第七章 单一总体的区间估计

◎第七章单一总体的参数估计

●（一）区间估计的含义

●估计：人人都做过。如：

✓上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？

✓当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？✓推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？◎估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。

●估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征：（1）、无偏性。样本估计量的期望值应等于总体参数。无系统偏差。

（2）、有效性。与离散度相联系。在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。

（3）、一致性。随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。

（4）、充分性。估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。

※估计的类型包括：

1、点估计：只有一个取值。如样本平均数

就是总体平均数μ的点估计值。

2给出取值范围（值域）。

▲两种估计类型哪一种更科学？

※ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，

还可以给予一个“可信程度”。例如：销售经理想估

计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计是50

—56万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。显然

后者的可信程度大于前者。那么，50—56万美元之间的范

围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？

【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，

管理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。

另外，合同规定总体标准差为6克。

如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为

总体平均数的最佳估计量：250克。但这是远远不够的，在

许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是

多少？”“总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围

内？”“ 这个估计值的可靠程度是多少？”

〖1〗由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，σ=6

〖2〗抽样平均误差：8487.0506

===n x σσ

〖3〗若用250克这个估计值估计总体

平均数，其平均误差为0.8487。〖4〗若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平均

重量是250±0.8487克之间。

〖5〗总体平均数在250±0.8487克之间的可信度为68.3%。

总体平均数在250±2×0.8487克之间的可信度为95.5%。

总体平均数在250±3×0.8487克之间的可信度为99.7%。

●（二）区间估计中几个常用概念

1、置信度（置信系数）：它是指与一个估计区间

相联系的概率，它表示该区间将包括总体参数的

可能程度。用1-α表示。置信度越大，估计区间

内所包含总体参数的可信度越高。（68.3%、95.45%、

99.7%都是置信度）

2、置信区间：与一个“置信度”相联系的估计

（如250±2x σ）

※250±2x σ：表示有95.45%的样本平均数构

造的区间将包含总体平均数。※

※250±3x σ：表示有99.73%的样本平均数构

造的区间将包含总体平均数。※

3、置信限：与置信区间相联系的界限，包括上

限和下限。如上题中下限：250-x σ，上限：250+x σ

▲思考题：置信度与置信区间有何关系？

（三）大样本条件下的区间估计

●1、总体标准差σ已知条件下，对总体平均数的区间估计

▲案例1：在【引例】中：食品进出口公司出口一批花生制

品，管理人员抽取50包为样本，其平均数为250克。合同规定总体标准差为6克。问：（1）如果置信区间为：250±

2

σ、250±1.96xσ，总体参数这一范围的把握程度有多大？

x

（2）若用90%的置信系数，则该批食品平均重量是多少？解：（1）a、250±2×0.8487，与z=2对应的置信度是：

0.4772×2=95.44%；

b、250±1.96×0.8487，与z=1.96对应的置信度是：

0.4750×2=95%。

（2

与90%对应的Z值是0.9/2=0.45，Z=(1.64+1.65)/2=1.645，置信区间：250±1.645*0.8487，即该批食品的平均重量在248.6—251.396克之间的把握程度是90%。

▲案例2：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存2年的茶叶，出库之前要进行一次检验。检验数据如下；样本容量为64包，样本平均数为每包2公斤，入库记录表明总体标

准差为0.2公斤。经理要求在95%的可信度下，估计一下这批茶叶的平均重量在多大范围内？

答：这批茶叶平均重量在1.951—2.049公斤，其可信程度为95%。

●2、总体标准差σ未知条件下的区间估计

※总体标准差σ未知条件下，一般用样本标准差S代替总体标准差σ。

▲案例：某项抽样调查中获得如下资料： N可以视为无限总体，n=81，样本平均数为500，样本标准差为90，求：总体平均数可信度为90%的置信区间。

答：此项调查中，总体平均数的可信度为90%的置信区间是在483.55—516.45之间。

▲习题1：一次等级考试，因急于评估试题质量，教师先随

机抽取36份试卷批改，平均分是72分，标准差13.2分，

系主任要求在90%的可信度下，对全体考生的平均成绩做一

个区间估计。

▲习题2：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取30箱为样

本，平均重量为20公斤，标准差为3公斤。求：（1）置信

度为95%时，这批烟草的平均重量；（2）置信度为80%时，

这批烟草的平均重量。

解：（1

（2）（公斤）（公斤）7

.205477.027.1203.195477.027.12027

.1,4.02/8.0,8.0121=⨯+==⨯-=≈==-c c z α ●3、大样本比例的区间估计

※ 中心极限定理证明：P 不接近0或1，且n 很大时，其抽样分布趋近于正态分布。比例抽样分布的平均误差为：