同角三角函数的基本关系式课件

例6. 化简下列各式：
（1） 1 sin2 440o ； （2） 1 2sin 20o cos 20o .
解：（1） 1 sin2 440o
1 sin2 (360 80) 1 sin2 80 cos2 80 | cos 80 | cos 80 . （2） 1 2sin 20o cos 20o sin2 20o cos2 20o 2sin 20o cos 20o
5 5
tan sin 3 cos 4
变式：
已知sin 3 ,求 cos和 tan .
5
解： sin 0,为第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得 ， 当在 第 三 象 限 时c，os 1 sin2 4
5
tan 3
5

5
sin2 cos2 1
消去sinα，得5cos2α－ 5cosα－2=0，
由方程解得cosα=
25 5
或cosα= 5
5
因为180º<α<270º，所以cosα<0，即
cosα=
5 5
代入原方程组得sinα=
2 5 5
于是tanα=
sin cos =2.
变式：
3
9
sin cos 4 ,
9
tan

1
tan

9 4
.
(2) sin3 cos3
(sin cos )(sin2 sin cos cos2 )
(sin cos)(1 sin cos)
1 (1 4) 13 . 3 9 27
九台实验高中 许世君
问题导学
问题1、任意角的三角函数及三角函数线定义：
y
N
P

x
O
M
问题2 、 如上图，设α是一个任意角，它的终边与 单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦
线O的长度有什么内在联系？由此能得到
什么结论？试用三角函数定义证明。
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组 成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值， |OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
sin cos tan
1
tan2


1 cos2

cos2 1 sin2
cos sin tan
同角三角函数关系式的应用：
(1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值 时，可以利用这两个三角函数关系式和三角 函数定义，求出这个角的其余三角函数值。
(2) 此外，还可用它们化简三角函数式和证 明三角恒等式。
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能 不成立. 如sin230º+cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式α，2 ，6α等等都可以. 如sin24α+cos24α=1.
常用变形： 在公式应用中,不仅要注意公式的
正用,还要注意公式的逆用、活用
和变用.
sin2 1 cos2
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
y
又根据三角函数的定
义有sinα= y,cosα= x
r
r
所以sin2α+cos2α=1.
N
P

x
O
M
同角三角函数的基本关系式:
sin2 cos2 1 ,
sin cos

tan
,
注意：只有当 α的取值使三角函数有意义时， 上面恒等式才成立 .
(sin 20o - cos 20o )2 | sin 20o cos 20o | cos 20o sin 20o.
例7
求证： 1
cos x sin
x

1
sin cos x
x
证法1：由 cos x 0，知 sin x 1 即 sin x 1 0
左边
（1
4
当在 第 四 象 限 时c，os 1 sin2 4
5
tan 3
4
例2、 已知 tan - 3，且 是第二象限的角，
4
求角 的正弦值和余弦值。
解：由tan sin , tan 3 得
cos
4
sin 3 cos ,代 入sin2 cos2 1得
已知sinα－cosα= ,5求tanα的值。
5
例4. 已知 tan 3 ，求下列各式的值：
（1）
4sin 5cos

2cos 3sin
;
(2)
2cos
1
sin

cos2

;
(3) 2sin2 sin cos 3cos2 .
解（：1） 原式

4tan 2 5 3tan

3

2 32 32
3 1
3

9 5
.
练习： 已知 tan 3 ，求下列各式的值
(1) 2sin2 sin cos 3cos2 2 ;
(2)
sin3 cos3


2 cos 3 sin
.
原式 7 85
解：原式=2sin2 sin cos 3cos2 2(sin2 cos2 )

4 3 2 5 33

5 7
.
(2)
原式=
sin2 cos2 2cos sin cos2

tan2 2 tan
1 1

10 7
.
(3) 原式 2sin2 sin cos 3cos2 sin2 1 cos2

2tan2 tan tan2 1
问题导学
问题3、 当角α的终边在坐标轴上时，上述关系 成立吗？试说明。 成立，对任意角都成立
问题4、sin, cos, tan
三者之间存在什么样的内在联系？是否对 任意角都成立 ？
sin tan cos
| k , k Z
2
问题导学
问题5、你对同角三角函数的基本关系式中的 “同角”如何理解？
cos x(1 sin x) sin x）(1 sin
x)

cos x(1 sin 1 sin 2 x
x)

cos
x(1 cos2
sin x
x)

1
sin cos x
x
右边
原等式成立 .
例8. 求证：(1)sin4β－cos4β=2sin2β－1； (2) tan2α－sin2α=tan2α·sin2α；
合作探究1
例1 已知 sin 3 ，且α在第三象限，求
5
cos 和 tan
分析：由平方关系可求cosα的值，
由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角.
cos
1 sin2
1
3 2


4
=tan2α－tan2αcos2α

tan 2


sin2 cos2
cos2

=tan2α－sin2α
=左边.
因此 tan2 sin 2 tan2 sin 2
小结：
1.已知一角的某一三角函数值， 求其它的三角函数值
2.三角函数式的化简求值
3.三角恒等式的证明
3
(1)
tan


1 tan

; (2)
sin3 cos3 .
解:
(1)
tan

1 tan


sin cos

cos sin

sin2 1 cos2 cocsossinsin
由 sin cos 1 ，得 1(sin2sincocsos)2 1 ，
=4sin2 sin cos cos2

4 sin2
sin cos sin2 1 cos2
cos2


4tan2 tan tan2 1
3 32 1
1

19 5
.
例5：
已知 sin cos 1 ，求下列各式的值：
证明：（1） 原式左边=(sin2β+cos2β)(sin2β－cos2β)
=sin2β－cos2β =sin2β－(1－sin2β) =2sin2β－1右边. 所以原等式成立.
(2) tan2 sin 2 tan2 sin 2
证明：原式右边=tan2α(1－cos2α)
4
cos2 16 , 又 因 为是第二象限的角
25
所以cos 4 ,sin 3
5
5
变式：
已知tan - 3，求角 的正弦值和余弦值。
4
例3. 已知sinα－cosα= 5,180º<α<270º.
5
求tanα的值。
解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组

sin cos