利用分块矩阵证明有关矩阵的秩

第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩
定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有
由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ； 同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。

综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。

则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。

因此
秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

证明：
矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。

由此可得 秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
L L M M L ，21
A+E A E 2
A E
0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→
⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫-⎛⎫ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭
将二列的（）倍加到一列。

命题3：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=A ，证明秩（A ）+秩（A －E ）＝n 。

证明：
矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。

由此可得秩（A ）+秩（A －E ）＝n 。

命题4（Sylvester 不等式）设A 为数域P 上的s ×n 矩阵，B 为数域P 上的n ×m 矩阵，证明秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）－n 。

证明： 显然，秩C=n+秩AB 。

又最后一个矩阵中可以取到一个r+t 阶子式
其中∣M ∣是B 的最高阶（r 阶）非零子式，∣N ∣是A 的最高阶（t 阶）非零子式，故此矩阵的秩≥r+t.因此n+秩AB ≥r+t ，即有秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）－n 。

命题5（Sylvester 等式）设A 为数域P 上的s ×n 矩阵，B 为数域P 上的n ×m 矩阵，证明λn ∣λE m -AB ∣=λm ∣λE n -BA ∣，其中λ≠0。

证明：构造分块矩阵
分别进行初等变换：
A-E A
0A A E E A E E A E 0A E 0A E E A A E 00---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭将二列的-1将一行的倍加到一列倍加到二行
，n
B E 0E 0E B B E
C 0AB A AB A 00A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→−−−−→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
将一列的-倍加到二列。

M *0
N
-≠n
m 1E B C A E ⎛⎫ ⎪
=λ ⎪ ⎪⎝⎭
n n
n m m m n n n m m m 11E B E 0E B A E 1A E 0E AB 111E 0E B E BA B A E A E 0E ⎛⎫
⎛
⎫ ⎪⎛⎫λ
⎪= ⎪λ ⎪ ⎪-
⎪ ⎪⎝⎭- ⎪
⎝⎭λ⎝⎭
⎛⎫⎛
⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪
=λλλ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，
将上两式两边分别取行列式可得 即
因此得n m m n E AB E BA λλ-=λλ-。

m n 11C E AB E BA =-
=-λλ
m n m n 11E AB E BA λ-=λ-λλ。