2010年四川省高考数学试卷(理科)及答案

2010年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
2．（5分）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（）
A． B．C．
D．
3．（5分）2log510+log50.25=（）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（5分）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1
5．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，
，则=（）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．（5分）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）
7．（5分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
8．（5分）已知数列{a n}的首项a1≠0，其前n项的和为S n，且S n+1=2S n+a1，则=（）
A．0 B．C．1 D．2
9．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在
椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）
10．（5分）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）
A．72 B．96 C．108 D．144
11．（5分）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N 两点间的球面距离是（）
A．B．C．D．
12．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）A．2 B．4 C．D．5
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）的展开式中的第四项是．
14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．
16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是．（写出所有真命题的序号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，
购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
18．（12分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O 是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．
19．（12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；
推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
②由Cα
+β
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．
20．（12分）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．
21．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2
（1）求a3，a5；
（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；
（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．
22．（14分）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；
（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．
2010年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．
【解答】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
2．（5分）（2010•四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（）A． B．C．
D．
【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可．【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续．所以D正确．
故选D
3．（5分）（2010•四川）2log510+log50.25=（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．
【解答】解：∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故选C．
4．（5分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）
A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1
【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣
⇔﹣=1⇒m=﹣2．
答案：A．
5．（5分）（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，
，则=（）
A．8 B．4 C．2 D．1
【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．
【解答】解：由=16，得||=4，
∵=||=4，
而
∴=2
故选C．
6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）
【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w 变为原来的倍进行横向变换．
【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．
故选C．
7．（5分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找
出目标函数
【解答】解：设甲车间加工原料x箱，
乙车间加工原料y箱，
则
目标函数z=280x+200y
结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．
故选B．
8．（5分）（2010•四川）已知数列{a n}的首项a1≠0，其前n项的和为S n，且S n+1=2S n+a1，则=（）
A．0 B．C．1 D．2
【分析】由题意知a n
=2a n+1，再由S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1，知{a n}是
+2
公比为2的等比数列，所以S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1，由此可知答案．【解答】解：由S n
=2S n+a1，且S n+2=2S n+1+a1
+1
=2a n+1
作差得a n
+2
又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1
故{a n}是公比为2的等比数列
S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1
则
故选B
9．（5分）（2010•四川）椭圆的右焦点为F，其右准线与x 轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）
【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F 点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a﹣c，a+c]
于是∈[a﹣c，a+c]
即ac﹣c2≤b2≤ac+c2
∴
又e∈（0，1）
故e∈．
10．（5分）（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）
A．72 B．96 C．108 D．144
【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，
先选一个偶数字排个位，有3种选法，
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下的两个
位置全排列，共有2A32A22=24个；
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种，然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个
根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个
故选C
11．（5分）（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）
A．B．C．D．
【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．
【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=
cos∠BAC=
连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=，
同理AN=，且MN∥CD
而AC=R，CD=R
故MN：CD=AM：AC
MN=，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=
所以M、N两点间的球面距离是．
故选A．
12．（5分）（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）
A．2 B．4 C．D．5
【分析】先把整理成
，进而利用均值不等式求得原式的最小值．【解答】解：
=
=
≥0+2+2=4
当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立
如取a=，b=，c=满足条件．
故选B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2010•四川）的展开式中的第四项是﹣．
【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项．
【解答】解：T4=
故答案为：﹣
14．（4分）（2010•四川）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= 2．
【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，
圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，
故，
得|AB|=2．
故答案为：2．
15．（4分）（2010•四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B ∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．
【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．
【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，
在β内过C作l的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°
又由已知，∠ABD=30°
连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2，则AC=，CD=1
AB==4
∴sin∠ABC=；
故答案为．
16．（4分）（2010•四川）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是①②．（写出所有真命题的序号）
【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的．
【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．
当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确
对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误
取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
【分析】（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．
（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）
【解答】解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
P（A）=P（B）=P（C）=，
P（）=P（A）P（）P（）=，
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．
（2）ξ的可能值为0，1，2，3，
P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ0123
P
Eξ=0×+1×+2×+3×=．
18．（12分）（2010•四川）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．
【分析】（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO ⊥AA′，MO⊥BD′
OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角，解三角形求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；
（Ⅲ）利用V M
=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’，求出S△MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，﹣OBC
即可求三棱锥M﹣OBC的体积．
【解答】解：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM
所以MO
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角
MN=1，NH=BNsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2
（Ⅲ）易知，S
△OBC =S
△OA’D
’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=
V M﹣OBC=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’=S△MA’D’h=
19．（12分）（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；②由Cα
+β
推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+co sαsinβ．（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．
【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，
终边交⊙O于P2；
角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角﹣β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（﹣β），sin（﹣β））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2
展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosα
sin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]
=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA==bccosA=3＞0
∴A∈（0，），cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=
由题意，cosB=，得sinB=
∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=
故cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣（12分）
20．（12分）（2010•四川）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；
（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x﹣2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则
化简得x2﹣=1（y≠0）；
（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）
与双曲线x2﹣=1联立消去y得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0
由题意知3﹣k2≠0且△＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=
因为x1、x2≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）
因此M点的坐标为（），
同理可得
因此==0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），
同理可得
因此=0
综上=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．
21．（12分）（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N* +a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2
都有a2m
﹣1
（1）求a3，a5；
（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；
（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．
【分析】（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．
﹣b n，和等差数列的定义即可证明．（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到b n
+1
（3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n，利用乘公比错位相减求{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得
a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8
于是[a2
（n+1）+1
即b n
﹣b n=8
+1
所以{b n}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可得
a n=﹣（n﹣1）2．
﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
那么a n
+1
于是c n=2nq n﹣1．
当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．
两边同乘以q，可得
qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．
上述两式相减得
（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n
=2•﹣2nq n
=2•
所以S n=2•
综上所述，S n=．
22．（14分）（2010•四川）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）设关于x的方程log a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；
（3）当0＜a ≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e 求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明
；
（Ⅲ）利用放缩法，求出||的取值范围，最后推出小于4即可．【解答】解：（1）由题意，得a x =＞0
故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
由得t=（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]
则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）
列表如下：
x2
（2，5）5（5，6）6
t
'
+﹣
t5递增
极大值
32
递减2
5
所以t
最小值=5，t
最大值
=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分）
（Ⅱ）
=ln（）
=﹣ln
令u（z）=﹣lnz2﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0
则u′（z）=﹣=（1﹣）2≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0即ln＞0
即（9分）
（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，
当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N*时，则f（k）=，=1+
所以1＜f（k）≤1+，
从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|﹣n|＜4．。