第6章 波函数和薛定谔方程

i t
这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示 对函数的操作过程。 由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数， 则： i i i i y t x z ——对应力学量的算符。
其他算符： 利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获 得所有的力学量算符。
说明： 1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其 有效性需要后面的推论来验证。 2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。
2 p 2 pn 3，相关公式 h n
h 2
E E 2 2 h
4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础， 进而确定粒子的全部微观性质。 问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？ 波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以 -iħ ，则：
i p0 r E0t
代入t=0时的波函数，确定 A 2
第4节 薛定谔方程
问题：如何确定任意一个系统的波函数？ 要找到一个作用在Ψ(r,t)上的普遍方程——薛定谔方程。
薛定谔方程：
p2 E V r , t 2m
考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：
p (r, t ) Ae
例：对于波函数Φ(r,t)，如果有
r , t
2
d N
则其归一化波函数为： r , t
1 N
1 r , t N
——归一化常数

对波函数的说明：
1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化 波函数； 2：如Φ(r,t)为描述某一状态的波函数，则Φ(r,t)eiδ（其中δ为实常 数）描述同一状态。因为：
2 2 2 p 2 px p y pz 例：动能的定义式： T 2m 2m
动能算符：T 1 i i i 2m x y z
2 2
2

第2节 波函数的统计解释
因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做 出如下解释： 根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。 解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为 |ψp(r,t)|2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中， 找到粒子的概率与|ψp(r,t)|2成正比，与体积元dτ成正比：
P'
2



dy dz dx
2

dxdydz
r ,0 2 e
3 2 i p0 r
3:已知t=0时自由粒子的波函数为： p0为已知动量矢量，求Ψ(r,t)。
2 p0 解：p0对应能量为 E0 2m
则设
(r , t ) Ae
3 2
i ip p r , t i x p r , t x
px p r, t
类似的方法，可得到py和pz。
波函数ψp(r,t)对t求偏导，再乘以 iħ ，则：
i p r , t t
E p r, t
以上计算的共同点：计算过程 i i i y x z
dpr , t k | p r, t | d
2
取比例系数k=1
| p r, t ຫໍສະໝຸດ Baidu |2 d
单位体积内找到粒子的几率为：
dp r , t d
w(r, t ) | p r, t |2
w(r,t)——几率密度函数。
第3节 态的迭加原理
态的迭加原理：如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加Φ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。
2 2
| r, t | | ir, t |
2
2
ir , t e
3 i 2
r , t
2：设波函数为Ψ(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几 率。 解：如Ψ(x,y,z,t)已归一化，则几率为： P' 如未归一化，则几率为： P
2 对应的算符为：H 2 V r , t 2m
ˆ i H t
——薛定谔方程

对薛定谔方程的说明：
1，1926年最早由薛定谔提出； 2，是量子力学的另一个基本假设；
3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出； 4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。 5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。
| r , t e i |2 * e i e i
2 * r, t
其中 eiδ 称为相因子。 3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率 是否相同。 波函数都归一化后，判断是否 1 2 练习：1，判断波函数Φ(r,t)和 - iΦ(r,t)是否描述同一状态？
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2m x y z 2m
2 2 则有： p r , t T p r , t 2m
2 — 拉普拉斯算符

说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。 2，任一算符与其对应力学量的关系为： A p r , t A p r , t
说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。 2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。

归一化波函数：
2
在全空间任一粒子出现几率为1，则：
r , t
d 1
——归一化条件
dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。 满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能 i 用上式归一化，例如前面介绍的 pr Et