1.1 两个基本计数原理-王后雄学案

张喜林制
1.1 两个基本计数原理
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1. 分类加法计数原理
完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有]m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法……在第n
类办法中有n m 种方法，那么，完成这件事共有N = 种方法．
2. 分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有]m 种方法，做第二步有2m 种方法……做第n
步有n m 种方法．那么，完成这件事共有N= 种方法．
3. 加法原理与乘法原理的区别
在加法原理中，每一类办法中的每一种方法____，即这n 类办法彼此之间是 ；在乘法原理中，
任何一步 ，即各步互依，缺一不可．
要点核心解读
1.分类加法计数原理
(1)“做一件事，完成它可以有n 类办法”，这是对完成这件的所有办法的一个分类．分类时，要注意
满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不两类的两种方法是不同的
方法．
(2)加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这法可以分成n 类；②用每一类中的每一种方
法都可以完成事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．分步乘法计数原理
(1)“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，
要完成这件事必须并只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．
(2)乘法原理的特点是：①完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；
③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数，
3.分类计数原理和分步计数原理的区别
两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n 类办法
是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需
分n 个步骤，这n 个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，
则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.
处理具体问题时，若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数；最后
用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步
骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数
原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．
若从集合的角度去看，两个基本原理的意义及其区别就显得更加清楚，下面就n=2的情况加以说明
（n=3，4，…依此类推）．
完成一件事有A 、B 两类办法，即U B A B A =∅=
,（即不重复、不遗漏）．在A 类办法中有]m 种
方法，在B 类办法中有2m 种方法，即,)(,)(21m B card m A card ==那么完成这件事的不同方法的种数是 ⋅+=+=21)()()(m m B card A card B A card
这就是当n=2时的分类加法计数原理．
完成一件事情要分成A 、B 两个步骤，在实行A 步骤时有1m 种方法，在实行B 步骤时有2m 种方法，
即,)(1m A card =,)(2m B card =那么完成这件事的不同方法的种数是card A card B A card ⋅=)().(
⋅⋅=21)(m m B
这就是当n=2时的分步乘法计数原理．
典例分类剖析
考点1 分类加法计数原理
命题规律
单独命题有关分类加法计数原理的试题极少，一般考查两个原理的综合运用．
[例1] 2010届一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了
解到A 、B 两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：
那么，这名同学不同的填法共有多少种？
[解析] 由于这名同学在A 、B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，因此符合分类加
法计数原理、的条件．
[解]这名同学可以选择A 、B 两所大学中的一所．在A 大学中有5种专业选择方法，在B 大学中有4
种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4 =9（种）。

[点拨] 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步，
母题迁移1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本
阅读，不同的选法有( )。

A.22，种 B ．350种 c ．32种 D ．20种
考点2 分步乘法计数原理
命题规律
利用分步乘法计数原理解决的试题，有时会添加一些限制条件，解决的办法大致可分为直接法和间接
法．
游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )．A．300种 B．240种 C.144 种 D．96种
[试解]。

（做后再看答案，发挥母题功能）
[解析]四个游览城市中只有邑黎有限制要求，甲、乙不去，因而可以先安排去巴黎的人，再依次安排去其他城市的人，整个事件的安排可以分为四步，每_步安排一个城市，因而按分步乘法计数原理计算．去巴黎的人为除甲、乙两个人外的其余四人，只能有一人去，所以有4种选择．
再安排一人去剩下的三个城市中的一个，比如伦敦，剩余有五人，因而有5种选择．
再从剩下的四人中选一人去剩下的两个城市中的一个，所以有4种选择．
最后一个城市只能从剩余的三人中选一人，所以有3种选择所以4×5×4×3 = 240(种)．
[答案]B
[点拨] 用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成．本步骤的方法种数．
母题迁移2．用5种不同的颜色给图1一1-1中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
考点3 两个原理的综合运用
命题规律
类中有步，步中有类，由一些特殊元素的原因（如0不能排首位）进行分类．
[例3] 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有；4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
[解析]欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法：从第一个口袋内取，或从第二个口袋内取，都能完成这件事，所以第(1)题可用分类加法计数原理来解，欲完成从两个口袋内各取一个小球，需分两个步骤：第一步，在第一个口袋内任取1个小球；第二步，在第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完．成了这件事就完成了，因此第(2)题用分步乘法计数原理．
[解] (1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法．
根据分类加法计数原理，不同的取法有N=5+4=9（种）．(2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步，从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步，从第二个口袋内取1个小球，有4种方法．
根据分步乘法计数原理，不同的取法有N =5 x4 =20（种）．
[点拨]在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事；是有n类办法还是需分成n个步骤，应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事．应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤．
[例4] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[解析]该问题与计算有关，因而考虑选用两个基本原理计算．完成的一件事是组成两位数，当两位数的十位、个位确定后，这个两位数也就确定了，因而可考虑以安排十位上的数字情况进行分类，对于每一个十位上的数字，满足条件的个位上的数字的个数就是完成一件事的一类办法中的不同方法数． [解]根据题意，将十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
[点拨] 解决具体问题时，如何分类或分步，开始学习时可能会遇到一些困难，因此要在不断的学习中注意积累经验，掌
….握思维方法，逐步学会做到恰当分类、合理分步．
请思考：你能换一种分类方法给出另外的解法吗？
[例5] 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中各选1人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
[解析]本题考查两个原理的综合运用，按先分类后分步的方法解决，分四类求解，以2名既会下象棋又会下围棋的学生为分类标准，在分类中再分步完成。

【解】 (1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2=6种选法：
(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2=6种选法；
(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名即会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2=4种选法；
（4）从2名即会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象名参加围棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2 x1=2种选法．根据分类计数原理，一共有6 +6 +4 +2= 18种不同选法．
[点拨] 从2名既会下象棋又会下围棋的学生进行分类求解若分类不当，很容易产生“重复”或“遗漏”情况，注意掌握.
母题迁移 3.（2009年北京高考题）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ).
A.324 B ．328 C.360 D ．648
4. 集合A={1，2，一3}，B={-1，-2，3，4}．现从A 、B 中各取一个元素作为点P （x ，y ）的坐标．
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
考点4 枚举法
命题规律
不易用常规的解题方法，或用常规的解题方法比较困难，并且答案的种数较少．
[例6] 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形有( )．
A. 3种
B.4种 C ．5种 D.6种
[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）
[解析] 依题意列方程组，讨论方程组的解，求得非负整数解的组数即为问题的解，考虑到所给解答的范围较小( ≤6)，故可用枚举法，分类讨论.
设该队胜x 场，平y 场，负z 场，且x 、y 、z 是非负整数，则⎩
⎨⎧=+=++)2.(..........333)1.......(15y x z y x 因为不考虑胜 、平、负的顺序，所以问题转化为求此方程组的不同非负整数解的组数．
解法一：由（2）式，得，y=3(11 -x)，
带入（1）式整理，得z=2(x -9)．
由,150,150≤≤≤≤z y 可知⎩
⎨⎧≤-≤≤-≤.5.790,5110x x 所以这个不等式组的解为.119≤≤x
即x 最多只能取9，10，11三个值，对应的y 值也只能取6，3，0三个值，对应的z 值也只能取0，2，4三个值，从而由①②组成的方程组有且只有三组不同的非负整数解，故选A ．． 解法二：由②式，得⋅-=3
11y x 因为x 是非负整数，所以y 必须是3的倍数，
将上式代入①，得.243r z =-=
因为0,0≥≥y z 且都是整数，所以可知y 的值只能取0,3，6三种情况，对应着z 只能取4，2，0，x 只能取11，10，9，即方程组①②有且仅有3组解．
解法三：由积分33知最多可能胜II 场，依所胜场次由多到少得到各种情形如下表：
只有如上3种情况，故选A ．[答案]A
[点拨] 本题的解法中不论是解方程组、分类讨论，还是枚举法，都体现了“分类”解决问题的意识，对事件的结果，按不同的“组织形式”都可以获得结果．用分类计数原理an 商题的方法是多种多样的，但要严格按分类的某个标准来执行求解 的过程，才能求得方法的种数．
[例7] 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3个，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有（ ）．
A.5种 B ．6种 C ．7种 D.8种
[试解]____．（做后再看答案，发挥母题功能）
【解析]本题是一道理财问题，其实质是180元钱如何用，用树状图可解，可能的选购数表如下：
由题意知，除去购买3个软件，2盒磁盘，剩余的钱数为500 -3×60 -2×70 =180（元）．设用剩余的180元选购单片软件x 个，盒装磁盘y 盒，
则⋅∈≤+),(1807060N y x y x
不等式共有7个解，即选购方式有7种，故选C ．
[答案]C
[点拨] 本题采用树状图将所有答案一一列出，既清楚又直观．
母题迁移 5．在大小不等的两个正方体玩具的六个面上分别标有数字l ，2，3，4，5，6，向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有几种？
优化分层测训；
学业水平测试
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有( )．
A ．50种
B ．26种
C ．24种
D ．616种
2.将3个不同的小球放人4个盒子中，劂不同放法种数有( )．
A ．81种
B ．64 种
C ．12种
D ．14种
3．已知},4,24,31
{},7,3,2{--∈∈y x 则x ×y 可表示不同的值的个数是( )． 211.=+A 3111.=++B 632.=⨯C 933.=⨯D
4．从1到10的10个正整数中任意地取出两个数相加，所得的和为奇数的不同情形有 种.
5．某商业大楼有8个门供顾客出入，某顾客从任一门进入，从另一门走出，则不同的走法种数为____．
6．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1封信 ，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
高考能力测试
（测试时间：60分钟测试满分：100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5 分，共40分）
1．从集合{1，2，3}和{l，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是( ).
A.24 B．23 C．12 D．11
2．（2011年全国高考题）4位同学各从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )．
A．12种 B．24种 C．30种 D.36种
3．（2009年北京高考题）由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()．
A.8 B．24 C.48 D.120
4．（改编题）有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有( )．
A．21×20= 420种 B.8 +7 +6= 21种
C.8 x7 +7 x6+8 x6 =146种
D.8 x7×6=336种
5．如图1-1-3，某段电路有6个焊接点A,B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，该段电路就会不通，现在电路MN间没有电流通过，那么焊接点脱落的可能性共有( )．
A．14种 B．49种 C．16种 D．64种
6．三边长均为整数，且最大边的长为11的三角形的个数为( )．
.D
25
.C37
.A26
.B36
7．（2010年黄冈模拟题）某邮局只有0.60元、0.80元、1.10元面值的三种邮票，现有需要邮资7.50元的邮件，则恰好够邮资最少要购买邮票( )．
A.7张
B.8张
C.9张 D．10张
8．（2009年全国高考题）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )．
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
=、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
9．（2009年浙江高考题）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．
10．由三个数字组成的号码锁，每个号码可取0，1，2，…，9中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有个．
11．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共种，
三、解答题（共45分} ．
12．（9分）某校高中一年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组
织他们去参观．
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为组长带队，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2人管理生活，要求这两人不同班，有多少种不同的选法？
13.（9分）教室里安装有6盏日光灯，6个开关，1个开关只控制1盏灯，则开灯照明的方法有多少种？
14.（9分）从}3,2,1,0,1,2,3{---中任取3个不同的数作为抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 的系数，如果
抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？
15.（9分）用五种不同的颜色将图1-1-4中的l ，2，3，4四个区域染色，要求每个区域只染一种颜色，
且相邻的区域不能染相同颜色，求不同的染色方法数？
16.（9分）用0，l ，2，3，4，5这六个数字，
(1)可以组成多少个不重复的三位数？
(2)可以组成多少个允许重复的三位数？
(3)可以组成多少个不允许重复的三位数的奇数？
(4)可以组成多少个不重复的小于1000的自然数？
(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？
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