14.2(2)三角形的内角和
三角形的内角和性质
三角形的内角和性质三角形是我们初中数学中最基本的几何图形之一，它由三条边和三个角构成。
本文将就三角形的内角和性质展开论述，让我们一起来探索三角形内角和的奥秘吧！一、三角形的内角和公式首先，让我们回顾一下三角形的定义。
三角形是由三个线段组成的图形，它们相互连接成一个闭合的形状，同时满足以下条件：任意两边之和大于第三边，任意两角之和小于180°。
对于一个一般的三角形ABC，我们可以通过直接计算或者使用三角形内角和公式来确定它的内角和。
三角形的内角和公式如下：三角形的内角和 = 180°这个公式意味着三角形的三个内角之和等于180度。
不论是什么样的三角形，只要满足三角形的定义，它的三个内角之和都会等于180度。
这是对三个内角之间关系的极为重要的总结。
二、三角形内角和与三角形分类根据三角形的内角和公式，我们可以推断出不同分类的三角形的内角和之间的关系。
1. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90°，相加的结果也会小于180°。
因此，锐角三角形的内角和在90°和180°之间，但是永远不会等于180°。
2. 直角三角形：直角三角形的一个内角是90°，因此，其余两个内角之和必须是90°。
也就是说，直角三角形的内角和等于180°。
3. obtuse angle三角形：obtuse angle三角形至少有一个内角是大于90°的，因此，其余两个内角之和必须小于90°。
所以，obtuse angle三角形的内角和小于180°。
4. equilateral triangle等边三角形：等边三角形的三个内角都是60°，相加的结果等于180°。
因此，等边三角形的内角和等于180°。
通过对不同分类的三角形的内角和的分析，我们可以看出内角和与三角形的形状有密切关系。
三角形的内角和
三角形的内角和三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
本文将探讨三角形的内角和，并通过数学证明和实例分析来验证结论。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，每条线段都连接了两个顶点。
三角形的顶点称为顶点，而两边交汇的点称为角。
根据内角和的定义，我们可以通过求解三角形的内角和来判断其形状和性质。
二、内角和的计算公式三角形的内角和定理指出，三角形的三个内角之和始终等于180度。
令三个内角分别为A、B、C，则有以下计算公式：A +B +C = 180度三、内角和的证明为了证明三角形的内角和定理，我们可以通过几何证明和代数证明两种方法来展示。
1. 几何证明：考虑一个任意的三角形ABC，作三角形ABC的外接圆，连接圆心O与三个顶点A、B、C，得到弧AB、弧BC、弧CA。
我们可以得出以下结论：∠BAC = 弧BC的度数∠ABC = 弧CA的度数∠BCA = 弧AB的度数根据圆的性质，弧的度数等于其对应的圆心角的度数，而圆心角的度数等于圆周角的一半。
所以我们可以得到以下等式：∠BAC = 1/2 ×弧BC∠ABC = 1/2 ×弧CA∠BCA = 1/2 ×弧AB将上述等式代入内角和的公式中，可以得到：(1/2 ×弧BC) + (1/2 ×弧CA) + (1/2 ×弧AB) = 180度化简后得：1/2 × (弧BC + 弧CA + 弧AB) = 180度再化简后得：弧BC + 弧CA + 弧AB = 360度由于三角形的外接圆上的圆周角等于360度，所以三角形的对应内角和等于180度。
2. 代数证明：令三角形的三个内角分别为A、B、C。
通过角度和为180度得到等式：A +B +C = 180度三角形的三条边可以表示为a、b、c，对应的对边的夹角则可以表示为A、B、C。
根据正弦定理，有以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC将等式右侧代入等式左侧，得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆半径）我们知道，外接圆半径R满足以下等式：R = (a×b×c) / (4×Δ)（Δ为三角形的面积）将上述等式代入等式右侧，得到：(a×b×c) / (a×b×c) = 1化简后得到：1 = 1所以，根据代数证明，三角形的内角和等于180度。
《14.2三角形的内角和》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第二学期
《三角形的内角和》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《三角形的内角和》这一课题的学习，使学生掌握三角形的内角和概念，理解并运用内角和定理解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，为后续的几何知识学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 预习作业：学生需提前预习《三角形的内角和》相关内容，了解三角形内角的概念，熟悉内角和定理，并尝试用内角和定理解决一些简单的几何问题。
2. 课堂练习：（1）基本概念练习：通过填空、选择题等形式，让学生熟练掌握三角形内角的概念及内角和定理。
（2）应用题练习：通过实际问题，让学生运用内角和定理解决几何问题，如求三角形未知角度、判断三角形类型等。
（3）探索性练习：引导学生通过动手操作（如剪纸、拼图等）探究三角形的内角和规律，培养其空间想象力及动手实践能力。
三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立思考，独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 细心审题：学生在完成作业过程中要细心审题，理解题目要求，按照题目要求进行作答。
3. 及时订正：学生应按时完成作业，并及时订正错误，掌握解题方法。
四、作业评价1. 评价标准：评价学生的作业应从准确度、完整性、条理性、解题思路及订正情况等方面进行综合评价。
2. 评价方式：教师可通过课堂讲解、小组讨论、个别辅导等方式对学生的作业进行评价，及时指出学生的不足之处，并给予指导。
五、作业反馈1. 教师反馈：教师应对学生的作业进行认真批改，及时反馈学生的作业情况，指出学生的错误及不足，并给予相应的指导。
2. 学生反馈：学生应积极听取教师的反馈意见，认真订正错误，及时向教师请教不懂的问题，积极参与课堂讨论，提高自己的学习效果。
六、总结本作业设计旨在通过预习、练习、探索等方式，让学生全面掌握《三角形的内角和》相关知识，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
同时，通过作业的完成和反馈，帮助学生及时发现自己的不足之处，提高其学习效果。
教师应根据学生的实际情况，灵活调整作业内容及要求，以达到最佳的教学效果。
三角形的内角和知识点总结
三角形的内角和知识点总结一、三角形内角和定理。
1. 内容。
- 三角形的内角和等于180°。
2. 证明方法。
- 剪拼法。
- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角正好组成一个平角，从而直观地得出三角形内角和为180°。
例如，对于一个锐角三角形，可以分别沿着三角形的三条边剪下三个角，然后将角A、角B、角C的顶点重合拼在一起，就会看到它们拼成了一个180°的角。
- 推理证明法（以平行线的性质为基础）- 已知△ABC，过点A作直线EF∥BC。
- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C=∠EAC。
- 又因为∠FAB+∠BAC +∠EAC = 180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，从而证明了三角形内角和为180°。
二、三角形内角和定理的应用。
1. 求三角形中未知角的度数。
- 在一个三角形中，如果已知其中两个角的度数，就可以根据三角形内角和为180°求出第三个角的度数。
例如，在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，那么∠C=180° - ∠A - ∠B = 180°-50° - 60° = 70°。
2. 判断三角形的类型（按角分类）- 锐角三角形。
- 三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。
如果一个三角形的最大角小于90°，根据三角形内角和为180°，可知另外两个角也必然是锐角，这个三角形就是锐角三角形。
例如，在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 70°，∠C = 50°，因为最大角∠B = 70°<90°，所以△ABC是锐角三角形。
- 直角三角形。
- 有一个角是直角（等于90°）的三角形。
三角形的内角和(PPT课件)2024新版
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2024版《三角形的内角和》完整版课件
全等三角形条件判断及证明方法论述
SSS全等条件
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS全等条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
ASA全等条件
两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三 角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
三角形的一个内角与它相邻的外角之和等于180°。
内外角之差关系
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角之差等于180°。
应用场景
内外角关系在解决三角形的问题中有着广泛的应用，如计算三角形的 内角和、判断三角形的形状、证明三角形的全等或相似等。
04
三角形面积计算公式推导与应 用
基于底和高计算面积公式推导
勾股定理内容：在直角三 角形中，直角边的平方和 等于斜边的平方。
已知直角三角形的两条直 角边，求斜边长度。
应用举例
已知直角三角形的一条直 角边和斜边，求另一条直 角边长度。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个 锐角为30°时
邻边（较长的直角边） 与斜边的比值为√3:2。
THANKS
对边（较短的直角边） 与斜边的比值为1:2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为45°时（等腰直角三角形） 两直角边相等。
对边与斜边的比值为1:√2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为60° 时
对边（较短的直角边）与斜边 的比值为1:2。
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合 一（底边上的中线、高线和顶角
三角形内角和的性质
三角形内角和的性质
三角形是几何学中最基础的形状之一，它具有多个重要的性质。
其中一个性质是三角形的内角和等于180度。
性质解析
1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，每条线段称为三角
形的边，而三个顶点则是边的端点。
2. 内角：三角形的内角是由两条相邻边所形成的角度。
3. 内角和：三角形的内角和是指三个内角加起来的总和。
三角形内角和的计算方法
三角形的内角和可以通过以下公式计算：
内角和 = 180度
这意味着无论三角形的形状和大小如何变化，其内角和始终等
于180度。
换句话说，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般的
三角形，它们的内角和都是固定的。
举例说明
例如，我们考虑一个具体的等边三角形。
等边三角形的三个边
相等，每个内角都为60度。
根据性质解析中的公式，三个内角的
和应为180度。
对于等边三角形来说，三个60度的内角加起来确
实等于180度。
同样地，对于等腰三角形来说，两个内角相等，而另一个内角
则不同。
但是，无论等腰三角形的两个相等内角是多少，它们加上
另一个内角总和也将等于180度。
这个性质同样适用于一般的三角形。
无论三角形的内角是锐角、直角还是钝角，它们的和都等于180度。
结论
三角形的内角和等于180度是一个重要的几何性质。
它可以帮助我们计算三角形的内角，对于解决各种三角形相关问题和定理证明都有着重要的作用。
三角形的内角和ppt课件
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和一般三角形；按角可分为 锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和为180°，外角和为360°。
特殊三角形性质介绍
等边三角形性质 三边相等，三个角都是60°。
01
02
03
知识掌握情况
学生自我评价对于三角形 内角和的定义、性质以及 推导过程有清晰的认识和 理解。
解决问题能力
学生能够运用三角形内角 和的知识解决一些简单的 三角形角度计算问题。
学习态度与习惯
学生表现出积极的学习态 度和良好的学习习惯，能 够认真听讲、积极思考并 主动发言。
课后作业布置及要求
作业内容
判断形状类问题解析
已知三边判断形状
01
通过三边关系判断三角形的形状，如等边、等腰或一般三角形
。
已知两角及夹边判断形状
02
根据角边角（ASA）或角角边（AAS）关系判断三角形的形状
。
已知三角判断形状
03
通过三角形内角和定理及三角形形状的判断条件进行综合分析
。
一题多解类问题探讨
多种方法求角度
除了直接应用三角形内角和定理 外，还可以利用正弦、余弦定理
若三角形中三边相等，则三个角也 相等，每个角均为60°，可以快速判 断出所有角的大小。
05
典型例题解析与思路拓展
求角度类问题解析
1 2
已知两角求第三角
通过三角形内角和定理，直接计算第三角的度数 。
已知两边及夹角求其他角
利用正弦、余弦定理求解其他角度。
《三角形的内角和》
三角形的内角和三角形是平面几何中一种基本的多边形，由三条线段（即边）首尾相连围成的封闭图形。
在数学的多个领域中，三角形都是一个基础且重要的研究对象。
三角形的性质和定理在解决实际问题中扮演着关键角色，其中最基本且应用广泛的性质之一就是三角形的内角和。
三角形的内角和指的是一个三角形内部三个角的度数总和。
这个性质不仅在数学理论中占据重要地位，而且在实际生活和工作中，如建筑、工程、地理测量等领域，都有广泛的应用。
本文将深入探讨三角形的内角和的性质，以及其在不同情境下的应用。
三角形内角和的定理三角形内角和定理表述为：任意一个三角形的三个内角的度数和等于180度。
这个定理是几何学中的基本定理之一，也是学习平面几何的入门知识。
内角和定理的证明可以通过多种方式进行，常见的证明方法包括：1.平行线性质：通过在三角形的一个角上作平行于另一边的直线，利用平行线的性质和同位角的性质来证明内角和定理。
2.外角和性质：利用三角形的外角和定理（一个三角形的每个外角等于非相邻两个内角的和），结合外角和为360度的性质来证明内角和定理。
3.欧几里得几何：在欧几里得的《几何原本》中，通过公理化方法，利用几何的基本公理和公设来证明三角形的内角和为180度。
三角形内角和的应用1.角度计算：给定一个三角形中两个角的度数，可以快速计算出第三个角的度数。
例如，在直角三角形中，已知一个直角为90度，如果知道另一个角的度数，可以直接通过内角和定理计算出第三个角的度数。
2.形状判定：通过测量或计算三角形内角的度数，可以判断三角形的类型，如是否为直角三角形、等腰三角形或等边三角形。
3.平面测量：在土地测量或建筑设计中，常常需要根据已知的两个角度和边长来计算第三边的长度，这时就会应用到内角和定理。
4.物理与工程：在物理学中，当分析力或速度分量时，常常需要考虑角度问题，内角和定理可以帮助确定这些分量的关系。
结论三角形的内角和定理是几何学中一个简单而深刻的性质，它揭示了三角形内角之间的一种基本关系。
14-2三角形的内角和(第1课时)(教学课件)-七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
2.已知△ABC中两个内角的度数，判断△ABC的类型：
(1)∠A=30°，∠B=40°；
(2)∠B=32°，∠C=58°；
(3)∠B=60°，∠C=50°.
解：(2)在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和等于180°）. ∵∠B=32°，∠C=58°（已知）， ∴∠A=180°－∠B－∠C =180°－32°－58° =90°(等式性质) ∴△ABC是直角三角形.
解：根据题意，设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x，3x，4x。 ∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角（已知）
∴∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°）
即 2x+3x+4x=180
解得 x=20
∴ ∠A =40°，∠B=60°，∠C=80°（等式性质）
随堂检测
1、判断下列各组角度的角是否是同一个 三角形的内角？
∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和等于180°）. ∵∠B=35°，∠C=55°（已知）， ∴∠A=180°∠B∠C =180°35°55° =90°（等式性质）.
∴△ABC是直角三角形.
可设一份为x.
例题2 在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1︰2︰3， 求∠A、∠B、∠C的度数.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、2x、3x.
∴ ∠1=30°(等式性质).
B
D
C 在△ADC中，
∠1+∠C+∠ADC=180°
求∠DAC的度 数，可在
（三角形的内角和等于180°）. ∵∠C=45°（已知），
△ADC中加以 解决.
∴∠ADC=180°－30°－45°=105° （等式性质）.
三角形内角和教学设计说明
《三角形的内角和》教学设计说明教材上海教育出版社七年级第二学期第十四章《三角形》中14.2《三角形的内角和》教师上海市位育初级中学费晓芳一、教材地位和作用本节课的内容是上教版第十四章《三角形》中14.2《三角形的内角和》的第一课时.上教版初中数学教材的几何部分教学分为三个阶段：直观几何阶段、实验几何阶段和论证几何阶段.第十四章以三角形为研究对象.三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础.本章节的教学处在从是实验几何向论证几何的过渡期间，也是实验几何的最后一章，许多内容的呈现以实验归纳为主，同时也有些内容是通过说理来导出，或者把实验归纳与推理论证结合起来阐述.由于学生在小学阶段已经通过实验操作对三角形的内角和已有直观认识，所以实验探究与演绎说理相结合成为本章乃至本节课的教学主策略.此外，在三角形内角和性质的证明中引入了辅助线，这些都为后继学习奠定了基础.二、教学目标分析教学目标经历对三角形内角和性质说理证实的过程，进一步了解演绎推理的意义，初步体验联想与构造的思维方法；掌握三角形内角和性质及其应用；并在知识发生过程和运用中发展理性思维.教学重点三角形内角和性质及其应用.教学难点三角形内角和性质说理证实的过程.三、学情分析学生通过第十三章《相交线平行线》的学习，对逻辑推理方法有初步的认识，知道从已有的概念和事实出发、符合逻辑地思考，可以推出新的正确结论，并把“说理”用“推理”的语言表达出来，具有初步的逻辑推理意识、言必有据的习惯和在简单情况下进行逻辑推理的能力.本节课的授课对象是我校七年级分层数学教学中数学基本功较好的学生，学生有较强的探究学习能力，所以本节课借助联想与构造的思维方法，通过问题设计让学生自主对三角形内角和性质说理证实的过程.四、教法特点在归纳、说理、表达的过程中，我重视培养学生的几何语言运用能力.不仅自身规范地使用数学语言，而且引导学生“看图说话”、“用话说图”、“用符号表示几何关系”等，建立图形、文字、符号之间的联系，进行文字语言、符号语言、图形语言之间的“互译”基础训练.从“最近发展区”出发，依托学生对平常所学定理、公式的掌握和理解，学生很容易由180°联想到平角或两平行直线中的同旁内角互补，继而添加辅助线构造出特殊的图形，为三角形内角和性质的说理作准备.所以，在联想——构造的过程中，我借助联想、采用构造方法添加辅助线，利用知识间的联系，逐步诱思，让学生的思维逐步深入，培养学生思维的灵活性、敏捷性和创造性.由于处于实验几何阶段末期，学生层次又较好，所以例题 3 的应用，我引导学生从结论出发，层层分析，把握条件与结论之间的逻辑关系，以简明的逻辑段落，尝试用“演绎推理”的形式渗透演绎推理中分析框图，进一步强调理性思维，为论证几何阶段的几何学习作知识、方法等方面的准备.在拓展部分∶“你能求出四边形的内角和吗？六边形呢？”的研究过程中，强调在数学学习中遇到一个新问题时，我们经常采用把新问题转化为已经解决的老问题来处理.拓展题中把四边形的内角和问题转化成我们刚刚说理证实得到的三角形内角和问题，初步体验化归的数学思想.课堂教学中的板书呈现以下两个设计思想∶①板书结构简明扼要地反映本节课的教学重难点，并明示重要的思维方法；②证明的板书演示，注重推理表达的书写规范和严密性，旨在对学生几何学习的“双基”的夯实.在作业设计中，充分考虑到学生学情的差异性，设计了必做题和选做题两个层面的作业供学生巩固新知.。
三角形的内角和计算
三角形的内角和计算
三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，这
三条线段相互连接成一个封闭的形状。
在三角形中，我们可以计算
内角的和。
三角形的内角
三角形的内角是指三角形内部的角度。
三角形有三个内角，分
别位于三个顶点处。
我们可以用字母 A、B、C 来表示三个内角，
对应于三个顶点。
内角和定理
内角和定理是三角形的一个重要定理，它告诉我们，三角形的
内角和等于 180 度。
也就是说，三角形的三个内角的度数相加总是
等于 180 度。
通过内角和定理，我们可以用下面的公式计算三角形的内角和：
内角和 = 角度A + 角度B + 角度C
例子
为了更好地理解内角和的计算，我们来看一个例子。
假设有一个三角形，角度A的度数为 60 度，角度B的度数为70 度，角度C的度数为 50 度。
那么可以使用内角和的公式来计算三角形的内角和：
内角和 = 60 + 70 + 50 = 180 度
所以，这个三角形的内角和为 180 度，符合内角和定理。
总结
三角形的内角和是一个重要的概念，通过内角和定理可以简单地计算三角形内角的和。
根据内角和定理，三角形的内角和总是等于 180 度。
这个定理在几何学中有很多应用，为我们解决问题提供了便利。
沪教版(上海)七年级数学第二学期-14.2 三角形的内角和-学案设计(无答案)
21B A C M D三角形的内角和【学习目标】1．通过动手操作，使学生理解并掌握三角形的内角和是180°的结论。
2．能运用三角形的内角和是180°这一规律，求三角形中未知角的度数。
3．培养学生动手动脑及分析推理能力。
【学习重难点】重点：三角形的内角和是180°的规律。
难点：使学生理解三角形的内角和是180°这一规律。
【学习过程】一、自主学习1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。
推理过程：1）作CM ∥AB ，则∠A=_______，∠B=_______，∵∠ACB +∠1+∠2=1800，∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
2）作MN ∥BC ，则∠2=_______，∠3=_______，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800。
2．三角形的外角的定义。
三角形_______，叫做三角形的外角。
每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角。
如：∠ACD ，∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE 。
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了。
3．三角形外角的性质。
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）三角形的三个外角和为360°。
二、例题学习：1．已知，如图，AE//DC，∠A=∠C。
求证：∠1=∠B。
2．已知：如图，EF∥AD，∠1 =∠2。
求证：∠AGD＋∠BAC = 180°。
3．已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2。
求证：∠3 =∠B.AB E CDF1234675AB ECDFG12。
三角形的内角和讲解
三角形的内角和讲解
三角形的内角和
三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条直线组成，这三条直线之间的角被称为内角。
一个三角形的内角总和等于180°，即：内角和 = A + B + C = 180°
其中，A，B，C分别代表三角形的三个内角。
牢记三角形内角和定理可以有效地帮助我们解决各种三角形的
问题，例如：
1、给定任意两个内角的大小，我们可以算出第三个角的大小；
2、如果给定三角形的三条边，我们可以算出其三个内角的大小；
3、给定三角形的三个内角的大小，我们可以算出三条边的大小等等。
一般情况下，如果给定三角形的任意两个内角的大小，则可以算出第三个角的大小。
例如，已知一个三角形的两个内角为A=30°和B=60°，则可以求出C=90°。
事实上，三角形内角和定理对于求解各种三角形问题至关重要，尤其是在求解更复杂的几何题目时，一定要牢记这个定理，以便正确运用它。
- 1 -。
《三角形的内角和》ppt课件
三角形内角和定理是初中数学中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素 养具有重要意义。
02
三角形内角和的基本概念
角度与三角形的关系
三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。 角度是描述两条射线之间的夹角大小的量度。 三角形中的角度与边长之间存在一定的关系，如正弦、余弦定理等。
基于三角形内角和定理，可以推 导出许多三角恒等式，这些恒等 式在解决三角函数问题时非常有 用。例如，正弦定理、余弦定理
等。
三角函数的应用
在物理学、工程学、天文学等领 域中，经常需要使用三角函数来 解决实际问题。而三角形内角和 定理是解决这些问题的关键之一。
在实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要使用三 角形内角和定理来计算角度、长 度等参数，以确保建筑物的稳定
性和美观性。
地图绘制
在地图绘制中，三角形内角和定理 被用来确定地图上两点之间的角度， 从而保证地图的准确性和可靠性。
导航定位
在导航定位中，三角形内角和定理 被用来计算航向、俯仰角等参数， 以确保飞机、船舶等交通工具的正 确航行方向。
05
总结与回顾
三角形内角和的总结
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
培养空间思维
学习三角形内角和定理有 助于培养学生的空间思维 能力和几何直觉。
回顾与思考
01
回顾三角形内角和定理的证明过程，加深对定 理的理解。
02
思考三角形内角和定理在现实生活中的应用， 提高解决实际问题的能力。
03
探究其他几何图形的内角和性质，拓展几何知 识面。
THANKS
内角和为180度的结论。
《三角形的内角和》PPT课件
03
在解决三角形相关问题时，可以运用该定理进行计算、证明等
。
回顾三角形内角和定理推导过程及应用方法
推导过程ห้องสมุดไป่ตู้
在三角形中作一条平行于底边的线段，将三角形分成两个直 角三角形，再运用平行线的性质和平角的定义推导出三角形 内角和定理。
应用方法
在解决与三角形相关的问题时，可以灵活运用三角形内角和 定理。例如，已知三角形两个内角的度数，可以求出第三个 内角的度数；已知三角形的一个内角及其相邻的两边，可以 求出该三角形的其他元素等。
促进彼此之间的交流和学习。
课堂小测验，检验学生对知识点的掌握情况
闭卷测试
成绩反馈
通过简短的闭卷测试，检验学生对三 角形内角和定理的掌握情况，包括定 理的表述、证明方法以及在实际问题 中的应用等。
及时公布测试结果，并对学生进行个 性化的成绩反馈，指出学生在哪些方 面已经掌握，哪些方面还需要进一步 学习和提高。
开卷测试
允许学生使用教材和笔记等资料，完 成一份稍复杂的测试卷，以检验学生 对三角形内角和定理的深入理解和应 用能力。
06
课程总结与回顾
总结本节课重点内容
三角形内角和定理
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和定理的推导过程
02
通过平行线的性质、平角的定义等几何知识推导得出。
三角形内角和定理的应用方法
解决实际问题中涉及三角形内角和问题
测量问题
在实际问题中，有时需要测量某个角度或距离。通过构造三角形并应用三角形内角和定理，可以间接 地求出所需的角度或距离。
工程问题
在建筑设计、机械制造等领域中，经常需要处理与三角形相关的问题。例如，在桥梁设计中需要计算 桥墩之间的角度以确保桥梁的稳定性；在机械制造中需要计算零件之间的角度以确保装配的准确性。 通过应用三角形内角和定理以及相关的数学知识，可以有效地解决这些问题。
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8
教学反馈：
9
初中数学电子教案
年级
七年级（下）
课题
14.2（2）三角形的内角和
日期
知识与技能 （1）理解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和； （2）会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 教学 目标 过程与方法 内角的和”进行有关计算。 联系三角形外角与内角的定义，三角形内角和性质，经 历探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和。 情 感 态 度 与 价 值 观 教 学 重 点 教材 分析 教 学 难 点 相 关 链 接 运用逻辑推理的思想方法解决数学问题。 三角形内角和性质。 感受逻辑推理的思想方法。
教后记
三、课内练习 1．学生写在课堂练习本上； 1、 （1）图（1）中的∠1 是△ABC 2．让学生回答并说理由； 的外角吗？ 3．第 3、4 题学生板演。 4．∠ACD=4∠A 等角的和差计算， 学生不容易形式“∠A”看成未知 数；
（2）图（2）中的∠1 是哪个三 角形的外角？ 2、求下列图中 X:
3
教学内容
教学过程
教后记
3、例题 1：已知△ABC 中，∠A= 1．先让学生画出∠B、∠C 相邻 30º，∠C=50º，求分别与∠B、∠ 的一个外角； C 相邻的一个外角的度数。 2． 答案不成问题， 注意书写规范； 不 习 惯 用 三 角 A 形外角性质。
30º
B
50º
C
先让学生说说相关的角在不同 4、如图，已知∠BAC=70º，D 是 1． 的三角形中的角色， 如∠ADB 是△ △ABC 的边 BC A 上的一点，且 ADC 的外角，是△ABD 的内角， ∠CAD=∠C， 强化识图； ∠ADB=80º。 2．注意∠BAC 的合理使用； B D C 思考：如何求 3． 学生常常会先考虑三角形的内 ∠C、∠B 的度数。 角和， 而不是外角性质， 注意引导； 4．求∠B 的度数的思路较多，可 以酌情讲解， 但必须注意每一种方 法的依据； 5、 （1）如图，对于 1 A 三角形的每个内角， 从与它相邻的两 3 B 个外角中取一 C 2 个，这样取得 的三个外角相加所得的和，叫做 三角形的外角和。如图，∠1+∠ 2+∠3 就是△ABC 的外角和。 请猜想三角形的外角和等于多少 度？
教学过程
教后记
开放式小结，强调性质的关键部 用 符 号 语 言 板 分； 书性质。
五、布置作业 1 、求下列各三角形中∠ C 的度 A 要求规范的写出推理过程。 数。 65 º
B C
40 º
120 º
2、如图，求∠1、∠2、∠3 的度 数。 115 º
1 45 º 3
6
教学内容
3、 如图， 已知∠B=90 º， ∠BAC=45 º， ∠DAC=30 º，求∠DPC 的度数。
A F D
教学过程
教后记
B
E
C
六、拓展练习 1、E 是△ABC 内任意一点，请 先让学生思考如何构造有效的图 说明∠BEC>∠A。 形；
2 、如图， AB ∥ ED ，用多种方 法说明∠ ABC+ ∠ BCD+ ∠ CDE=360 先说思路，再让学有余力的学生 书写几种不同的方法。 一般学生挑 º。 选一种； A B
D B P C A
教学过程
教后记
引导学生寻找 角的角色： 如哪 个三角形的外 角、内角？
4、 如图， 在△ABC 中， ∠BAC=60 º，BD 是 AC 边上的高，CE 是 AB 边上的 高，求 ∠1、∠2、∠3 的度数。
A E B
2
D
3 1
5、 如图， 直线 DF 与△ABC 的两 边 AB、AC 分别相交于 D、E 两 点，与 BC 的延长线相交于点 F， ∠B=50º，∠1=76º，∠F=30º， A 求∠A 的度数。
教后记
强调外角的定 义， 而且要画一 些非标准图形 进行反复比对。
1、∠ACD 叫做三角形的外角 你能说一说什么叫三角形 的外角吗？ 由三角形一个内角的一边与 另一边的反向延长线组成的角， 叫做三角形的外角。如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，而∠ACB 是与它相邻的内角。请画出这个 三角形的所有外角。 三角形中，与一个内角相邻的外 角有几个？它们有什么关系？
70º 45 º
X º
2X º
70 º X º
120 º
X º
120 º
会计算答案， 但 书写过程不规 范。
3、 如图， ∠1、 ∠2、 ∠3 是△ABC 的三个内角，∠4、∠5 是 △ABC 的外角。已知∠1=85 º， ∠5=130 º，求∠2、∠3、∠4 的 度数。 4、如图，在△ABC 中，已知∠ B=90 º， ∠ACD=4∠A，求∠A 的度数。
学生不会合理 设元。
3、 （1）如图（1）求∠ACD 的度 数。
（2）如图（2）求∠1 的度数。
2
教学内容
二、新课探索
教学过程
1．定义的教学：特例归纳一般特 征； 2．用语言表述； 3．尝试用定义操作，画出这个三 角形的所有外角，加深认识； 4．教师提问：三角形中，与一个 内角相邻的外角有几个？它们有 什么关系？ 5．师生纠错，给出正确答案：2 个，对顶角；
2、 （1）思考：在三角形的外角与 1．教师提问：我们研究了三角形 同一个内角相邻的内角的关系， 那 内角之间有怎样的关系？ 么三角形的外角与内角之间有怎 样的关系？ 2．让学生探究； 3．师生交流，得出答案； 三角形外角的性质： 4．学生描述的语言可能不精确， 三角形的一个外角等于与它不 要不断举反例修正。 5．齐读性质； 相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一 6．强调性质的关键字。 个与它不相邻的内角。
D B C E 1 F
6、如图，轮船向正东方向航行， 在 A 处测得海上控制中心 P 位于 北偏东 60º方向，轮船继续向正 东方向航行到 B 处，这时测得控 制中心 P 位于 北偏东 45º的 P 方向，求 ∠APB 的度数。 60º 45º
A B7Biblioteka 教学内容7、如图，∠A=30º，∠B=45º，∠ C=40º， 求∠DFE 的度数。
三角形外角性质及外角和的探索。
1
教学内容
课前练习 1、求下列各图中的 x。
教学过程
1．学生坐在课堂练习本上，然后 回答； 2．学生板演第 2、3 题； 3．师生讲评；强调数形结合，用 方程组的方法解决几何问题。
教后记
强调数形结合 思想， 用方程组 的方法解决几 何问题。
2、在△ABC 中，∠A+∠B=100º， ∠C=2∠A，求∠A，∠B，∠C 的 度数。
A
B
C
D
5
教学内容
四、本课小结 1、三角形的外角： 由三角形一个内角的一边与凌 夷边的反向延长线组成的角，叫 做三角形的外角。 2、三角形外角的性质： （1） 三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和； （2） 三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。 3、三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360 º。
1． 三角形的外角和的定义教师直 接给出； 记住外角和的、 2． 猜想三角形的外角和等于多少 值。 度？ 3 ．思考：如何说明猜想的正确 性？ 4． 用文字语言和符号语言表述猜 想的结论。
（2）如图，∠1+∠2+∠3=360º。 请用语言表述这个结论。 三角形的外角和等于 360º。
4
教学内容
教学过程