 xb0 x
f ( ) 0, xn
f (xn )
f ()
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
记 m min f (x) 0, 则得
其隔根区间.
f (x) C[a,b], f (a) f (b) 0 且 f (x)在（a,b）内严格单调
[a,b] 为隔根区间
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
•由y f (x)的草图估计隔根区间;
y y f (x) Oa b x
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例如, 方程 x3 x 1 0 可转化为 x3 x 1
x1
4
f (4) f (4)
4
9 28
3.68
y
而
x1
f (x1) m
1.03 0.09 11
O
故 x1 精度不够，再求
x2
3.68
f (3.68) f (3.68)
3.68 1.03 21.9
3.63
x2
f (x2 ) 0.042 0.004 0.01
m
11
因此得满足精度要求的近似解 3.63
[a,b]
xn
f (xn ) m
说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与 f (x)异号的端点作 切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 [a , b]内.
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例2. 用切线法求方程 x3 2x2 4x 7 0 的近似解, 使
误差不超过 0.01 .
y
解: 设 f (x) x3 2x2 4x 7. 由草图可见方程有唯一的正实根 ,且 O 3 4 x
f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 f (x)在(, )单调递增, 又
( 5.67 0)
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0 故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
f (3) 10, f (4) 9
因此 [3，4]为一隔根区间.
由于在 [3，4] 上
f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2) 0
f (x) 6x 4 2(3x 2) 0
m min f (x) f (3) 11
[3,4]
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故取 x0 4, 得
第八节 方程的近似解
求方程 f (x) 0 的实根
可求精确根 (有时计算很繁) 两种情形 无法求精确根 求近似根 本节内容:
一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 三、一般迭代法 (补充)
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一、根的隔离与二分法
若方程 f (x) 0在[a,b]内只有一个根，则称[a,b]为
由图可见只有一个实根 (1,1.5),
(1, 1.5)即为其隔根区间 .
(2) 逐步收索法
y
y x 1 O 1 2 x
y x3
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0
( j 0,1, ; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
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2. 二分法
设 f (x) C[a,b] ， f (a) f (b) 0，且方程 f (x) 0只有
一个根
(a
,
b)，取中点 1
ab，
2
若 f (1) 0，则1 即为所求根 .
若 f (a) f (1) 0，则根 (a, 1),令