固体物理总结能带理论完全版

am[ i U (r ) V (r Rm )]i (r Rm ) E ami (r Rm )
m
m
考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的
i
(r
Rm
)
重叠很有
，
i*
(r
Rm
)i
(r
Rn
)dr
nm
用
* i
(r
Rn
)
左乘上面方程
5*，得到
am
i*
(r
Rn
)[U
(r )
用受
u
k
(r
)
调制的平面波表示.其中
u(r)
u(r
Rn
)
，
Rn
取布拉
菲格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
a.
定义平移算符 T
，T
(Rm
)
T m1 1
(
a1
)T2m2
(a2
)T3m3
(a3
)
b． 证明T 与 Hˆ 的对易性。T H HT
c.代入周期边界条件，求出 T 在T 与 Hˆ 共同本征态下的本征值
，而且实现了
N
个晶体中的电子
s
波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：
k1
k2
kN
1 N
e
ik1R1
,
eik2R1 ,
e
ik N
R1
,
e e ik1R2
ik1RN
e e ik2R2
ik2 RN
e e ikN R2
ikN RN
i i i
(r
(r
(r
R1 ) R2 ) RN )
2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度 Eg 2V1 , 2V2 , 2V3 ,2Vn 4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能
级
5）计入自旋，每个能带中包含 2N 个量子态
4、紧束缚近似Baidu Nhomakorabea
1）紧束缚近似的假设：
电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为
2)利用微扰论方法有设： Ek
E
0 k
Ek(1)
E
( k
2)
. ，
其中：
Ek0
2k 2 2m
V
，
E
(1) k
k
| H '| k
0 ， Ek(2)
k'
k'| H'| k 2 Ek0 Ek0'
（ K' K ）
设：
k
(
x)
0 k
(x)
(1) k
(
x)
.
其中：
0 k
(
x)
1 L
eikx ,
(1) k
性势场作用产生的散射波
再令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
n
i2 n x
ea 2 )2 ]
，则有 k (x)
1 L
e ik x u k
(x)
2m
a
4
具有布洛赫函数形式，其中用到 uk (x ma) uk (x)
B、简并情况下
1)
Ek0
Ek0'
Vn
此时波矢
k
离 n
a
较远，k
i
J0
J (Rs )eikRs
。。6*
Rs Nearest
能 带 底部 电子 的有 效 质量 m* 2 , 能 带顶部 电 子的 有效 质量
2J1a 2
m*
2
2J1a 2
.
4）能级与能带的对应
A 计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带 s 态的波函数是
球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入 6*有
k'
k'| Ek0
H
'| k
E
0 k'
0 k'
（ K' K ）
4）结论：
能量本征值： Ek0
2k 2 2m
V
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
波函数： k (x)
1 eikx 1 eikx
L
L
n
2
[k 2
Vn (k
n
i2 n x
ea 2 )2 ]
2m
a
5）波函数的意义：
第一项是波矢为 k 的前进的平面波，第二项是平面波受到周期
2
。即
(r ) (r ) (r)
(r (r (r
N1a1 )
N
2
a
2
)
N3a3 )
1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
d. 将 代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。
(r
Rm
)
m1 m2 12
3m3
(r )
e ik (m1a1 m2a2 m3a3 )
窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带
之间有简单的对应关系，如 ns 带、np 带、nd 带等等，由于 p 态是三
重简并的，对应的能带发生相互交叠，d 态等一些态也有类似能带交
叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数 N 决定，与 L 值也有关。
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系，
(r )
(r )
eikr uk
(r )
！
3） 波矢 k 的取值及其物理意义
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
……
Nj 2
lj
Nj 2
，k
是第一布里渊区的
波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而
T
(Rm
)
(r
)
(r
Rm )
e ik Rm
(r) 反映了原胞之间电子波函数位相的变
应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似
1
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度
对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。
5）瓦尼尔函数
紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和
i k
(k ,
r)
E(k )
i
J0
2J1(coskxa
cosk y a
cosk z a)
，其中在能带
:
k (0, 0, 0)
处在
k (0,
0,
0) 处 用 级 数 展 开 有 E min
i J0 6J1 ，在能带顶部
R:
k
(
,
,
)
按
k
(
,
,
)
附近按泰勒级数展开得
aaa
aaa
E max i J 0 6J1
目录
一、本章难易及掌握要求……………………………………1 二、基本内容…………………………………………………1
1、三种近似 ………………………………………………1 2、周期场中的布洛赫定理 ………………………………2
1）定理的两种描述 ………………………………2 2）证明过程： ……………………………………2 3） 波矢 k 的取值及其物理意义…………………3 3、 近自由电子近似 ……………………………………3 A、非简并情况下 …………………………………4 B、简并情况下 ……………………………………5 C、能带的性质……………………………………6 4、紧束缚近似……………………………………………6 5、赝势……………………………………………………9 6、三种方法的比较………………………………………10 7、布里渊区与能带 ………………………………………11 8、能态密度及费米面……………………………………11 三、常见习题………………………………………………14 简答题部分………………………………………………14 计算题部分…………………………………………………15
就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的
运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个
电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫
平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势
V
(r
Rm
)]i
(r
Rm
)dr
(E
i
)an
m
i*[ (Rn Rm )][U ( ) V ( )]i ( )d J (Rn Rm )
则得
am J (Rn
Rm )
(E
i
)an
，考虑到周期性的势场，应有
m
am CeikRm ，（ k 是 任 意 常 数 矢 量 ）， 则 有 E i
2Tn
(
2Tn Vn
1) 1)
Tn
2 2m
( n a
)2
可得如下结论两个相互影响的状态 k 和 k’微扰后，能量变为 E+
和 E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。
周期性 En (k ) En (k Gn) [周期为 倒格矢，由晶格平移对称性决定] 反演对称性 En (k ) En (k )
Ek0'
Vn
时，波矢 k 非常接近
n a
，k 状态的能量和 k’
能量差别很小按将
3* 式
( E k0
E
0 k'
)
2
泰勒级数展开得
4Vn 2
E
1 2
{Ek0
Ek0'
2
Vn
(Ek0 Ek0' )2 } 4 Vn
代入相应的
E
0 k
，
E
0 k'
得
E
V
V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设
为布洛赫函数。
3、 近自由电子近似
1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰
2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函
数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由
运动。
3）模型建立过程：
首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许
微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子
波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求
原子之间的距离较大。
2）模型实现
对于简单格子电子在格矢
Rm m1a1 m2a2 m3a3 处原子附近运动
(r ) 满足的薛定谔方程：
[
2
2
U
(r)]
(r )
E
(r )
2m
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白
三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的
3）模型简化：
7
考虑
J
(
Rs
)
i*
(
Rs
)[U
( )
V
( )]i
( )}d
的化简：
当
* i
(
Rs
)
和
i
( )
有重叠时，积分不为
0。
a
最完全的重叠
Rs
Rn
Rm
0 ，得 J 0
2
i ( ) [U ( ) V ( )]d
b
其次考虑近邻格点的格矢
Rs
，得
E(k )
6
U
(r )
是晶体的周期性势场___所有原子的势
场之和。对方程进行
变换有[
2 2m
2
V (r
Rm )]
(r )
[U (r )
V (r
Rm )]
(r )
E
(r )
U
(r
)
V
(r
Rm
)
即是微扰作用。
设晶体中电子的波函数
(r
)
am
i
(r
Rm
)
（此法的本质），代
m
入上得：
取值，推出了能量的准连续性；
其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且
发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。
3
A、非简并情况下 1)由假设 1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：
H
H0
H'，H0
2
2m
d2 dx 2
V
，
微扰项：
H ' V (x) V V ，满足的方程式: H E .
带宽取决于 J1，大小取
决于近邻原子波函数之间的
相互重叠，重叠越多，形成能
带越宽，同样可以看出，由于 k 的取值
可以有 N
个，故一个能级在微扰下分裂成为一个
能带。
B 对于一般情况有如下结论：
一个原子能级 i 对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。
8
当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较
，
J (Rs )eikRs
s
Rs Rn Rm
利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数
k
(r )
1 N
eik Rm
i
(r
Rm
)
m
考虑用简约波失表示有
k
(r )
1 N
eikr [
m
e ik (r Rm
)i
(r
Rm
)]，由此可得
对于确定
k
，
E(k )
i
J (Rs
)e ik Rs
[ En (k ) 是个偶函数 ]
宏观对称性 En (k ) En(k ) [ 为晶体的一个点群对称操作]
5
C、能带的性质
简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要
表明：
1)它属于哪一个能带（能带标号）
2)它的简约波矢 k 是什么？
3) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲
场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。
2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性
质：
形式一： (r Rn) eik Rn (r) ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差
形式二： (r) eikru(r) ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
状态的能量和状态
4 Vn 2
k’差别较大把 3*按 (Ek0' Ek0 )2 泰勒级数展开得
E
Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互
影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
2）Ek0