第六章-排队论详解

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测的，这就决定了公交车的数量并不是完全确定 的固定不变的，而是随着不同时段顾客的多少而 变化.因此顾客和公交车之间存在随机因素. 很明显，顾客和公交车是一个服务和被服务 的关系.如果公交车数量过多，也就是已有的资 源大于需求，虽然公交车的数量能够满足顾客 需求，减少了顾客排队等待的时间，公交车提供 的服务使顾客的满意度很高，却会造成公交车公
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马尔科夫链方法研究排队论，使排队论得到进一步发 展.20世纪60年代起排队论研究的课题日趋复杂，很
多问题很难求得精确解，因此开始了近似方法的研究. 排队论应用范围很广，它适用于一切服务系统.尤 其在通信系统、交通系统、计算机存储系统和生产管理 系统等方面应用的最多. 排队是日常生活和工作中常见的现象.例如等公共 汽车排队，到商店购物排队，交款排队，到医院看病
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3.排队系统的基本组成部分
排队系统是由输入过程、排对规则和服务机构组成 . (1).输入过程 指要求服务的顾客是按怎样的规律 到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流.一 般可以从3个方面来描述—个输入过程. (i) 顾客总体数. 又称顾客源、输入源.这是指顾客 的来源.顾客源可以是有限的，也可以是无限的. (ii) 顾客到达方式. 这是描述顾客是怎样来到系统 的，是单个到达，还是成批到达.
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等待排队，买火车票排队，托运行李排队，取货排队，
这是人的排队.还有另一种排队，例如文件等待打印或 发送，报告等首长批示，路口红红灯下的汽车、自行车 等待通过路口，这是物或设备排队. 总之，凡是具有公共服务性质的事业和工作，凡 是出现拥挤现象的领域，都是排队论的用武之地.
1. 背景介绍 2. 排队系统描述 3. 基本组成部分 4. 数量指标 5. 排队模型的记号
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1.背景介绍
排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是 专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学. 20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应 用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学 . 20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论 才被数学界承认为一门重要的学科.20世纪40年代排 对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分.20 世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用
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排队论所要研究解决的问题：
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设施 但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚
至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等
待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响.如 何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费 用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费 用大小这对矛盾，就是随机服务系统理论——排队论 所要研究解决的问题。
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如何考虑随机因素，设计合理方案，建立数学模
型，一方面提供服务的服务机构即公交公司的线
路设计合理，能够赢得顾客，获得利益；另一方 面被服务的顾客能够在被服务的过程中，排队等 候的时间最短，这都是上述问题要解决的，也是 排队论的主要研究内容.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结束
二、排队论的基本知识
时间一般不要超过10分钟，早高峰一般不要超过
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5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要
低于50%. 试根据这些材料和要求，为该线路设计一个 便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案 包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少 辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和 公交公司双方的利益；等等.
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2.问题分析：
对于第一个问题，关于公交车的调度方案，
可以利用各种的不同的方法，比如多目标规划， 去求得在一定原则下的最优方案，得到一个满足 实际情况的分配方案，但要建立具体的明确、完 整的数学模型，以及求解模型的方法，如何采集 运营数据是关键的.在实际中，公交车具有随机 性，特别是顾客的到来是随机的，是无法精确预
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司的浪费，比如某一时段某一线路所发公交车上没 有顾客或很少的顾客，个别时段个别线路如此，公 交车公司也许可以接受，但长时间的空跑或入不敷 出，最终会使公交车公司不堪重负，甚至倒闭；另 一方面，如果公交车数量较少，很多顾客得不到服 务，或者很多顾客花了很长的时间去排队等候，造 成顾客的不满意度提高，这样公交车公司会失去顾客.
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2.排队系统描述 排队系统又称为随机服务系统，是研究服务
过程和拥挤现象的随机模型. 排队系统的共同特征： • 请求服务的人或者物——顾客； • 有为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台； • 顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客 提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统 的状态也是随机的.
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(iii) 顾客流的概率分布.或称相继顾客到达的时间 间隔的分布.这是求解排队系统有关运行指标问题 时，首先需要确定的指标.顾客流的概率分布一般 有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔 朗分布等若干种. (2).排对规则 指服务台从队列中选取顾客进行 服务的顺序.一般可以分为损失制、等待制和混 合制等3大类. (i)损失制 指如果顾客到达排队系统时，所有 服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来.
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第六章 排队论
一、问题引入与分析 二、排队论的基本概念 三、几类排队论模型
四、模型的建立与求解
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一、问题引入与分析
1. 2001年全国数学竞赛的B题“公交车调度” 是这样的： 某条公交线路上行方向共14站，下行方向共 13站.公交公司配给该线路同一型号的大客车，每 辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的 平均速度为20公里/小时.运营调度要求，乘客候车
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排队系统的几种形式：
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基本排队过程：
从图6—6可知，每个顾客由顾客源按一定方式 到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务， 然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服 务，获得服务的顾客立即离开.