2020年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷(文科)

【解答】
解：因为 ，
若 ， 为零向量，显然成立；
若 则 与 的夹角为零角或平角，
即 ，故充分性成立．
而 ，则 与 的夹角为零角或平角，有 ．
因此 是 的充分必要条件．
故选 ．
9.甲、乙两位同学将高三 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分 ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）
金额
this_is_a_tag_for_row_span
频数
this_is_a_tag_for_row_span_begin男性
金额
this_is_a_tag_for_row_span
频数
Ⅰ 将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 元的概率．
Ⅱ 把购买六类高价商品的金额不低于 元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成 列联表，并据此判断能否有 的把握认为“高收入人群”与性别有关？
时， ， ，
∴曲线 在点 处的切线方程是 ,
即 ,
故答案为： .
已知向量 ， 满足 ＝ ， ＝ ， ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用向量夹角公式即可得出．
【解答】
设 与 的夹角为 ，
由 ，所以
即 ，又 ， ，
可知 ，
所以 ，
又 所以 ＝ ．
已知函数 ，且 ＝ ，则实数 的值等于________．
【解答】
因为 、 是该图象上相邻的最高点和最低点， ＝ ，
由勾股定理可得： ，
由 ，可得： ，求得： ．
可得： ，
又因为 为其图象的对称中心，
可知 ，解得： ．
所以 的解析式为 ．
11.若双曲线 的两条渐近线与抛物 ＝ 交于 、 、 三点（点 为坐标原点），且直线 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（）
所以 ， ，
又因为 ，所以 ＝ ，即 ＝ ，与 联立，
解得： ， ，
代入 ，
解得： ， ，
验证：当 时， 成立，符合题意，
故所求 ．
【考点】
椭圆的应用
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）根据椭圆的离心率公式及待定系数法，求得 和 的值，求得椭圆方程；
（2）将点代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得 的值．
∴ ＝ ．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
【解答】
根据几何体的三视图转换为几何体为：
该几何体为底面为 圆，高为 的柱体．
所以 ．
7.如图是一个算法的程序框图，如果输入 ＝ ， ＝ ，那么输出的结果为（）
【解答】
（1）因为离心率 ，且 过点 ，即 ，
解得 ＝ ， ＝ ，
故所求椭圆 的方程为： ；
（2）设 ， ， ，
联立方程组 ，整理得： ＝ ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ＝ ，即 ＝ ，与 联立，
解得： ， ，
代入 ，
解得： ， ，
验证：当 时， 成立，符合题意，
故所求 ．
已知函数 ＝ ， 是其导函数．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
【解析】
由已知可得 ＝ ， ＝ ，构造方程可得答案．
【解答】
函数 ，
∴ ＝ ，
若 ＝ ，则 ＝ ，
则 ， ＝ ，
解得：
故答案为：
已知 是椭圆 的左焦点，设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，则直线 （ 为原点）的斜率的取值范围是________．
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
从高中生抽取 人，
则从初中生抽取 ＝ 人，
则总人数 ＝ ＝ ，
4.设 ， 满足 ，则 ＝ 的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．
【解答】
画出不等式组表示的平面区域，由图可知，
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可．
【解答】
由题意可得 ＝ ，
设被污损的数字为 ，
则 ＝ ，
满足题意时， ．
即： ，解得 ，
即 可能的取值为 ， ， ， ， ， ，
所以有 的把握认为“高收入人群”与性别有关．
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．直线 ＝ 与 轴交于点 ，与椭圆交于 ， 两点．
Ⅰ 求椭圆 的标准方程；
Ⅱ 若 ，求实数 的值．
【答案】
（1）因为离心率 ，且 过点 ，即 ，
解得 ＝ ， ＝ ，
故所求椭圆 的方程为： ；
（2）设 ， ， ，
联立方程组 ，整理得： ＝ ，
联立方程 ，得 ，
过 作 轴垂线与椭圆交于 ， ，
∵直线 的斜率大于 ，∴ 在弧 ， 上时，符合题意，
∵ ，
∴ 斜率的取值范围是 ，
三、解答题
已知数列 的前 项和为 ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
（1）由 可得：当 时， ，
上述两式相减可得 ，
当 ＝ 时： 成立，
12.在三棱锥 中， ＝ ， ， 面 ，且在三角形 中，有 ＝ （其中 ， ， 为 的内角 ， ， 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
由 ＝ 和正弦定理得 ，由正弦定理求出三角形 的外接圆直径，由勾股定理求出球的直径．
【解答】
由 ＝ 和正弦定理得 ＝
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
由 ＝ ，
得 ，
∴ ．
3.某中学有高中生 人，初中生 人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取 人，则 为（）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为： ．
10.已知函数 ， 为其图象的对称中心， 、 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ＝ ， 的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由已知利用正弦函数的图象和性质，正弦函数的周期公式，勾股定理可解得 ．利用正弦函数的性质可求 ，解得 ，可求 的解析式．
当 ＝ 时， ，不满足循环条件，
此时 ．
8.设 ， 为向量，则 是“ ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
平行向量的性质
【解析】
利用向量的数量积公式得到 ，根据此公式再看 与 之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．
Ⅰ 当 ＝ 时，求 在 ＝ 处的切线方程；
Ⅱ 若 ，证明： 在区间 内至多Leabharlann Baidu 个零点．
【答案】
（I）当 ＝ 时， ＝ ，则 ＝ ，
又 ＝ ，
则 在 ＝ 处的切线方程为： ＝ 即 ＝ ．
（2） ＝ ，
设 ＝ ，
＝ ，
因 ，故 ，
又 ，故 对 恒成立，即 在区间 单调递增；
又 ＝ ， ＝ ；
故当 时， ＝ ，此时 在区间 内恰好有 个零点．
当 时， ＝ ，此时 在在区间 内没有零点；
综上结论得证．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
先求出 ，然后结合导数判断函数的单调性，结合零点判定定理即可求解．
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序知：该程序是利用循环计算 的值，用裂项法求值即可．
【解答】
模拟程序框图运行过程，如下；
当 ＝ 时， ，满足循环条件，此时 ＝ ；
当 ＝ 时， ，满足循环条件，此时 ＝ ；
当 ＝ 时， ，满足循环条件，此时 ＝ ；
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ＝ ， 为等边三角形， 是线段 上的一点，且 平面 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）若 为 的中点，连接 ， ， ， ，平面 平面 ， ＝ ，求三棱锥 的体积．
【答案】
证明：如图，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ＝ ， 平面 ，
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，求出抛物线的焦点坐标，列出方程，转化求解离心率即可．
【解答】
双曲线 的两条渐近线与抛物线 交于 、 、 三点，且直线 经过抛物线的焦点，可得 ，则 在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程： ＝ ，所以 ，即 ＝ ，可得 ＝ ，所以双曲线的离心率为： ．
【解析】
当直线 的斜率为 时，则直线 的方程为： ，设此时直线 与椭圆的两个交点为 ， ，联立方程 ，得 ，过 作 轴垂线与椭圆交于 ， ，由题意可知点 在弧 ， 上时，符合题意，从而求出直线 的斜率．
【解答】
由椭圆方程 ，可求得 ，
当直线 的斜率为 时，则直线 的方程为： ，设此时直线 与椭圆的两个交点为 ， ，
独立性检验
【解析】
Ⅰ 将频率视为概率，计算所求的概率值；
Ⅱ 根据频数分布表得列联表，根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】
（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 元的概率为：
；
（2）根据频数分布表得列联表如下：
高收入人群
非高收入人群
合计
女
男
合计
根据表中数据，计算 ，
所以 ＝ ，
故可得 ，
由正弦定理， ，得三角形 的外接圆的半径为 ＝ ，
又由 ＝ ＝ ，
所以其表面积为 ＝ ＝ ，
二、填空题
曲线 在点 处的切线方程是________．
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．
【解答】
解：求导函数，可得 ，
（2） ， 分别为 ， 的中点，通过 ．取 的中点 ，连接 ，转化求解几何体的体积即可．
【解答】
证明：如图，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ＝ ， 平面 ，
∴ ，而 为 的中点，∴ 为 的中点．
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
取 的中点 ，连接 ，
∵ 为等边三角形，∴ ，
2020年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）
一、单选题
1.已知集合 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
可求出集合 ， ，然后进行补集、交集的运算即可．
【解答】
＝ ， ＝ ；
∴ ；
∴ ．
2.已知复数 满足 ＝ （ 为虚数单位），则
A. B. C. D.
故所求 ；
（2）由 Ⅰ 可得 ， ，
∴ ，
故所求 ．
【考点】
数列的求和
【解析】
Ⅰ 运用数列的递推式，计算可得所求通项公式；
Ⅱ 由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
【解答】
（1）由 可得：当 时， ，
上述两式相减可得 ，
当 ＝ 时： 成立，
故所求 ；
（2）由 Ⅰ 可得 ， ，
∴ ，
故所求 ．
当直线 ＝ 过点 时， 取得最小值．又 ，
所以 ＝ ＝ ；即 的最小值是 ．
5.已知 为等差数列，若 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的性质可得 ＝ ＝ ，结合已知，可求出 ，进而求出 ．
【解答】
∵ 为等差数列，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ，而 为 的中点，∴ 为 的中点．
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
取 的中点 ，连接 ，
∵ 为等边三角形，∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ＝ ， 平面 ，
∴ 平面 ，
而 ， ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
直线与平面平行
【解析】
（1）连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，证明 ，然后得到 为 的中点．
高收入人群
非高收入人群
合计
女性
男性
合计
参考公式： ，其中 ＝
参考附表：
【答案】
（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 元的概率为：
；
（2）根据频数分布表得列联表如下：
高收入人群
非高收入人群
合计
女
男
合计
根据表中数据，计算 ，
所以有 的把握认为“高收入人群”与性别有关．
【考点】
又平面 平面 ，平面 平面 ＝ ， 平面 ，
∴ 平面 ，
而 ， ，
∴ ，
∴ ．
一项针对某一线城市 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 名（ 名女性， 名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：
this_is_a_tag_for_row_span_begin女性